11.3 余弦定理、正弦定理的应用 课件(共69张PPT)-高一下学期数学苏教版必修第二册

(共69张PPT)
11.3 余弦定理、正弦定理的应用
第11章 解三角形
高一下学期数学苏教版必修第二册
目录
课标要点
03
01
02
04
必备知识解读
题型解析
知识测评
05
高考模拟
课标要点
01
必备知识解读
02
知识点1 测量问题
1 测量距离问题的基本类型和解决方案
当的长度不可直接测量时，求 的距离有以下三种类型.#1
类型 简图 计算方法
, 间不可达也不可视 测得,, 的大小,则由余
弦定理得 .
类型 简图 计算方法
，与点 可视但不可达 测得,, 的大小,则
，由正弦定理得
.
，与点， 均可视不可达 测得及,, ,
的度数.在 中，用正弦定
理求;在 中,用正弦定理求
;在中,用余弦定理求 .
续表
知识回顾
涉及的有关术语 #1.3
术语名称 术语意义 图形表示
方位角 从指北方向线顺时针转到目标方向线的角叫作方 位角.
方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常 表达为北偏东（西）、南偏东（西） 度. 北偏东 或东偏北
_________________________
2 测量高度问题的基本类型和解决方案
当的高度不可直接测量时，求 的高度有以下三种类型.#1
类型 简图 计算方法
底部可达 测得,的大小,
类型 简图 计算方法
底部 不可 达 点与 ， 共线 测得及与 的度数.
先由正弦定理求出或 ，再解直角
三角形得 的值.
点与 ， 不共线 测得及,， 的
度数.
在中由正弦定理求得 ，再解直
角三角形得 的值.
续表
知识回顾
涉及的有关术语#1.1.2
术语名称 术语意义 图形表示
仰角与俯 角 在同一铅直平面内，目标视线与水平视线所成的 角中,目标视线在水平视线上方的叫作仰角,目标 视线在水平视线下方的叫作俯角.
坡角 坡面与水平面的夹角. 设坡角为 ,坡度为 ,
则 .
___________________________
坡度 坡面的垂直高度和水平宽度 的比. 3 测量角度问题
测量角度问题主要涉及海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方位
角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.
解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角
形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.
典例详解
图11.3-1
例1-1 如图11.3-1，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，
工程技术人员已测得隧道两端的两点，到点 的距离
，且 ，则， 两点间的距离为
( )
A
A. B. C. D.
【解析】在中，易得 ，
由正弦定理 ,
得 .
图11.3-2
例1-2 (2025·河南省部分学校质检)测量河对岸某一高层建筑物 的
高度时，可以选择与建筑物的最低点 在同一水平面内的两个观测
点和，如图11.3-2所示，测得， ，
，并在处测得建筑物顶端的仰角为 ，则建筑物
的高度为( )
B
A. B. C. D.
【解析】由题意，在中， ， ，
，又 ，
由正弦定理得 .
在中， ， ，
,
则建筑物的高度为 .
图11.3-3
例1-3 当太阳光与水平面的倾斜角为 时，一根长为 的竹
竿如图11.3-3所示放置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成
的角是( )
B
A. B. C. D.
【解析】设竹竿与地面所成的角为 ,影子长为 .由正弦定理，得
,解得 .
, ,
当 ,即 时, 有最大值.
即竹竿与地面所成的角是 时，影子最长.
重难拓展
知识点2 解三角形的应用题
解与三角形有关的应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或
几个三角形，然后通过解三角形，得到实际问题的解，求解的关键是将实际问题转
化为解三角形问题.
1 解题思路
2 基本步骤
运用正、余弦定理解决实际问题的基本步骤如下.
（1）分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图（一个或几个三角形）.
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关
三角形中，建立一个解三角形的数学模型.
（3）求解：利用正、余弦定理解三角形，求得数学模型的解.
（4）检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解.
3 主要类型
典例详解
例2-4 如图11.3-4，某市在进行城市环境建设中，要把一个四边形 区域改造成
公园，经过测量得到，，， ，且
，则这个区域的面积是_ ______ ．
图11.3-4
【解析】连接（图略），在 中，
,, ,利用余弦定理得
,即
．
在中，因为，，，所以 ，
则为直角三角形,且 ．
故 .
总结 （1）解题时可以构造一些特殊三角形，如等边三角形、直角三角形、等腰
三角形等，优化解题过程.
（2）解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据（原始数据），少用
间接求出的数据.
题型解析
03
题型1 正、余弦定理解决测量问题
1 测量距离问题
例5 某基地进行实兵对抗演习，红方为了准确分析战场形势，从相距 的军事
基地和处测得蓝方两支精锐部队分别在处和处，且 ,
, , ,如图11.3-5所示，求蓝方这两支精锐部队间
的距离.
图11.3-5
给什么得什 么 中，给出两角一边，由正弦定理及三角形内角和定理可解三
角形.
求什么想什 么 由题干分析可知，所求距离为长，可将其放在
（或 ）中，用余弦定理求解.
差什么找什 么 余弦定理需两条边和一个角，在中，先求和 ，代入余弦
定理公式中，求得 .
【解析】 .
, , .
在中， ，
由正弦定理得 .
在 中，由余弦定理得
, .
故蓝方这两支精锐部队间的距离为 .
【另解】在中，由正弦定理求得，在中，由余弦定理求得
由图11.3-5可知，是等边三角形，且垂直平分 ，易知
.由 ，可知 是等腰直角三角形，易得
.
名师点评 由此可以看出，根据图形的特点，利用相关性质可以简化步骤.求解涉及
多个三角形的问题时，应尽量选择已知条件较多的三角形.
2 测量高度问题
例6 某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度，
如图11.3-6，在处进行该仪器的垂直弹射，观测点，两地相距 ,
，在地听到弹射声音的时间比地晚.地测得该仪器在 处时的俯
角为 ,地测得该仪器在最高点时的仰角为 ，求该仪器的垂直弹射高度 .
（声音在空气中的传播速度为 ）
图11.3-6
【解析】由题意，设 ，
则 .
在 中，由余弦定理得
,
即，解得 .
在中，, , .
由正弦定理得 .
故该仪器的垂直弹射高度为 .
名师点评 本题中涉及“俯角”“仰角”这样的术语，注意其反映在图形上的位置.
3 测量角度问题
例7 (2025·江西师大附中期中)一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东 方向，
距离为海里，灯塔在的北偏西 方向，距离为海里，该游轮由 沿正
北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东 方向，则此时灯塔 位于游轮的
( )
C
A.正西方向 B.南偏西 方向 C.南偏西 方向 D.南偏西 方向
【解析】由题意作图，如图11.3-7，则 ,
图11.3-7
在中，由正弦定理得 ,
所以 （海里）.
在中，海里，海里， ,
由余弦定理可得
,
所以 海里，再由余弦定理得
，即 .
所以此时灯塔位于游轮的南偏西 方向.
正、余弦定理在解决实际问题中的应用，本质上还是正、余弦定理在解决几何图形
（主要是三角形与四边形）问题中的应用，一般利用几何图形本身及实际问题中涉
及的术语（如方位角等）构建恰当的三角形，在三角形中运用正弦定理或余弦定理
即可使问题得解.
题型2 正、余弦定理在力学中的应用
图11.3-8
例8 如图11.3-8所示，墙上有一个三角形灯架 ，灯所受重力为
,且，都是细杆，只受沿杆方向的力，试求杆， 所
受的力的大小.（精确到，参考数据： ,
, ）
【解析】点处受到三个力的作用：灯线向下的拉力（记为 ），从
到方向的拉力（记为），从到方向的支持力（记为 ），
这三个力是平衡的，即 .
图11.3-9
如图11.3-9所示，作,将沿到，到 的两个方向进行分
解，即作,则， .
由题设条件可知，， , ,所以
.
在中，由正弦定理得 ,则
,
.
所以杆所受的力的大小约为，杆所受的力的大小约为 .
解决力学问题时，首先要搞清楚题中相关术语的准确含义，正确对物体进行受力分
析，注意受力平衡的意义，再用数学语言（符号语言、图形语言）表示已知条件，
最后用正弦定理、余弦定理解决.
题型3 综合应用题
例9 (2025·四川省德阳中学月考)如图11.3-10，经过村庄有两条夹角为 的公路
，，根据规划,在两条公路之间的区域内建一工厂 ，分别在两条公路边上建两
个仓库，（异于村庄），要求（单位： ）.
图11.3-10
（1）当 时，求线段 的长度；
【解析】由题意知, ,
因为 ,所以 ,
在中， ,
在中，,故线段 的长度为
.
（2）问如何设计，使得工厂产生的噪音对居民的影响最小？（即工厂与村庄的距离
最远）
【解析】设 ,则 ,
在中，由正弦定理知，，即 ,所以
,
在 中，由余弦定理知，
,
因为,所以当 ,即 时， 取得最
小值,为 ,
此时取得最大值，为 ,
所以的最大值为,此时 ,
故设计 时,可使工厂产生的噪音对居民的影响最小.
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
高考对解三角形的实际应用的考查主要是运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些
与测量和几何有关的实际问题.题型主要为选择题，难度中等.
核心素养:数学建模（将实际问题转化到三角形中求解）、直观想象（以题想图，选
择合适的定理解题）.
考向 解三角形的实际应用
图11.3-11
例10 (全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗
玛峰最新高程为（单位： ）,三角高程测量法是珠峰
高程测量方法之一.如图11.3-11是三角高程测量法的一个示意图，
现有，，三点，且，,在同一水平面上的投影， ，
满足 , .由点测得 点的仰角为
，与的差为100;由点测得点的仰角为 ，则
，两点到水平面的高度差约为
( )
B
A.346 B.373 C.446 D.473
图11.3-12
【解析】如图11.3-12所示，根据题意过作，交 于
，过作，交于，则 ,
.在中， ,则
.又在点处测得点的仰角为 ，所
以 ,所以高度差
.
知识测评
04
建议时间：25分钟
图11.3-1
1.(2025·河南省灵宝市实验高级中学月考)如图11.3-1，设， 两点
在河的两岸，一测量者在所在的同侧河岸边选定一点，测出
的距离为， ， ，则， 两点间的
距离为( )
A
A. B. C. D.
【解析】在中， ，
由正弦定理得 ．
2.(2025·四川省遂宁中学校开学考试)一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为
了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点 测得水柱顶端的仰角
为 ，沿点向北偏东 前进到达点，在点测得水柱顶端的仰角为 ，
则水柱的高度是( )
A
A. B. C. D.
图D 11.3-1
【解析】依题意作图，如图D 11.3-1,设水柱的高度是 ，由
题意知，在中， ,易知.在
中， ，，， .根据余弦定
理，得 ，即
，即，解得 ，
故水柱的高度是 .
图11.3-2
3.如图11.3-2所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物 的
视角为 ，向山顶前进100 米到达处，又测得建筑物 的视角
为 ，若米，山坡对于水平面的坡角为 ,则
( )
C
A. B. C. D.
【解析】在 中，由正弦定理可知，
米.
在中， 由题图,知
.
4.如图11.3-3,小明同学在山顶 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行
驶,小明在处测得公路上，两点的俯角分别为 , ,且 ,若山高
,汽车从点到点历时,则该汽车的速度为_ _____ .
图11.3-3
【解析】由题意得,，在 中,由余弦
定理得 .
故该汽车的速度为 .
图11.3-4
5.高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的
智慧与汗水.如图11.3-4所示，,, 为山脚两侧共线的三
点，在山顶处测得这三点的俯角分别为 , , ，
计划沿直线开通穿山隧道，现已测得,, 三条线
段的长度分别为,, .
（1）求线段 的长度；
【答案】由已知可得， ， ，
在中，由正弦定理得 ，
即 ，
解得,故线段的长度为 .
（2）求隧道 的长度.
【答案】由已知可得 ，
在中， ，
所以 ．
高考模拟
05
建议时间：45分钟
图11.3-5
6.(2025·四川省成都市期末)如图11.3-5，为了测量两山顶,
间的距离，飞机沿水平方向在,两点进行测量，,,, 在
同一个铅垂平面内，在点测得在的南偏东 的方向
上，在的南偏东 的方向上，在点测得在 的南偏
西 的方向上，在的南偏东 的方向上，且
，则 ( )
C
A. B. C. D.
图D 11.3-2
【解析】由题意作出如图D 11.3-2所示的示意图，
, , , ,
，
所以 , ，
所以 ，
在中， ，
在中，, ,
在中， ，解
得 .
7.［多选题］如图11.3-6所示，为了测量某湖泊两侧， 的距离，某同学首先选定了
与，不共线的一点，然后给出四种测量方案的角，， 所对的边分别
记为,,.则下列方案中一定能确定, 间距离的是( )
ABC
图11.3-6
A.测量，， B.测量,, C.测量,, D.测量,,
【解析】对于A,在中，,所以 .由正弦定理得
,所以 .
对于B，由余弦定理可得,所以 .
对于C，在中，,所以 ，由正弦定理得
,所以 .
对于D，由余弦定理得,解得的可能有两个值，此时不能确定，
间的距离.故一定能确定，间距离的方案有 .
8.(2025·上海中学检测)作用在同一点的三个力，，平衡，已知 ,
,与之间的夹角是 ，则与 之间的夹角的正弦值为_ ___．
【解析】由题意可知,应和,的合力平衡，所以和 在同一直线上，并且大小
相等，方向相反.如图D 11.3-3，设与之间的夹角为 ，由余弦定理得
，再由正弦定理
得，即 .
图D 11.3-3
9.(2025·吉林省白城市第一中学期末)如图11.3-7所示，飞机的航线和山顶 在同一个
铅垂平面内，已知飞机的高度保持在海拔,飞行员先在处看到山顶的俯角为 ，
继续飞行后在点处看到山顶的俯角为 ，则山顶的海拔高度为
_ _______________________________（用,, , 表示）.
（或）
图11.3-7
图D 11.3-4
【解析】如图D 11.3-4，在 中，由正弦定理得
,
.过作垂直于的延长线于点，过 作
垂直于水平面于点，则在 中,
,
.
（或 ,由 ，可知
, ）
图11.3-8
10.新考法 结构不良 某市规划修建公路自行车比赛赛道，该
赛道的平面示意图为如图11.3-8所示的五边形 ，运动
员在公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、
公共器材车或收容车上获得帮助．比赛期间，修理或更换车
轮或赛车等，也可在固定修车点上进行，还需要运送一些补
给物品，例如食物、饮料、工具、配件等．所以项目设计需要预留出， 作为
赛道内的两条服务通道（不考虑宽度），，，，， 为赛道，
，，， ．
（1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道 的长度；
； .
【答案】在中，由正弦定理可得, ,
又,,,所以 ,
可得 .
若选①,因为在中，, ,
所以 ,
所以 .
在中， .
若选②，在中，由余弦定理可得,即 ，
解得或 （舍）,
所以服务通道的长度为 .
（2）在（1）条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道最长（即 最
大），最长为多少？
【答案】在中，由余弦定理可得, ,
即 ,
即 ,（基本不等式的运用）
可得,当且仅当 时取等号,
所以的最大值为 .
故折线段赛道最长（即最大）时，长为 .
. .
11.(2025·北京师范大学第二附属中学检测)如图 11.3-9，游客从某旅游景区的景点
处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到，另一种是先从 沿索道乘缆车
到，然后从沿直线步行到.现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿 匀速步行，
速度为.在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从
匀速步行到.假设缆车匀速直线运行的速度为，山路长为 ，经
测量,, .
图11.3-9
（1）求索道 的长；
【答案】在中，因为, ,
所以, ，
从而 .
由正弦定理得 ，
所以索道的长为 .
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
【答案】假设乙出发后，甲、乙两游客的距离为 ,此时，甲行走了
,乙距离处，所以由余弦定理得 .
因为,即，所以当 时，甲、乙两游客距离最短.即乙出发
后，乙在缆车上与甲的距离最短.
（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过 ，乙步行的速度应控制在什么
范围内？
【答案】由正弦定理 ，
得 .
乙从出发时，甲已走了，还需走才能到达 .
设乙步行的速度为，由题意得 ,
解得,所以为使两位游客在处互相等待的时间不超过 ，乙步行
的速度应控制在,（单位： ）范围内.
谢谢观看
高一下学期数学苏教版必修第二册