10.3 几个三角恒等式 课件(共52张PPT)-高一下学期数学苏教版必修第二册

(共52张PPT)
10.3 几个三角恒等式
第10章 三角恒等变换
高一下学期数学苏教版必修第二册
目录
课标要点
03
01
02
04
必备知识解读
题型解析
知识测评
05
高考模拟
课标要点
01
必备知识解读
02
知识点1 积化和差、和差化积公式
1 积化和差公式
（1）和 两边相加得
,
即 ①.
类似地，和 两边相减，可得
②.
（2）和 两边相加，可得
③.
和 两边相减，可得
④.
公式①②③④中，每个等式左边为三角函数乘积的形式，而等式右边为三角函
数和与差的形式，通常称之为三角函数的积化和差公式.
2 和差化积公式
在积化和差的公式中，如果令 , ,那么, .把
, 的值代入积化和差公式 ,就有
,所以,把 , 换
成 , ，就有 ⑤,
同样可得
⑥,
⑦,
⑧.
公式⑤⑥⑦⑧中，每个等式左边为三角函数和与差的形式，而等式右边为三角
函数乘积的形式，通常称之为三角函数的和差化积公式.
典例详解
例1-1 下列关系式中正确的有____（填序号）.
① ;
② ;
③ ;
④ ;
⑤ .
⑤
【解析】①右边应是 ，
②右边应是 ，
③右边应是 ，
④应是 ,
⑤正确.
例1-2 ［教材改编P77 T1（4）］ _ _.
【解析】
.
例1-3 ［教材改编P76例1］函数 的最小值是____.
【解析】 ，
.
知识点2 半角公式
1 半角公式
，, .
当 所在的象限能够确定时，这三个公式中根号前的符号可以确定.一般情况，
应保留“ ”.这组公式通常称为三角函数的半角公式.
知识剖析
半角公式的推导
.
.
.
特别提醒 1.有了半角公式，只需知道 的值及相关的角的条件便可求出 的正弦
值、余弦值、正切值.
2.对于和,,但是使用时，要保证 .
3.半角公式根号前符号的确定规律如下：
（1）当给出的角是某一象限的角时，可根据如表所示确定半角的函数值的符号.
第一象限 第一、三象限
第二象限 第一、三象限
第三象限 第二、四象限
第四象限 第二、四象限
（2）当给出角 的范围（即某一区间）时，可先求的范围,再根据 的范围来
确定各函数值的符号.
（3）若没有给出确定符号的条件，则在根号前保留正、负两个符号.
2 半角正切公式的有理化
借助同角三角函数基本关系式和二倍角公式，可以得到：
, ,即
.
上述式子对应半角的正切公式，我们称之为半角正切公式的有理形式.
典例详解
例2-4 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】因为 是第一象限角，所以 ,符号是确定的，由半角的余弦公
式可知 .
例2-5 ［教材改编P79 T2］已知，，求，， .
【解析】 ，
，
，
，
，
，
.
例2-6 设 , ,,则,, 的大小
关系为__________.
【解析】由已知可得 ,,,所以 .
例2-7 求值： ________.
【解析】原式 .
点评 本题应用公式求解的好处在于避免了对“ ”的讨论.
重难拓展
知识点3 万能公式
;
;
.
由以上可知，只要求出某一个角的半角的正切值，就可以求出该角的任一个三
角函数值，因此以上公式称为万能公式.
教材链接POINT
万能公式是对教材第79页例4的探究及总结.
特别提醒 （1）使用万能公式的前提是保证每个式子都有意义.
（2）万能公式的好处在于把三角函数式转化为用 表示的式子，若设
,则 的三角函数式可转化为关于 的代数式.
典例详解
例3-8 ［教材改编P79 T3］已知 是第二象限角，,则 ______.
【解析】 是第二象限角， ,
，
可得, .
.
题型解析
03
题型1 求值
1 给值求值
例9 求值： .
【解析】
.
例10 求 的值.
思路点拨 将式子乘以 ，构造积的形式，然后利用积化和差公式展开，
即可达到求值的目的.
【解析】 .
名师点评 对形如 及
的式子，可以乘以 ，再逐
项积化和差，依次将各项一拆为二，以达到消项的目的.
2 条件求值
例11 已知,且 为钝角，则 __.
【解析】由 是钝角，即 ,得 ,
,, ,
.
例12 已知 ①， ②,则 的值为___.
【解析】将①②两式左边分别和差化积，得：
③，
④.
由③④，得，于是，得 ,
故 .
易错警示 由于思维定式,我们看见①②就容易联想平方，从而产生以下错解：
由,得 ,
.
由,得 .
,
,
把代入上式，得 ,
.
事实上，以上错解中所用解法不恰当，导致最后出现两个值，认为 没有范
围限制，没有对所得的两个值进行讨论验证.
题型2 三角函数式的化简与证明
例13 化简： .
【解析】原式 .
例14 求证： .
【解析】 （弦化切）
右边 左边,
所以等式成立.
（切化弦）左边
右边，
所以等式成立.
（弦化切）右边 左边,所以等式成立.
题型3 三角恒等变换在三角形中的应用
例15 已知在中，，求证： 是直角三角形.
【解析】 在中， ，
.
利用和差化积公式，得
,
（由二倍角公式可得） ,
显然,故 ,
. .
两边平方，得 ,
即 ,
，
，即或 ．
, 是三角形的内角，故必有一个为直角，
是直角三角形．
名师点评 本题条件中没有边的关系，就从角入手，证明有一个角是直角，或者有两
个角互余.
知识测评
04
建议时间：25分钟
1.利用积化和差公式化简 的结果为( )
D
A. B.
C. D.
【解析】 .
2.已知 ，且，则 的值为( )
D
A.3 B.2 C. D.
【解析】， .
又 ， ，
.
3. 的值是( )
A
A. B. C. D.
【解析】 .
4.［教材改编P81 T6］ 若, ,则 等于 ( )
B
A. B. C. D.
【解析】因为 ,所以 .
因为,所以, ，
所以 ,
，
所以.所以 .
5. 化为积的形式是_____________.
【解析】 .
6.已知,则 的值为__.
【解析】, .
7.已知.求证： .
【答案】, ,
,
,
, .
8.已知实数,满足，，求, .
【答案】已知 ①, ②.
①式两边分别平方得 ③，
②式两边分别平方得 ④.
由得 ,
.
由和差化积公式得 ,
则 .
由得 ，
.
由及和差化积公式得 ⑤.
由及和差化积公式得 ⑥.
由得 .
由万能公式得 .
高考模拟
05
建议时间：25分钟
9.已知, ，则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】由 ，得 .
因为，所以, ，
所以 ，又 ，
联立解得，所以 .
10.在中， ，则此三角形的形状是( )
C
A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
【解析】 ，
，
，
，即,则 ，
， .
故此三角形为直角三角形.
11.[多选题] (2025·江苏省南京市金陵中学期末)如图10.3-1，已知 ，
两点在单位圆上，且都在第一象限，点是线段 的中点，
点是射线与单位圆 的交点，则( )
ABD
图10.3-1
A. B.
C. D.
【解析】不妨设 ，
对于选项A， ，
即选项A正确；
对于选项B， ，即选项B正确；
对于选项C，由题意可得，则 ，即选项C错误；
对于选项D，
，
即，即选项D正确.故选 ．
12.已知函数，， ,，则 __，
__.
【解析】由题意知, ，
,
又 ，
，
则 ，
，
即 ，
又 ,， .
13.求函数 的周期、值域、单调
区间.
【答案】
,
所以的周期 ,值域为，单调递减区间为 ,单调递增
区间为 .
14.已知，，是的三个内角， ,若任意交换两个角的
位置， 的值是否变化？证明你的结论.
【答案】任意交换两个角的位置， 的值不变，证明如下.
，，是的三个内角， ,
,
.
故任意交换两个角的位置， 的值不变.
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