12.2 复数的运算 课件(共73张PPT)-高一下学期数学苏教版必修第二册

(共73张PPT)
第12章 复数
12.2 复数的运算
1
教材帮 新知课丨必备知识解读
2
方法帮 解题课丨关键能力构建
3
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
4
练习帮 习题课丨学业质量测评
教材帮 新知课丨必备知识解读
知识点1 复数的加法运算
1 复数的加法法则
设， 是任意两个复数，复数的加法按照以下的法则进行运
算: .
知识剖析
对复数的加法法则的理解
（1）两个复数相加，类似于两个多项式相加：实部与实部相加，虚部与虚部相加.
（2）两个复数的和仍然是一个确定的复数,但是两个虚数之和不一定是一个虚
数.如 .
（3）复数的加法可以推广到多个复数相加的情形：各复数的实部分别相加，虚
部分别相加.
2 复数的加法满足的运算律
对任意,, ，有
（1）交换律： .
（2）结合律： .
学思用·典例详解
例1-1 计算：
（1） ；
【解析】 .
（2） ；
【解析】 .
（3） .
【解析】 .
例1-2 若复数满足，则 的虚部是( )
B
A. B.4 C. D.
【解析】设复数的虚部为 ，
则，得 ，
故 的虚部是4．
知识点2 复数的减法运算
我们把满足的复数叫作复数 减
去所得的差，记作 .
根据复数的加法法则和复数相等的定义，有, ，即
，，所以 .于是，我们得到复数的减法
法则： （实部与实部相减，虚部与虚部相
减）.
说明 POINT
复数的减法是复数的加法的逆运算
. .
知识剖析
对复数的减法法则的理解
（1）两个复数相减，类似于两个多项式相减：把复数的代数形式看成关于“ ”的
多项式，则复数的减法类似于多项式的减法，只需要“合并同类项”就可以了.
（2）很明显，两个复数的差是一个确定的复数,但是两个虚数之差不一定是一
个虚数，如 .
学思用·典例详解
例2-3 已知复数，,则 ____.
.
例2-4 ［教材改编P124 T2］若,,且，则
___, ____.
5
【解析】 ,
又 ,
即
知识点3 复数的乘法运算
1 复数的乘法法则
复数的乘法按照以下的法则进行运算：
.
显然，两个复数的积仍是一个复数.
复数的乘法法则与多项式的乘法法则是类似的，只是在运算过程中要把 换成
，然后把实部与虚部分别合并.
2 复数乘法的运算律
对于任意,, ，有
（1）交换律： .
（2）结合律： .
（3）分配律： .
在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对任何，，及 ,
,有,, .
说明 以前我们所学过的完全平方式、平方差公式等，对于复数来说也是成立
的，即, .
学思用·典例详解
例3-5 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】 .
例3-6 复数的实部与虚部相等，则实数 ( )
B
A. B.0 C.1 D.2
【解析】 ,且该复数的实部与虚部相等,
，解得 ．
例3-7 已知，,若，,是纯虚数，求 .
【解析】，因为 是纯虚数,所以
，且 ，
解得,此时 .
知识点4 共轭复数
1 定义
我们把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫作互为共轭复数，复数
的共轭复数记作,即 .
2 性质
当复数的虚部时, ，也就是说，实数的共轭复数是它本身.
. .
学思用·典例详解
例4-8 ［教材改编P125 T4］写出下列复数的共轭复数:
（1） ;
【解析】 ;
（2） ;
【解析】（切勿写成 ）；
（3） ;
【解析】 ;
（4） .
【解析】 .
. .
知识点5 复数的除法运算
1 定义
我们把满足的复数 叫作复数
除以所得的商，记作或 .
2 复数的除法法则
一般地，我们有.因为 ,所以
.
由此可见，两个复数的商仍是一个复数.
知识剖析 1.复数的除法与实数的除法有所不同，对于实数的除法，可以直接约分化
简，得出结论，但对于复数的除法，因为分母为复数，所以一般不能直接约分化简.
2.复数除法的一般做法：通常先把写成 的形式，再把分子
与分母同乘分母的共轭复数，最后将结果化简，即
.
3.分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为一个实数，这与作根式除法时
的分母“有理化”的处理是类似的.
学思用·典例详解
例5-9 设是虚数单位，则复数 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】 .
例5-10 已知是虚数单位，则复数 ( )
D
A.1 B. C. D.
【解析】 .
例5-11 ［教材改编P127 T5］(2025·天津市塘沽第一中学期中)若复数
，为虚数单位是纯虚数，则实数 的值为( )
A
A. B. C.4 D.6
【解析】由题意可知，因为 为纯虚数，所以
解得 ．
知识点6 实系数一元二次方程在复数范围内的解集
1 实数系一元二次方程的定义
当,,都是实数且时，关于的方程 称为实系数一元二次
方程（此方程在复数范围内总是有解的）.
2 方程 在复数范围内的解集
当实数时，方程在复数范围内的解集为{, }.
. .
. .
. .
3 方程，且,, 在复数范围内的解集
若一元二次方程，且，， ，则
当时,方程有两个不相等的实数根，, ;
当时,方程有两个相等的实数根， ;
当时,方程有两个互为共轭的虚数根，, .
. .
4 根与系数的关系
如果,为实系数一元二次方程 的根，那么
,
（说明 ，为虚数时也满足根与系散的关系）.
. .
学思用·典例详解
例6-12 分别在有理数集、实数集、复数集中分解因式 .
【解析】在有理数集中： .
在实数集中： .
在复数集中：
点评 （1）数集不同，分解的因式也不相同;（2）在复数集中，每一个因式都应分
解成一次因式的乘积.
.
例6-13 在复数范围内解一元二次方程 .
【解析】 ,, .
（配方法） 配方得, ,
, .
释疑惑 重难拓展
知识点7 复数运算的常用技巧
1 复数常见运算小结论
（结论的变形式可简单了解，不必记
忆.）
（4） ;
（5）,,, .
2 常用公式
;
;
.
3 关于共轭复数的几个常用结论
（1）若，则 .利用此结论，在复数集中可以将
分解为 .
（2）;对于非零复数，是纯虚数 .
（3）若,则, .
（4）, .
（5） .
学思用·典例详解
例7-14 复数 的值为_______.
【解析】 .
例7-15 已知复数， ，计算：
（1） ；
【解析】 .
（2） .
【解析】 .
点评 由上我们可以看出，事实上，这一结论可以推广到 个复数
的运算： .
方法帮 解题课丨关键能力构建
题型1 复数的加、减运算
例16（1）计算 ；
【解析】
.
（2）若，求实数, 的值.
【解析】 ,所以
, .
例17 求满足下列条件的复数
（1） ;
【解析】由于，所以 .
（2） .
【解析】由于，所以,所以复数 .
解决复数加、减运算的思路
1.两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）.
2.复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数.
3.当多个复数相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相加
（减）.
【学会了吗丨变式题】
1.若复数满足，则 ( )
D
A. B.7 C. D.5
【解析】由,得，则 解得
则 .
题型2 复数的乘、除运算
例18 计算：
（1） ;
【解析】原式
.
（2） ；
【解析】 .
（3） .
【解析】 原式 .
设,则 ,即
,所以解得所以原式 .
例19 已知复数,则 ( )
B
A. B. C.2 D.
【解析】 ,
.
又 ,
.
, .
解决复数的乘、除运算问题的思路
1.复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将换成 ，并将实部、
虚部分别合并.多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，如
,
.
2.复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母
“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算.
【学会了吗丨变式题】
2.(2025·江苏省海安高级中学模拟)已知复数,（其中 为虚数单
位，）．若是纯虚数，则 ( )
B
A. B. C.1 D.4
【解析】，因为 是纯虚数，所以
解得 .
3.已知为虚数单位，则复数 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】由题意得,则 .
题型3 共轭复数及其性质的应用
例20 (2025·陕西省榆林市第一中学月考)若复数满足，其中 为虚数
单位，则 ( )
B
A. B. C. D.
【解析】 设，则（若方程中既有又有 ,则需
设出 ）.
因为，所以解得 故
.
. .
设 ,
由复数的性质可得 ，
则 ，
所以解得所以 .
由共轭复数的性质，将等式 ①两边都变形为其共轭复数，
则，即 ②，由①②构建方程组，消去 ，解得
.
求与共轭复数有关问题的策略
1.设,则 ，代入所给等式,利用复数相等的充要条件,转化
为方程（组）求解.
2.结合题设，利用共轭复数的性质，对已知条件进行变形，简化运算.
【学会了吗丨变式题】
4.(2022·全国甲卷)若，则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】.（利用 可简化运
算）
题型4 解复数方程
1 解实系数一元二次方程
例21 已知是方程 的一个根.
（1）求实数， 的值；
【解析】把代入方程，得 ，
解得
（2）结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明.
【解析】由（1）知方程为 .
设另一个根为，由根与系数的关系，得， .
把代入方程 ，
则左边右边， 是方程的另一个根.
（1）
（2）
名师点评 实系数一元二次方程的虚根是成对出现的,即若复数
是实系数一元二次方程的根,则其共轭复数 是该方程的另一根.
2 解复系数一元二次方程
例22 在复数集内解方程 .
【解析】因为,, ,
所以 .
设,则 ,
则
解得或
所以的平方根为 ,
所以 ,
得, ,
即原方程的根为, .
提示 POINT
也可对等式左边进行因式分解,则,所以,
【学会了吗丨变式题】
5.在复数范围内分解因式： .
【答案】令,, 的平方根为 .
, .
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
高考比较注重对复数四则运算及共轭复数相关计算的考查，在平时的学习过程中，
多进行总结，尤其在进行除法运算时容易出现计算错误，应引起重视.题型主要为选
择题，难度较小.
核心素养:数学运算（复数的四则运算、共轭复数的相关计算等）.
考向1 复数的四则运算
例23（1）(2025· 全国二卷)已知，则 ( )
A
A. B. C. D.1
【解析】 .
（2）(2024· 新课标Ⅰ卷)若,则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】 （解方程法） 因为，所以 ，即
，即（题眼），所以
（取倒数法） 因为，所以 （题眼），即
，即，所以 .
（3）(2022·新高考全国Ⅱ卷) ( )
D
A. B. C. D.
【解析】 ．
. .
. .
考向2 共轭复数的相关计算
例24（1）(2024·全国甲卷)若,则 ( )
A
A. B. C.10 D.2
【解析】因为，所以，所以 .
（2）(2023· 新课标Ⅰ卷)已知，则 ( )
A
A. B. C.0 D.1
【解析】因为，所以，所以 .
（3）(2023·全国乙卷)设,则 ( )
B
A. B. C. D.
【解析】，所以 .
命题探 源 从近几年的高考题看与共轭复数有关的计算问题是近几年复数考查的重点. 素养探 源 素养 考查途径
数学运算 复数的四则运算.
方法探 源 变式探源
(2022·新高考全国Ⅰ卷)若,则 ( )
D
A. B. C.1 D.2
【解析】因为，所以，所以 ，所以
．
考向3 四则运算下的复数的相关概念
例25（1）(2025· 全国一卷) 的虚部为( )
C
A. B.0 C.1 D.6
【解析】 ，其虚部为1.
（2）(2023·全国甲卷)设，，则 ( )
C
A. B. C.1 D.2
【解析】因为,所以 且
，解得 .
（3）(2022·全国乙卷)设,其中， 为实数，则( )
A
A., B., C., D.,
【解析】 由题意知 ，
所以解得
由题意知 ，
所以解得
高考新题型专练
1.［多选题］(2025·四川省德阳市期末)已知复数
，则下列说法正确的是 ( )
BD
A.若，则共轭复数 B.若复数，则
C.若复数为纯虚数，则 D.若，则
【解析】 ，
若，则， ，故A错误；
此时 ，故D
正确；
若复数 ，则
即 ，故B正确；
若复数 为纯虚数，则
即 ，故C错误．
故选 ．
2.［多选题］(2025·上海市杨浦区模拟)已知非零复数， ，则下列运算结果一定为
实数的是( )
AD
A. B. C. D.
【解析】设， ，
对于A， 为实数，故A正确；
对于B， ，不一定是实数，故B错误；
对于C， ,不一定是实数，故C错误；
对于D， 为实数，故D正确．
故选 ．
练习帮 习题课丨学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：15分钟
1.(全国乙卷)设,则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】因为，所以 .
2.(2025·湖南省长沙市雅礼中学月考)复数,，若 是纯虚数，
则 的值为( )
A
A.1 B.2 C. D.
【解析】是纯虚数，所以， .
3.方程 在复数范围内的根共有( )
D
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】，，，，， ，在复数范
围内有4个根.
4.已知,则复数 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】,, 复数 .
5.［多选题］ 已知是虚数单位，,复数, 互为共轭复数，则以下正确的
是( )
AD
A. B. C. D.
【解析】由,复数,互为共轭复数，得 ,
所以 ,选项A正确;
,
,故 ,选项B错误;
虚数不能比较大小，选项C错误;
，选项D正确.
故选 .
6.［教材改编P127 T5］ 已知，为虚数单位，若为实数，则 的值为____.
【解析】 由（分母“实数化”） 是实数，得
,所以 .
设（其中）,所以,故, .
（复数相等，则两个复数的实部与虚部分别相等）
. .
. .
B 综合练丨高考模拟
建议时间：25分钟
7.(新高考全国Ⅰ卷)已知，则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】因为,所以 .
8.复数 的共轭复数为( )
A
A. B. C. D.
【解析】因为,所以,而 的共轭复数是
，所以的共轭复数是 .
9.(2025·山东省济南市历城第一中学检测)若复数,为 的共轭复数，则
( )
D
A. B. C. D.1
【解析】,,则 .
10.［多选题］ 下列命题中正确的是( )
ACD
A.若复数满足，则 B.若复数满足,则
C.若复数满足，则 D.若复数满足,则
【解析】设复数 ,
对于A,由得,则 ，故A正确;
对于B,取，可得, 错误;
对于C,由,故 ,
若,,则, ,不合题意,
若，,则 ,
若且,则 ,所以C正确;
对于D,因为,所以由得,且 ,即
,所以D正确.
故选 .
11.若实系数一元二次方程的一个根是 ，则这个方程可以是_________________
_______________.
（答案不唯一）
【解析】 方程的一个根是，则另一个根为 ,
, ，故结合根与系数的关系可
知，满足条件的一元二次方程可以为 （答案不唯一）.
12.已知复数满足的虚部是2，，若的实部和虚部均为正数，则复数
______.
【解析】设复数，则，,则 ，
,又由,，解得，所以 .
13.［开放题］ 写出一个同时具有下列性质①②的复数:
_ _________________________.
的实部小于0; .
（答案不唯一）
【解析】设 ,
的实部小于0，,取 ,
则, .
.
14.新考法 结构不良
（1）在下面两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．
条件；条件 为纯虚数．
已知复数（为虚数单位），若____，求实数
的值.
【答案】若选,则 ,
即,解得 .
若选为纯虚数，则解得 .
（2）已知是关于的实系数一元二次方程的一个根，求 ，
的值．
【答案】将代入一元二次方程 ,
得 ,
所以解得
C 培优练丨能力提升
15.已知复数满足,则复数 的实部的最小值为__.
【解析】设，则 .
由，得，则，从而 ,所以
.故的最小值为 .