11.1 余弦定理 课件(共71张PPT)-高一下学期数学苏教版必修第二册

(共71张PPT)
11.1 余弦定理
第11章 解三角形
高一下学期数学苏教版必修第二册
目录
课标要点
03
01
02
04
必备知识解读
题型解析
知识测评
05
高考模拟
课标要点
01
必备知识解读
02
知识点1 余弦定理
1 余弦定理
文字表述 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的
余弦的积的两倍.
公式表述 , ,
.
另一种形 式 ，, .（根据角的余弦值
符号可以判断所求角是锐角还是钝角）
. .
. .
. .
知识剖析
对余弦定理的理解
1.余弦定理对任意的三角形都成立.
2.在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程
思想可以求得第四个量.
3.余弦定理的另一种常见变式： ,
, .#1.1.1.3
2 余弦定理的证明
图11.1-1
因为 （图11.1-1）,
所以
,
即 .
同理可得, .
提示 POINT
本章如无特别说明,,,分别表示中角,, 所对边的长.
典例详解
例1-1 ［教材改编P92例1（1）］在中，若，， ，则边长
( )
B
A.5 B.8 C.5或 D. 或8
【解析】由余弦定理得，即 ，
所以 .
因为（此隐含条件不要忘记），所以 .
点评 因为余弦定理是恒等式，所以将，，的值代入
中，建立方程可求得 的值.需注意的是，余弦定理中边长是平方的关系,因此,利用余
弦定理求边长,实质上是解一元二次方程.解题时,应根据已知条件对方程的根进行取舍.
. .
例1-2 ［教材改编P93 T4］在中，角，，的对边分别为，， ，若
，则角 的值为( )
A
A. B. C.或 D.或
【解析】由余弦定理知
,
又 ,故 （【注意】三角形中角的余弦值的取值特点）.
. .
知识点2 解三角形
1 解三角形的概念
我们把三角形的三个角和三条边叫作三角形的元素.已知三角形的几个元素求其
他元素的过程叫作解三角形.
2 余弦定理在解三角形中的应用
利用余弦定理，可以解决以下两类解三角形的问题:
（1）已知三边（余弦定理把用“边角边”和“边边边”判定三角形全等的定理从数
量化的角度进行了刻画，使其变成了可以计算的公式.），求三个角;
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.
特别提醒 1.余弦定理及其变形在结构上有所不同，因此在应用它们解三角形时，要
根据条件灵活选择.
2.因为余弦函数在,上是单调减函数，所以，由 确定
的角 是唯一的，因此用余弦定理求解三角形的内角时不必分类讨论.
. .
. .
典例详解
例2-3 ［教材改编P93 T1（4）］在中,角，，的对边分别为,, ,若
,,,则 ( )
D
A.5 B. C.4 D.3
【解析】由余弦定理得 ,解得
.
重难拓展
知识点3 余弦定理与勾股定理之间的关系
1.勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般
三角形中三边平方之间的关系.
2.由余弦定理和余弦函数的性质，我们可以判断三角形的形状,以
为例：
若为锐角，则,从而,即 ,反之亦成立；
若为直角，则,从而,即 ,反之亦成立；
若为钝角，则,从而,即 ,反之亦成立.
由上可知，余弦定理也是用边长之间的关系去判断三角形的形状，从这个意义
上讲，勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.
典例详解
例3-4 在锐角三角形中，角,,所对的边分别为,,,若,，则 的取
值范围是___________.
，
【解析】由题意可知,
即
解得 ,
解得 .
题型解析
03
题型1 利用余弦定理解三角形
1 已知三边（三边关系）解三角形
例5 (2023·上海)在中，角,,所对的边分别为,,,且,, ,则
_ __.
【解析】由余弦定理得 ，
.
例6 ［教材改编P94 T1］已知在中， ，求各角度数．
【解析】， 可令, ,
．（由比例的性质可以引入一个字母，用含的式子表示 ，
， ，这为使用余弦定理求角创造了条件）
由余弦定理，得
,
．
,
.
．
名师点评 本题中，我们发现, ,此处可引申出一个重要结论“大边
对大角”，在解题中常根据“大边对大角”“小边对小角”进行检验．
关于“大边对大角”的解释
在三角形中，“大边对大角”的意思是说边长越大，对应角度值越大，自然也有边长
越小，对应角度值越小.当然也可以说成“大角对大边”.我们在解三角形时，常用此判
断哪条边最大，哪个角最大.
另外，“大边对大角”还可以延伸为在三角形中，边长越大,对应角度值越大、对应角
度正弦值越大,其具体证明，将在下节内容中讲解.
【变式题】
1.[教材改编P95 T1（3）]在中，，， ，解这个
三角形.
【答案】由余弦定理得， ,
， .
,且 ，
， .
2 已知两边及其夹角解三角形
例7 ［教材改编P95 T1（1）（2）］在中，角,,所对的边分别为,, .已
知,, ,求角，和边 的值.
【解析】由余弦定理，得
（ ,可由两角差的余弦公式推得）
．
．
又 ,
， .
. .
3 已知两边和其中一边的对角解三角形
例8 (2025·安徽省合肥市第九中学检测)已知在中，角,,所对的边分别为 ,
,,,, ，解此三角形.
思路点拨 可以利用余弦定理列出关于的方程，解方程求出 再求角.
【解析】由余弦定理,得 ，
即 ,
, 或 （注意检验）.
当时，, , ;
当时， ,
, .
. .
（1）已知两边及其夹角解三角形时，可先用余弦定理求第三边，再运用余弦定理的
另一种形式求其他的角.
（2）已知两边及其中一边的对角解三角形时，可根据余弦定理列一元二次方程求出
第三边（注意边的取舍），再运用余弦定理的另一种形式求其他的角.
【变式题】
2.在中，，， ，则 ( )
C
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】在中，由余弦定理可得 ,而
,, ,整理可得,,解得 .
3.在中，角,,所的边分别为,,,且,,,则___;
_ ___.
【解析】根据余弦定理得 ,解
得.由,,,得，所以 .
题型2 利用余弦定理实现边角互化
1 边角互化解三角形
母题 致经典·母题探究
命题探源 运用射影定理巧解三角形
（【教材链接】教材第95页 ）
在中，有,, .
上述结论称为射影定理.利用此结论我们可以快速解决选择题和填空题.
例9 (2025·海南中学月考)的内角，，的对边分别为,, ，若
，则 __.
【解析】 依题意得 ，即
，所以，.又 ，所以 .
因为 （【学以致用】射影定理的运用）,所以
,所以.又 ,所以 .
. .
子题
的内角，，的对边分别为，，，已知，则角 的
大小为( )
D
A. B. C. D.
【解析】 由 ，
得，由余弦定理可得， .
因为为三角形的内角，故 ．
由,得,又 ,所以
,
又 ,所以 .
利用余弦定理进行边角互化的特点
一般地，若遇到的式子含有角的余弦或边的二次式，则需要用余弦定理进行边角互
化，最终实现角的余弦与边的二次齐次分式之间的互化.
2 判断三角形的形状
例10 (2025·广东省佛山市第一中学期中)在中，,,分别是角,, 的对边，
且,则 是( )
B
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
思路点拨 需先利用二倍角的降幂公式将化成 ,再利用余弦定理求解.
【解析】由,得,即有 ,化简得
,
为直角三角形.
例11 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，， ，则此人
( )
D
A.不能作出这样的三角形 B.能作出一个锐角三角形
C.能作出一个直角三角形 D.能作出一个钝角三角形
【解析】设三角形的三条高所对应的三边长分别为,, ，利用三角形面积相等，得
到 ，
即 ，
故三角形三边长可设为,,，，则可知 是三角形中最长的边，设
它的对角为，由余弦定理得 ，
所以角 为钝角.故此人能作出一个钝角三角形.
利用余弦定理判断三角形形状的方法
1.化边为角，以 为例:
若,则角 是锐角;
若0,则角 是直角;
若,则角 是钝角.
2.化角为边.结合题中条件，利用,,
将题中角化为边，得到边的关系（如, 等）,进而确定三角形的形状.
【变式题】
4.已知,,是钝角三角形的三边，求实数 的取值范围.
【答案】,,是三角形的三边， .
要使,, 构成三角形，
需满足
除了要保证三边长均为正数，还需满足三角形的隐含条件“两边之和大于第三边”.
即 .
故是三角形的最大边，设其对应的角为 （钝角），则
,
，即,解得 .
又，的取值范围是 .
题型3 余弦定理与其他知识的综合应用
1 余弦定理下的几何图形的计算
例12 在中，角,,的对边分别为,,，为边 上的中线．
（1）若，，，求边 的长；
【解析】在中，因为,, ，所以由余弦定理得
．
故在 中，由余弦定理，得
，所以 ．
（2）若，求角 的大小．
【解析】因为为边上的中线，所以 （中点向量公式的应用），
所以 ，可得
则，化简得，所以 .
. .
. .
【变式题】
5.(江苏高考题)如图11.1-2,在中，,, ，在边 上，
延长到，使得,若为常数，则 的长度是
_ _______.
0或
图11.1-2
【解析】,,三点共线， 可设 ，
， ，
即 ，
若且，则,, 三点共线，
，即，， ，
,, ， ，
设， ，则， .
根据余弦定理可得， ，
（互补的两角的余弦值之和为0），
，解得，的长度为 .
当时，，,重合，此时 的长度为0，
当时，，,重合，此时 ，不合题意，舍去.
综上，的长度是0或 .
. .
2 与三角恒等变换的综合
例13 在中,，，所对的边分别为,, ,已知
.
（1）求 的大小；
【解析】由已知和三角形内角和定理得 (【释疑解惑】根据问题的指向
性，必定需要将题干等式中的角消元化简，又， 联系比较紧密，所以可以根据
，将转化为) ，即
.
因为,所以 .
又,所以.又 ,所以 .
. .
（2）若,求 的取值范围.
【解析】由余弦定理得 .
因为,,所以 （通过等量关系转变为函数问题）.
又,于是有,解得 .
. .
【变式题】
6.在中，角，，的对边分别为，，，若 ，
则 __.
【解析】由余弦定理，得 ①,
又 ②,
则得, ,化简得
,
（当且仅当 时等号成立），
，（基本不等式与正弦值范围的结合）
，，, ，
此时，即，即， ．
核心素养聚焦
考情揭秘
余弦定理常与下节要学习的正弦定理结合，解决三角形中的边角计算问题，另外也
常与其他知识综合考查.题型有选择题、填空题、解答题.命题难度以容易或中等难度
为主.
核心素养:直观想象（以题画出图形）,数学运算（求角、求边等）.
考向余弦定理的应用
例14 (2025· 全国二卷)在中,,,,则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】 ，
因为 ，所以 .
（【秒解】根据边的大小关系排除，因为,,所以 为最小角，所以
，排除B,C,D,故选A）
例15 (全国Ⅱ卷)的内角,,的对边分别为,,，已知 .
（1）求 ；
【解析】因为，所以 ，即
，解得 ，
又 ，所以 .
（2）若，证明： 是直角三角形.
【解析】因为，所以 ，
即 ①，又 ②，
将②代入①得， ，
即，而，解得 ，
所以，故 ，
即 是直角三角形．
高考新题型专练
1.［多选题］在中，角，，的对边分别为,,,若,则 可以为
( )
BC
A. B. C. D.
【解析】因为在中， ,
又由余弦定理可得, ，
所以，整理可得 ，
即 .
对于A，若，可得，整理可得 ，错误；
对于B，若，可得，整理可得 ；
对于C，若，可得，整理可得 ；
对于D，若，可得，整理可得 ，错误．
故选 ．
2.新考法 结构不良 已知为锐角三角形，其内角,,的对边分别是,, .
（1）设,, ,则由____,可证得____.
;; .
请从①②③中选择一个填入第一个空，并在第二个空处写出余弦定理（只写出一个
公式即可），并加以证明;
【答案】选①，填 .
, ,即
,
.
选②，填 .
, ,
.
选③，填 .
, ,
.
（2）若,,且，求 的周长.
【答案】,且 为锐角三角形，
,
,结合,得， .
的周长为10.
知识测评
04
建议时间：20分钟
1.(全国甲卷)在中，已知 ，，,则 ( )
D
A.1 B. C. D.3
【解析】由余弦定理，得 ，
解得或 （舍去）．
2.设的内角，，的对边分别为，，.若，， 且
，则 ( )
C
A.3 B. C.2 D.
【解析】由余弦定理，得，即 ，即
，所以，又，得 .
3.［教材改编P95 T7（1）］ (2025·天津市西青区月考)在中，已知 ，则
等于( )
C
A.1 B. C.2 D.4
【解析】 .
由射影定理可知 .
4.［多选题］ (2025·河南省许昌高级中学月考)在 中，若
，则角 的值可以为( )
BC
A. B. C. D.
【解析】在中，由,可得 ,所以
,解得或.故选 .
5.在中，角,,的对边分别为,, .
（1）若,求 的值；
【答案】由题设,知,从而 ，所以
.因为 ，所以 .
（2）若,,求 的值.
【答案】由，及 ，
得，故是直角三角形，且 .
所以 .
6.(2025·江苏省南京市五校联盟调研)在中，角,,的对边分别为,, ，已知
,, .
（1）求 ;
【答案】由得 .
由,得，所以 .
由余弦定理，得 ,
整理得,故 .
（2）设为边上一点，且,求 的长.
【答案】在中，已知，， ,
则由余弦定理得 .
因为,所以 为直角三角形,
则,即，解得 .
高考模拟
05
建议时间：25分钟
7.(2025·江苏省徐州市月考)在中，,,,则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】设,, ，
则, ,
,, .故选C.
8.(2025·湖南省邵东市联考)在中， ,,则 的形状为( )
B
A.钝角三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.无法判断
【解析】由余弦定理，得 ，
,,即, .
又 , ,故 为等边三角形.
9.在中，为边上一点，，， ，若
，则 等于( )
C
A.4 B. C. D.
【解析】在 中，
,
在 中,
,
，， ，整理得
，解得或 （舍去）．
10.［多选题］ 设的内角,,所对的边为,, ,则下列命题正确的有
( )
BCD
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
【解析】由,得 ,
则 ,
, ,故A错误;
由,得,当且仅当 时等号成立,
, ,故B正确;
,且 ,
,
得, ,
,
, ,故C正确;
由,得 ,
,得 .
, ,故D正确.
故选 .
11.在中,,,,则 ___.
1
【解析】在中，由余弦定理可得 ,
，则, ,从而
.
12.已知，是斜边上的三等分点，且，则 _ _．
【解析】不妨设，点靠近点,则 ．
由余弦定理，得 ，
所以，则 ,
所以 ．
13.的内角，，的对边分别为，，，已知 .
（1）求 ；
【答案】因为 ，所以 ,
所以 .
因为 ，所以，所以 ，
所以.于是 .
（2）若，求 的取值范围.
【答案】由（1）知，又 ，
根据同角三角函数关系可得， .
根据余弦定理得 .
又 ,
所以，即，当且仅当 时取等号.
又，所以的取值范围是 .
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高一下学期数学苏教版必修第二册