11.2 正弦定理 课件(共156张PPT)-高一下学期数学苏教版必修第二册

(共156张PPT)
11.2 正弦定理
第11章 解三角形
高一下学期数学苏教版必修第二册
目录
课标要点
03
01
02
04
必备知识解读
题型解析
知识测评
05
高考模拟
课标要点
01
必备知识解读
02
知识点1 正弦定理
1 正弦定理
在一个三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等，即 .
教材深挖 用正弦定理证明“大角对大边”——对教材第99页【练习】第4题的深挖
在中，设，所对的边分别为，，由正弦函数在区间， 上单调递
增可知：
（1）当,都为锐角时,若,则,由正弦定理 知
；#1.1.1.1
（2）当,中一个为锐角，另一个为钝角时,不妨设,由于 ,即
,所以,即,由正弦定理 知
；
（3）当,中一个为直角，另一个为锐角时，不妨设为直角，则 ,所以
,由正弦定理知 .
综上可知，在中，若,则.反之,若，则 也成立.#1.1.2
2 三角形面积公式（教材深挖：教材第102页第7题.）
若记的面积为，则 .
发散探讨
利用三角形面积公式证明正弦定理
在中，由三角形面积公式,得到 ,即
.上式同时除以,得到 ，即
.
3 正弦定理的常见变形
在中，由正弦定理可设，则 ,
, ，由此可得正弦定理的下列变形：
（1）,,,,, ;
（2） ;
（等比定理）
（3） .
知识剖析
的几何意义
事实上，比值的几何意义就是 外接圆的直径（证明见教材第102页【习
题11.2】第10题答案），即（为 外接圆的半径），
以下是它的两种变形应用：
（1）（边化角）,, ;
（2）（角化边）,, .
典例详解
例1-1 ［教材改编P97例1］在中，角，，所对的边分别是,,,若 ,
, ,则 ( )
A
A. B.2 C. D.
【解析】由正弦定理,得,解得 .
例1-2 在中，，，，则 等于( )
C
A.或 B. C. D.
【解析】由正弦定理，得.因为，所以 ,
则,故 .
点评 已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，利用正弦定理求出另一边
的对角的正弦值后，若该正弦值大于0且小于1，则需利用三角形中“大边对大角”判
断此角是锐角还是钝角，从而确定三角形的解.
例1-3 ［教材改编P102 T7（1）］中，，， ，则
的面积为( )
C
A. B.3 C. D.
【解析】，， ，
．
例1-4 ［教材改编P101 T4］在中， ,,则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】利用正弦定理的变形（2），得
.
知识点2 正弦定理在解三角形中的应用
公式实际上表示了三个等式：， ，
.
上述的每一个等式都表示了三角形的两个角和它们的对边的关系,对于每一个等
式,都可以知三求一.于是利用正弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：
（1）已知两角与任一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边
和角）.
特别提醒 利用正弦定理解三角形时,经常用到下列结论:
（1）三角形内角和定理 .
（2）, .
（3）在中，，; ；
;; .
（4）若为锐角三角形，则,, ;
, .
典例详解
例2-5 ［教材改编P101习题11.2 T1（1）］(2025·江苏省扬州市红桥高级中学期中)
在中，若 , ,，则 ( )
B
A. B. C. D.
【解析】在中， ,所以 ,
由正弦定理得 ,
所以 .
重难拓展
知识点3 对三角形解个数的探求
已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解,即当三角形的
两角和任意一边确定时,三角形被唯一确定.
已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、
两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定.
（因为互补的两角正弦值相等，所以需关注边的大小，从而判断三角形解的个
数）
因此“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时，需要分析三角形解的
情况，下面以已知,和 解三角形为例进行说明.
1 代数角度
（1）若 ，则满足条件的三角形的个数为0，即无解；
（2）若 ，则满足条件的三角形的个数为1；
（3）若 ，则满足条件的三角形的个数为1或2.
显然由可得 有两个值，一个为钝角，一个为锐角，考虑
到“大边对大角”“三角形内角和等于 ”等，此时需进行讨论.
特别提醒 三角形解的个数也可由三角形中“大边对大角”来判定.
不妨设为锐角，若，则，从而 为锐角，有一解.
若，则，由正弦定理得若，即 ,
则无解；②若，即,则有一解；③若，即 ,
则有两解.
2 几何角度（ 教材深挖：教材第103页第11题.）
角的类型 为锐角 条件
图形
解的个数 无解 一解 两解 一解
角的类型 为钝角或直角 条件
图形
解的个数 一解 无解
续表
典例详解
例3-6 下列对三角形解的个数的判断中正确的是( )
B
A.,, ,有两解 B.,, ,有一解
C.,, ,有两解 D.,, ,无解
【解析】对于A，由，得，所以 ，有一解，故A不正确.
对于B，大边对大角，有一解，故B正确.
对于C，由，得 ，无解，故C不正确.
对于D，由，得，再结合及 可知有两解，
故D不正确.
例3-7 ［多选题］在中，角，，所对的边分别为,, ，已知满足
,的三角形有两解，则 的取值可以为( )
CD
A. B. C. D.
【解析】因为三角形有两解，所以即解得,则
的取值范围是 .结合选项可知C,D正确.
知识点4 解三角形问题的类型与解法
正弦定理、余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素（三角形有三个
角和三条边，三角形的边与角称为三角形的元素），如果其中三个元素是已知的
（至少要有一个元素是边），那么这个三角形一定可解.
关于斜三角形的解法，根据已知条件及适用的定理，可以归纳为以下四种类型:#1.1
类型 一般解法 解的个数
已知两角及一 边，如,, （1）由 ,求出 ； （2）根据正弦定理及求， . 一解
类型 一般解法 解的个数
已知两边和它们 的夹角，如, , （1）根据余弦定理 ，求出边 ； （2）根据，求出 ； （3）根据，求出 . 求出第三边后，也可用正弦定理求角，这样往往可以 使计算简便，应用正弦定理求角时，为了避开讨论 （因为正弦函数在区间 上是不单调的），可先求 较小边所对的角，它必是锐角. 一解
续表
类型 一般解法 解的个数
已知三边 可以连续用余弦定理求出两角，常先求较小两边所对 的角，再由 求出第三个角. 也可先由余弦定理求出一个角，然后根据正弦定理求 出第二个角，最后由 求出第三个 角，但仍然是先求较小边所对的角. 一解
续表
类型 一般解法 解的个数
已知两边及其中 一边所对的角， 如，， （1）根据正弦定理，经讨论求 ； （2）求出后，由 求 ； （3）再根据正弦定理求出 . 也可以先根据余弦定理，列出关于 的一元二次方程 ，解一元二次方程，求 出 ，然后应用正弦定理或余弦定理求出其他元素. 两解、一
解或无解
续表
典例详解
例4-8 (2025·陕西省咸阳市高新一中质检)已知在中，,, ，
解此三角形.
【解析】 由 得
,
,或 .
当时，, , ;
当 时，由正弦定理得
，
, .
由正弦定理 ，
得 ,
或 .
当 时， ，
由勾股定理得 ;
当 时，， .
点评 解三角形的过程中，求角时，用余弦定理可以根据角的余弦值的符号直接判
断是锐角还是钝角，但计算比较复杂，用正弦定理计算相对比较简单，但要结合已
知条件中边的大小来确定角的大小，所以一般选择用正弦定理去计算较小的边所对
的角，避免讨论.
例4-9 (2025·广东省江门市新会一中月考)在中，,, ,那么
此三角形( )
C
A.有一解 B.有两解 C.无解 D.解的个数不确定
【解析】 由正弦定理和已知条件，得, .
, 此三角形无解.
, ,
，故此三角形无解.
作 ,,以为圆心， 为半径画圆（图略），
该圆与 无交点，则此三角形无解.
题型解析
03
题型1 利用正弦定理解三角形
1 已知两角与任意一边解三角形
例10 ［教材改编P102 T2（1）］在 中，根据下列条件解三角形：
（1）, , ;
【解析】由三角形内角和定理得 ,解得 .
由正弦定理，有 ,
代入数据得到，（ 需熟记）
解得， .
. .
（2） , , .
【解析】由三角形内角和定理得 ,解得 .
由正弦定理，有,代入数据得 ,解得
, .
名师点评 已知两角和任意一边时，三角形唯一确定，这与我们初中所学的三角形全
等的判定定理 是一致的.
例11 在中,角,,所对的边分别是,,,,.若 最长
的边为1,则最短边的长为( )
D
A. B. C. D.
【解析】在中,因为,,所以, ,
,所以 ,所以
,则最大,即最大（大边对大角），所以.又 最小,所以
最短的边为，易得,则由正弦定理可得 .
. .
已知两角与任意一边解三角形的方法
事实上，解三角形本质上就是解基于边角的内蕴方程，已知三角形的两角与一边解
三角形时，
（1）由三角形内角和定理 （必要时可结合诱导公式）可以计算出
三角形的第三个角;
（2）由正弦定理 可计算出三角形的另两边.
【变式题】
1.在中，角,,所对的边分别是,,,, , ,则此三角形
的最大边长为_____.
【解析】根据题意可得 ,此三角形最大边长是，由正弦定理 ,得
,解得 .
2.在中，若,,,则 ______.
【解析】由,得 .
由及,得 .
由题意知，,，由正弦定理 ,
得 .
2 已知两边与其中一边的对角解三角形
例12 已知中的下列条件，判断 是否有解,有解的解三角形.
（1）,, ;
【解析】， ， ,与三角形内角和为 相矛盾，故三
角形无解.
（2）,, ;
【解析】由正弦定理得，即 ，故三
角形无解.
（3）,, ;
【解析】由正弦定理得， ,
又, , 三角形有一解.
, ,
.
（4）,, .
【解析】由正弦定理得， ，
或 ，（【易错点】此处易忽略对的讨论，默认 为锐角，从
而造成漏解）均满足条件 ，
三角形有两解.
当 时， ， ;
当 时， , .
故 , ,或 , , .
. .
已知两边及其中一边对角解三角形的步骤
（1）用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值；
（2）若所求另一角的正弦值大于0且小于等于1，则当已知的角不是直角时，利用三
角形中“大边对大角”看能否判断另一边所对的角是锐角，当已知的角为大边所对的
角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能判
断，此时就有两组解，分别求解即可；
（3）由三角形内角和定理求出第三个角；
（4）根据正弦定理求出第三条边.
注意：已知两边和其中一边对角时，除了用正弦定理外还可以用余弦定理求解，先
利用余弦定理列出一元二次方程，求出第三边，再利用正弦定理求其他的角.
【变式题】
3.已知中，，，,则 的面积为_ __.
【解析】由,得,所以 .
根据正弦定理可得，解得 .
因为，所以,所以.（此处易忽略对的讨论，误认为或 ）
所以,所以 为直角三角形.
故 .
. .
. .
. .
4.(2025·重庆市渝高中学校段考)在中，,,,则 等于
( )
C
A. 或 B. C. D.
【解析】由,得， ,由正弦定理得 .又
，所以,故 .
3 运动变化下的解三角形问题
致敬经典
所谓运动变化，实质是题设提供的解三角形边角条件不足，导致三角形只能局部可
解，进而导致边或者角有范围或最值产生.对于这类问题要善于从函数的视角来看待
或者从不等式工具特征角度来看待.高考重视对局部可解三角形的研究，重视从运动
变化视角来考查.
例13 (2022·新高考全国Ⅰ卷)记的内角，，的对边分别为,, ,已知
.
（1）若,求 ；
【解析】因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为，所以 .
（2）求 的最小值.
【解析】由（1）得 ，
,则,所以
所以 ，
且 ,
所以, ，
所以，解得 .
. .
由正弦定理得
，当且仅当 时取等号，
所以的最小值为 .
题型2 利用正、余弦定理实现边角互化
1 利用边角互化解三角形
母题 致经典·母题探究
命题探源 条件中混有边角关系的问题
在解三角形问题中，有一类问题总是活跃在大家的眼前，使得众多同学“望洋兴叹”，
停滞不前，这就是解三角形与三角恒等变换的综合问题.对于此类问题，大多是边角
互化后基于三角形内角和定理 展开的，一般是通过正、余弦定理边
化角，求得相应的角或者寻找相应的角之间的关系（此时往往需要用到三角形内角
和定理替换角，达到减元的目的），进而运用三角恒等变换及诱导公式转化为一个
角的三角函数问题，从而求解.
例14 (2025·陕西省西安交通大学附属中学期中)已知,,分别为三个内角, ,
的对边,，则 ( )
B
A. B. C. D.
给什么得 什么 题目给出一个三角形背景下边角混合的恒等式，并且,, 是齐次的,因此
考虑利用正弦定理将等式中的边转化为角.
求什么想 什么 题目求的是角，观察等式结构，发现角和 都有好几处，只有一处跟
角有关，因此可利用三角形内角和定理将角替换为和 .
差什么找 什么 整个式子只含有和 的三角函数，通过三角恒等变换和三角形中角的范
围等条件将式子化简为只含有角的等式，即求得角 的值.
【解析】由正弦定理及 ，
可得 ,
因为 ，
所以 ，
于是 ，
整理可得 .
即 .
因为，所以 ,
（【注意】不要随意约掉公因式，避免漏掉一些可能情况）
所以 ，
即，于是 .
又，所以，即 .
子题
(2025·山东省济南市期中)在锐角中，角，，的对边分别为，， ，且
，则 __.
【解析】因为 ,所以
,整理得
,
由正弦定理得， ,
故 ,
由为锐角,得 .
边角互化是利用正、余弦定理解三角形的重要途径.一般地，若条件式含有角的余弦
或角的正弦齐次式，则可用余弦定理或正弦定理化角为边；若条件式含有边的二次
式或条件式等号两边为齐次式，则可利用余弦定理或正弦定理化边为角.通过边角互
化，可使边角关系具体化.
【变式题】
5.的三个内角，，所对的边分别是,,，若，则角 的
大小为( )
B
A. B. C. D.
【解析】由正弦定理可将化为 ,整理可得
,
由余弦定理可得 ,
, .
2 判断三角形的形状
例15 在中，角，，所对的边分别为,, ，
，,则 是( )
D
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
思路点拨 题中条件既含边又含角，可利用正、余弦定理转化为边之间的关系或利
用三角恒等变换转化为角之间的关系，从而可判断三角形的形状.
【解析】 （利用边的关系判断） 由 可得
,
.
又 , .
, .
又, ,
,, 为等边三角形.
（利用角的关系判断） ， .
,
,
, .
, ,
, ，即 .
又 ,
, .
, ,
为等边三角形.
名师点评 在判断三角形的形状时，一般考虑从两个方向进行变形:一个方向是边，
走的是代数变形的途径，通常是正、余弦定理的综合应用；另一个方向是角，走的
是三角恒等变换的途径.
判断三角形形状的方法
从研究三角形边与边的关系或角与角的关系入手，充分利用正、余弦定理进行边角
互化，由三角形的边或角的代数运算或三角运算，发现边与边或角与角的关系，从
而进行判断.
【变式题】
6.在中，已知角,,的对边分别为,, ，且
,则 是( )
B
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
【解析】 （边化角） 因为 ，
所以由正弦定理得 ，
即，得 ，
所以 ，所以 为直角三角形.
（角化边） 因为 ，
所以 .
根据余弦定理可得
，
即 ，
所以 为直角三角形.
题型3 正、余弦定理下的几何图形的计算
1 三角形面积的计算
例16 在中， ,,,则 的面积等于_____.
思路点拨 既可以先求出角度，再利用三角形的面积公式 求解；也可
以先判断三角形的类型，再利用三角形的面积公式 底×高求解.
【解析】 在中，根据正弦定理，得,即 ，解
得 .
因为 ,所以 ，所以 ，
所以的面积 .
在中，根据正弦定理，得，所以 ，解得
.因为 ,所以 ，所以 ，
所以的面积 .
与三角形面积有关的公式
1.（其中,,分别为边,, 上的高）.
2. .
3.（其中,分别为的内切圆半径及 的周
长）.
4.（其中为 外接圆的半径）.
5.海伦公式：其中 .
【变式题】
7.在中，角，，的对边分别为，，，，， ．
（1）求的值及 ；
【答案】,所以 ,
又，所以 ,
因为 ,所以 ,
而 ,
所以 .
（2）求的面积及 边上的高．
【答案】因为 ,
所以 ,
因为,即 ,
所以,解得或 ,
又,所以,所以 ,
设边上的高为,则,解得,所以 的面积
为28,边上的高为 .
2 解“共享”边、角的三角形
母题 致经典·母题探究
图11.2-1
例17 (2025·湖南省长沙市周南中学入学考试)如图11.2-1，在平面四
边形中，,, .
（1）求 的值;
【解析】 中，由余弦定理得
.
（2）若,,求 的长.
【解析】设 ,则 .
因为， ,
所以 ,
.于是 .
在中，由正弦定理得 ,
故 .
子题
子题1 中，是上的点,平分,，则 __.
【解析】由正弦定理得,
①, ②.
因为平分， ,
所以可得 .
名师点评 由本题结论，我们可以得出三角形内角平分线的性质：三角形两边之比等
于其夹角的平分线分对边之比，即若的角平分线与边交于点 ，则
.事实上，三角形外角平分线也有类似性质，即若的外角平分线 与
的延长线交于点，则 .（【教材链接】此结论链接教材第102页第9题）
图11.2-2
子题2 (2025·广东省汕头市期末)如图11.2-2，在中， ,
,点在边上，且， .
（1）求 ;
思路点拨 ，则可利用三角恒等变换求解；
【解析】在 中，
因为,所以 ，
所以 （利用了三角形角之间的关系）
.
. .
（2）求， 的长.
思路点拨由正弦定理求，由余弦定理求 .
【解析】 .
（互补的两角正弦值相等）
在中，由正弦定理得 ,所以
.
在 中，由余弦定理得
，所以 .
. .
正、余弦定理是计算三角形中相关量的工具，因此在面对几何图形时，关键是寻找
相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定理，特别是涉及公共边及三角形角的
关系时，要善于利用公共边及角的关系来进行过渡转化.
题型4 正、余弦定理与其他知识的综合应用
1 与三角函数综合
例18 在中，角,,所对的边分别为,,，且满足 .
（1）求 ；
思路点拨 利用已知条件进行边角互化即可求 ；
【答案】 ,即 ,又
, .
由已知条件及正弦定理可得 ,
即 ,
,,又, .
（2）试求函数的最大值及取得最大值时 的值.
思路点拨 化简 ,结合三角形内角和定理求最值.
【答案】
,
又,， ,
当,即时，取得最大值,最大值为 .
2 与三角恒等变换的综合
例19 (2025·天津市南仓中学月考)在中,角,,所对的边分别为,, .已知
, .
（1）求 的值;
【解析】由正弦定理,得,因为, ,
所以 .
（2）求 的值;
【解析】由正弦定理可得 ,不妨设
,则, ,
由余弦定理可得 .
（3）求 的值.
【解析】由（2）可知 ,
则 ,
所以, ,
所以 .
3 与平面向量的综合
例20 (2025·江苏省无锡市天一中学月考)在中，，，分别为，， 的对
边，为的外心，且有， ，
若，，，则 ( )
A
A.1 B. C.0 D.
【解析】 ,
,即, ,可得
,又, ,
,
, , .
图11.2-3
如图11.2-3,为 的外心,（【知识回顾】三角形三边垂直
平分线的交点为三角形的外心）
为的中垂线，又 为等腰三角形，且
,, 均为等边三角形.
若,则 ,
,
化为 ①.
,
,化为 ②.
. .
由①②解得, ,
.
在平行四边形中，,又 ,
,, .
新考法 思维创新
例21 新定义 二倍三角形 定义：在 中，若其某一内角等于另一内角的二倍，
则称 为“二倍三角形”.
（1）若为二倍三角形， ，，求 的面积.
【解析】为二倍三角形， ，若，则 ，
又，所以，所以的面积为 .
若，则 ， ，又，所以， ，
所以的面积为 .
同理可得若,则的面积为 .
综上，的面积为1或 .
（2）对于二倍三角形，，记，用含的代数式表示 的比.
【解析】因为为二倍三角形，， ，所以
， ，
所以 ，
所以 .
（3）根据（2）的计算结果，是否存在三边长皆为整数的二倍三角形？若存在，举
出一例并验证；若不存在，则说明理由．
【解析】存在三边长皆为整数的二倍三角形，理由如下：
由（2）得 ，
设角,,的对边分别为,,,则，，（ 为常数），
若存在三边长皆为整数的二倍三角形，则为大于0的整数，如， 时，
，， ，
即，， ,满足题意，
所以存在三边长皆为整数的二倍三角形．
素养提升 本题属于新定义加开放性试题,这样的试题在更大程度上帮助学生形成抽
象思维,让学生通过思维的发散,结合已有的知识经验,快速提高数学素养.
核心素养聚焦
考情揭秘
高考对正弦定理的考查主要涉及边角互化，除直接考查利用正、余弦定理解三角形
外，还常与三角恒等变换和几何图形中的相关计算相结合进行考查.另外，近些年的
高考中还出现了与解三角形相结合的开放性问题，应引起重视.题型有选择题、填空
题、解答题,命题难度中等.
核心素养:数学运算（求角、求边、求面积）,直观想象（画出图形，依据图形构建等
式或不等式）.
考向1 运用正、余弦定理解三角形
1 边角互化解三角形
例22 (2024·全国甲卷)在中，内角，，所对的边分别为,,，若 ,
,则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】由正弦定理得,因为，所以 .
由余弦定理得 ，所以
，所以 ，所以
，
又，，所以 .
例23 (2023·全国乙卷)在中，内角,,的对边分别是,, ,若
,且，则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】因为 ,所以由正弦定理得
，则.在 中，
，则, .（【另解】也可以根据余弦定理化简得出关于边的关
系式，即，得出 为直角）
所以 .
例24 (2025·天津)在中,角,,的对边分别为,,.已知 ,
, .
（1）求 的值；
【解析】第1步：求 的值
因为,所以由正弦定理可得 ,因为
,所以,所以,所以 .
第2步：确定角 的值
又,所以 .
（2）求 的值;
【解析】第1步：由余弦定理求
因为,, ,
所以由 ,
可得 ,
化简得，又，故 .
第2步：求 的值
由,得 .
（3）求 的值.
【解析】第1步：由正弦定理求
由正弦定理,得 ,
解得 .
第2步：由同角三角函数的基本关系求
因为，所以 为锐角，
.
第3步：由二倍角公式求和
， .
第4步：利用两角和的正弦公式计算
所以
.
2 与面积有关的解三角形问题
例25 (2023·全国乙卷)在中，已知 ，， .
（1）求 ;
图11.2-4
【解析】如图11.2-4，由余弦定理得，得 .
由正弦定理 ，
得 .
由余弦定理得
，所以
.
（2）若为上一点，且 ，求 的面积.
【解析】 由，得 ,
又，所以 ，
故的面积为 .
的面积为 ，
，
故的面积为 .
例26 (2024·新课标Ⅰ卷)记的内角，，的对边分别为，， ，已知
, .
（1）求 ；
【解析】由余弦定理得 ,
又 ， .
, ,
又 , .
（2）若的面积为，求
【解析】由（1）得 ，
由正弦定理，得（【扫清障碍】） ，
.
的面积,解得 .
. .
3 与解三角形有关的结构不良试题
例27 (2025·北京)在中，内角，,的对边分别为，，， ,
.
（1）求 ;
【解析】因为，,所以 ，由正弦定理知，
.
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得 存在,
求 边上的高.
条件 ;
条件 ；
条件的面积为 .
【解析】若选择条件 ，
由（1）知,所以 ，
又，所以为钝角， ，此时 不存在，故不能选择条件①.
若选择条件 ，
则，,此时 存在.
设边上的高为，则，即边上的高为 .
若选择条件的面积为 ，
因为 ，
所以 .由余弦定理可得
，所以 .
设边上的高为 ，
则，得 ，
即边上的高为 .
命题 探源 结构不良试题区别于传统试题，题目给出2或3个可选条件，填入空中，然
后进行解答，选的条件不同，解答的难易度不同，得出的答案也可能不同.
变式探源(新高考全国Ⅰ卷)在,, 这三个条件中任选一
个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 的值；若问题中的三角形不存
在，说明理由.
问题：是否存在，它的内角,,的对边分别为,,,且, ,
________
【解析】方案一 选条件①.
由和余弦定理得 .
由及正弦定理得 .
于是,由此可得 .
结合,解得, .
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时 .
方案二 选条件②.
由和余弦定理得 .
由及正弦定理得 .
于是，由此可得,， .
因为,所以, .
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时 .
方案三 选条件③.
由和余弦定理得 .
由及正弦定理得 .
于是，由此可得 .
因为与 矛盾.
因此，选条件③时问题中的三角形不存在.
考向2 解三角形与三角恒等变换的综合
例28 ［多选题］ (2025·全国一卷)已知的面积为 ，
， ,则( )
ABC
A. B.
C. D.
【解析】 ，
（发现所给式子中有, ，考虑利用余弦的二倍角公式化简变形）
所以 ，故A正确.
令,,,则（为 的外接圆半径）,由
,得 .（该式子包含两种情况，需要分类讨
论）
若,则角为锐角，则,即 ，则
,所以 ,矛盾.
故,即，所以 ,又
,所以 .因为
,所以,所以 ,所以
,所以 ，故B正确.
,
所以 ，故C正确.（一般情况下，多选题各个选项之间有关联，所以
利用选项A及选项B中所得结论可以作出判断）
，故D错误.（由B选项可知， 为直角三角形，利用
勾股定理即可判断）
例29 (2024·新课标Ⅱ卷)记的内角,,的对边分别为,, ,已知
.
（1）求 ;
【解析】 （辅助角公式） 由，得 ，
所以 .
因为 ，所以 ，
所以，故 .
（同角三角函数的基本关系） 由 ，
又，消去 得，
，
解得，又，故 .
（2）若,，求 的周长.
【解析】由和正弦定理得， ，
又,，则，进而，得到 ，于是
，
所以 ,
（【注意】解答题需写出 的计算过程）
由正弦定理 ，
可得，解得, ，
故的周长为 .
. .
例30 (2023·新课标Ⅰ卷)已知在中，， .
（1）求 ;
【解析】在中， ,
因为，所以,所以 .
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
易得,所以 ，
又，所以 .
（2）设,求 边上的高.
【解析】由（1）知，，所以为锐角，所以 ，
所以 ，
由正弦定理 ，
得 ，
故边上的高为 .
（【另解】利用正弦定理求出，利用余弦定理求出,通过等面积法，求出 边
上的高）
命题探 源 本题主要考查正弦定理、同角三角函数的基本关系、诱导公式等基础知 识，是高考高频考点. 素养探 源 素养 考查途径
逻辑推理 利用正弦定理进行边角互化，利用同角三角函
数的基本关系、诱导公式等进行恒等变换.
数学运算 运用正、余弦定理解三角形.
变式探源
(2023·全国甲卷)记的内角，，的对边分别为，，，已知 .
（1）求 ；
【解析】由余弦定理知，代入，得，故 .
（2）若，求 面积．
【解析】由正弦定理及 ，
得 ，
化简得 .
， ，
，
，
.
，， .
, .
由（1）知 ，
故的面积 .
高考新题型专练
1.[多选题](2025·江苏省东台市期中)符合下列条件的 有且只有一个的是
( )
AC
A.,, B.,,
C., D.,,
【解析】对于A，由正弦定理得,所以 ，
又,所以 ，所以满足条件的三角形只有一个；
对于B， ,构不成三角形；
对于C，,所以 , ，所以满足条件的三角形只有一个；
对于D，,所以,而 ，所以没有满足条件的三角形.
2.新考法 结构不良 (2024·北京)在中,内角,,的对边分别为,,, 为钝角,
， .
（1）求 .
【答案】由题知， .
又为钝角，所以 为锐角，
故，所以.又，所以.又 为
钝角,所以 .
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得 存在，
求 的面积.
条件①： ；
条件②： ；
条件③： .
【答案】若选①，结合（1）得,所以，, ,
则 不存在，所以条件①不符合要求，故不选择条件①.
若选②，由题知 ，
又，即，所以 .
又 ，所以
.
所以 .
若选③，由题知，所以 .
由得，,即 ,解得
（负值舍去）.
所以 .
知识测评
04
建议时间：20分钟
1.(2025·山东省青岛第二中学期中)在中，，，，则角 等
于( )
D
A. B. C. D.或
【解析】,,, 由正弦定理,可得 ,得
.,则或 ,故选D.
2.在中，已知，则 等于
( )
A
A.3:5:7 B.7:5:3 C.6:5:4 D.4:5:6
【解析】因为,所以不妨设则 ,
,,所以,即 .故选A.
3.在中，内角，，的对边分别是,,.若 ,
,，则 ( )
B
A. B.1 C. D.
【解析】由条件及正弦定理可得,即,所以 .又
，所以 .
由得，所以 .
4.［多选题］(2025·湖南省永州市检测)在中，角，，的对边分别为 ，
，．若为锐角三角形，且满足 ，
则下列等式成立的是( )
AC
A. B. C. D.
【解析】因为 ，
所以 ，
所以 ，整理可得，
，
因为为锐角，所以，所以 ，
由正弦定理可得， ，
由三角形的大边对大角可得， .
故选 ．
5.设的内角，，的对边分别为,,.若,,,则 ___.
1
【解析】由,得或 .
因为,所以舍去，即,于是 .
由正弦定理，得,所以 .
图11.2-1
6.如图11.2-1所示，已知在四边形中，， ，
， ， ，求 的长．
【答案】设，在 中，由余弦定理得
，
即 ，
，舍去，即 .
在中，由正弦定理得 ，
.
高考模拟
05
建议时间：35分钟
7.在中，角,,所对的边分别为,,,若, ,则
的面积是( )
D
A. B. C.4 D.
【解析】在中， ,
所以,所以 .
又为的内角,所以 .
又，所以,得 .
故的面积 .
8.(2025·山西省晋城市期中)在中，,,分别为内角,, 所对的边，且满足
，，则 的形状是( )
C
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
【解析】在中，，，分别为内角，，所对的边， ,则
,整理得,由于 ,所以 ,则
,由于,故,所以 为等边三角形.
9.在中，,,是角,,的对边，已知, ，则以下判断错误的是
( )
D
A.的外接圆的面积是
B.
C. 可能等于14
D.作关于的对称点,则的最大值是
【解析】对于选项A，由正弦定理知，为 外接圆的半
径, ,
的外接圆的面积为 ,故选项A正确;
对于选项B, ,
, ,
,故选项B正确;
对于选项C,由余弦定理知, ,
,
,当且仅当 时，等号成立，故选项C正确;
对于选项D,设的边上的高为 ,
,
,
,的最大值是 ,故选项D错误.
故选D.
10.［多选题］(2025·江苏省南通市第一中学检测)对于 ，下列说法中正确的是
( )
CD
A.若，则 为等腰三角形
B.若，则 为直角三角形
C.若，则 为钝角三角形
D.若,, ,则的面积为或
【解析】对于选项A,若,则或 ,所以 或
,即 为等腰三角形或直角三角形，所以A错误.
对于选项B,例如 , ,满足,但 不是直角三角形，
所以B错误.（验证某一结论错误，只需举一反例即可）
对于选项C,由正弦定理及知 ,所以
，所以为钝角， 为钝角三角形，即C正确.
对于选项D,由正弦定理知，,即,所以 ,因为
,所以 或 .
当 时，为直角三角形，且 ,所以 ;当
时，为等腰三角形, ,所以
.
综上所述，的面积为或 ,所以D正确.
故选 .
11.(2023·全国甲卷)在中， ，，， 的角平分
线交于,则 ___.
2
【解析】由余弦定理得,整理得,得 .
又 ，所以
,
所以 .
12.在中，满足条件，，，则
___，的面积等于____ .
【解析】由，得，则 .
由得，所以 ，
则，的面积 ．
图11.2-2
13.(2025·广东省茂名市第一中学月考)在中，角，，
的对边分别为,,.已知,, .
（1）求 的值；
【答案】在中，因为,， ,
由余弦定理 ，得
,所以 .
在中，由正弦定理,得 ,
所以 .
（2）在边上取一点（如图11.2-2），使得,求 的值.
【答案】在中，因为，所以 为钝角,
而 ，所以 为锐角.
故，则 .
因为,所以 ,
.
从而 .
14.新考法 结构不良 在中， ．
（1）求 .
【答案】在中， ,由正弦定理得,
,
因为,所以,所以 ,
因为,所以 .
（2）求 的最大值．
【答案】因为,所以,所以,且 ,
所以 ,
所以当时， ,
即 的最大值为1.
（3）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使 存在
且唯一确定，求 的面积．
条件①：；条件②：；条件③： ．
【答案】选条件①②:在中，,, ,
由正弦定理得,,所以 ,
因为,所以必为锐角，所以 ,
所以
,
所以这样的三角形不存在.
选条件①③：在中，,, ,
由得, ,
解得 .
所以,满足,即 为直角三角形，这样的三角形存在
且唯一.
此时， .
选条件②③:在中，,, .
由正弦定理得, ,
由得, ,
解得舍去 ,
因为,, ,满足三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边,
故这样的三角形存在且唯一,
此时, .
15.在等边三角形中，为内一点，且 ，则 的最小值为_ __.
图D 11.2-1
【解析】如图D 11.2-1，将绕点顺时针旋转 到
处，易知与全等，所以 .
连接，易得 为等边三角形，
所以 ,所以 .
在 中，应用正弦定理可得
,当且仅当 时取等号，又
，所以的最小值为 .
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高一下学期数学苏教版必修第二册