12.1 复数的概念 课件(共33张PPT)-高一下学期数学苏教版必修第二册

(共33张PPT)
12.1 复数的概念
第12章 复数
高一下学期数学苏教版必修第二册
目录
课标要点
03
01
02
04
必备知识解读
题型解析
知识测评
课标要点
01
必备知识解读
02
知识点1 数系的扩充与复数的概念
1 复数的引入
为了使方程 有解，使实数的开方运算总可以实施，实数集的扩充就从
引入平方等于的“新数”开始.为此，我们引入一个新数 ，叫作虚数单位，并规定：
（1）；（2）实数可以与 进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘
法运算律仍然成立.
在这种规定下，可以与实数相乘，再与实数 相加.由于满足乘法交换律及加法
交换律，从而可以把结果写成 .这样，数的范围又扩充了.
2 复数概念
我们把形如 的数叫作复数.全体复数所组成的集合叫作复数集，
记作C.
3 复数的表示
复数通常用字母表示，即，其中与（【易错】虚部是 ,
不是）分别叫作复数 的实部与虚部.
. .
4 复数的分类
对于复数，当且仅当时，是实数；当时， 叫
作虚数.特别地，当且时， 叫作纯虚数.具体说来，复数
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图12.1-1表示.
图12.1-1
典例详解
例1-1 ［教材改编P121 T2］判断,,,,, 的关系.
【解析】根据各数集的含义可知， .
例1-2 ［教材改编P120例1］下列复数中，哪些是实数，哪些是虚数
,3, ,0
【解析】根据复数的定义，可以知道虚数有, ；实数有3和0.
例1-3 复数 的虚部是( )
C
A. B.1 C. D.3
【解析】由复数的表示可知，的虚部是（此处易误认为虚部为 ）.
. .
例1-4 (2025·海南省文昌中学段考)设,,“”是“复数 是纯虚数”的
( )
B
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】当时,若,则是实数,不是纯虚数,因此“ ”不是“复数
是纯虚数”的充分条件;而若 是纯虚数,则实部为0,虚部不为0，可以得到
,因此“”是“复数是纯虚数”的必要条件.故“”是“复数 是纯
虚数”的必要不充分条件.
知识点2 复数相等
如果两个复数的实部与虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即
这就是说，两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等.
特别提醒（1）应用复数相等的充要条件时应先将复数化为 的形
式，即分离实部和虚部.
（2）只有当且的时候才有，和 有一个不成
立时，则 .
（3）由，，，可得且 .
发散探讨
虚数为什么不能比较大小？
引入虚数单位后，规定,但 与0的大小关系不能确定.理由如下：
若，则,两边同乘，得,即 ,与实数系中数的大小规定
相矛盾；若，则 ,与实数系中数
的大小规定也是矛盾的.
故虚数不能比较大小，只有相等与不相等之分.
若两个复数用“ ”或“ ”连接，则它们必为实数.
典例详解
例2-5 ［教材改编P121 T6］求满足下列条件的实数, 的值：
（1） ；
【解析】根据复数相等的充要条件，可知解得
（2） .
【解析】根据复数相等的充要条件，可知即
解得或
例2-6 复数，若 （【注意】虚数不能比较大小，若两个
复数可以比较大小，则这两个复数都是实数），则实数 的值是( )
B
A. B. C. D.1
【解析】能比较大小的两个数一定都是实数，故，解得 ,
又，即，所以 ,
故 .
. .
题型解析
03
题型1 复数的分类
例7（1）已知,若为虚数单位是实数，则 ( )
C
A.1 B. C.2 D.
【解析】因为是实数，所以，所以 .
（2）若复数是纯虚数，且其虚部和的虚部相等，则 ____.
【解析】由于复数是纯虚数，所以设 ，
又的虚部是,所以，即 .
例8 ［教材改编P121 T4］已知,复数,当 为何值
时，复数 满足下列条件？
（1） 为实数；
【解析】要使为实数, 需满足
,
,
（【易错点】分母不为0，保证分式有意义）解得 .
. .
（2） 为虚数；
【解析】要使为虚数,需满足
解得且 .
（3） 为纯虚数.
【解析】要使为纯虚数, 需满足
,
,
,
（【注意】纯虚数的虚部不能为0）解得或 .
. .
名师点评 判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数，首先要保
证含有参数的代数式有意义.
求解复数分类问题的关键
（1）复数为纯虚数的充要条件是且 .
（2）复数为实数的充要条件是 .
（3）复数为虚数的充要条件是 .
依据复数的类型求参数时要先确定使代数式有意义的参数的取值，再结合以上结论
求解.
【变式题】
1.(2025·重庆市调研)“”是“复数 为纯虚数”的
( )
A
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】若，则复数是纯虚数.若复数 是纯虚数，
则且，所以.因此“ ”是“复数
为纯虚数”的充要条件.
题型2 复数相等
例9（1）若，求, 的值.
【解析】解得
（2）已知成立，求实数 的值.
【解析】由 ，
可得解得 .
（3）若关于的方程有实根，求实数 的值.
【解析】设方程的实根为 ,
则原方程可变为 ,（【巧转化】把方程有根问题转
化为两个复数相等的问题）
所以
，
（复数问题“实数化”是解决复数问题的重要方法）解得或 .
. .
. .
复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数.解决复数相等问题
的步骤：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相
等列方程组求解.
【变式题】
2.［教材改编P122 T7］已知集合,2, ,
,，且，求实数 的值.
【答案】由于，所以 ，则
.
根据复数相等的充要条件可知，解得 .
知识测评
04
1.复数 的实部是( )
C
A.2 B.3 C. D.
【解析】的实部是 .
2.已知，，为虚数单位，则“”是“复数 是纯虚数”的
( )
C
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】若复数是纯虚数，则 （纯虚数要求实部为0，虚
部不为0），若，则是实数，故“ ”是“复数
是纯虚数”的必要不充分条件．故选C．
. .
3.(2025·四川省遂宁市期中)对于复数 ，下列结论正确的是( )
A
A.若，则 为实数
B.若为纯虚数，则
C. 的平方等于1
D.若，则,
【解析】若，则为实数，故A正确;若 为纯虚数，
则，,故B错误;的平方等于，故C错误;若，则 ,
，故D错误.
4.新定义 等部复数 如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，
若复数为“等部复数”，则实数 的值为( )
D
A. B.0 C.2 D.
【解析】因为“等部复数”的实部和虚部相等，复数为“等部复数”，所以 ，所
以 ．故选D．
5.［多选题］ 给出下列命题为真命题的是( )
AC
A.实数集和复数集的交集是实数集
B.实数集和虚数集的交集是
C.两个复数相等需要满足实部和实部、虚部和虚部分别相等
D.复数的实部是1，虚部是
【解析】对于B，0不属于虚数集;对于D，复数 的实部和虚部都是1.
6.已知 为实数，若复数是纯虚数，则 的虚部为____.
【解析】若复数是纯虚数,则 解得
,,即,则的虚部为 .
7.给出以下命题：
（1）若，则当且仅当且时， ；
【答案】根据复数的概念可知，当且时， ，所以该命题为真命题；
（2）两复数，，则和 一定不能比较大小；
【答案】当 时，这两个复数都是实数，此时是可以比较大小的，所以该命
题为假命题；
（3）若，则, .
其中真命题的序号是_______________________________________________________
_______.
根据复数相等的充要条件可知，，,所以该命题为
假命题.
8.［教材改编P120 例2］(2025·陕西省咸阳市实验中学质检)设复数
，问当 为何值时：
（1） 是实数
【答案】要使复数为实数,需要满足解得或, 当
或时， 是实数.
（2） 是纯虚数？
【答案】要使复数是纯虚数，需要满足解得 当
时， 是纯虚数.
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