12.3 复数的几何意义 课件(共59张PPT)-高一下学期数学苏教版必修第二册

(共59张PPT)
12.3 复数的几何意义
第12章 复数
高一下学期数学苏教版必修第二册
目录
课标要点
03
01
02
04
必备知识解读
题型解析
知识测评
05
高考模拟
课标要点
01
必备知识解读
02
知识点1 复数的几何意义
1 复平面
图12.3-1
根据复数相等的定义可知，任何一个复数
都可以由一个有序实数对 唯一确定，而
有序实数对 与平面直角坐标系中的点是一一对应
的.因此，可以用直角坐标系中的点 （用大写字母表
示，注意与复数的不同）来表示复数 ,
如图12.3-1所示.我们把建立了直角坐标系来表示复数的
平面叫作复平面，轴叫作实轴， 轴叫作虚轴.
例如，复平面内的点表示实数0，实轴上的点 表示实数2，虚轴上的点
表示纯虚数,点表示复数 等.
. .
2 复数的几何意义——与点对应
由上可知，每一个复数，在复平面内有唯一的一个点和它对应,反过来，复平面
内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，即复数 一一对应复平面内的
点 ,这是复数的一种几何意义.
特别提醒
理解复数与复平面内的点一一对应的注意点
1.在复平面内，复数可用有序实数对表示.
2.复平面内的点的坐标是,而不是 .也就是说，复平面内的虚轴上的
单位长度是1，而不是 .
3.当，时， 是纯虚数，所以虚轴上的点
都表示纯虚数.
4.复数中的，书写时应小写；复平面内点中的 ，书写时应大写.
3 复数的几何意义——与向量对应
因为复平面内的点与以原点为起点、以为终点的向量 一一对应
原点与零向量对应，所以复数也可以用向量 来表示
（图12.3-2）.这是复数的另一种几何意义.
图12.3-2
图12.3-3
根据复数与复平面内的点一一对应，复数与平面向量一一对应，可知复数
、复平面内的点和平面向量之间的关系可用图 来表示.
为方便起见，常把复数说成点或向量 ，并且规定相等的向量表示
同一个复数.要确定一个向量对应的复数就必须找到以坐标原点为起点且与此向量相
等的向量.
. .
. .
典例详解
图12.3-5
例1-1 ［教材改编P130例1］说出图12.3-5中复平面内各点
所表示的复数（每个小正方格的边长为1）.
【解析】由于点的坐标为，故点对应的复数是 ;
由于点的坐标为,故点对应的复数是 ;
由于点的坐标为,故点对应的复数是 ；
由于点的坐标为，故点对应的复数是 ；
由于点的坐标为,故点对应的复数是 ;
由于点的坐标为，故点 对应的复数是0.
例1-2 (2025·四川省南充市质检)已知复数，则复数 在复平面内对应的点
位于第( )象限.
B
A.一 B.二 C.三 D.四
【解析】复数，则复数在复平面内对应的点 位于第二象限．
教材深挖 对教材第131页练习第3题作出探究及总结：如果 是复平面内表示复数
的点，则
（1）当,时，点 位于第一象限；
当,时，点 位于第二象限；
当,时，点 位于第三象限；
当,时，点 位于第四象限.
（2）当时，点 在虚轴上；
当时，点 在实轴上.
例1-3 在复平面内，向量对应的复数为,将向量 向右平移1个单位长度后，
再向上平移2个单位长度，得到向量，则向量 对应的复数是______.
【解析】向量平移时向量的坐标表示不变，则向量对应的复数也不变，所以向量
对应的复数是（【易错点】易误认为向量平移得向量 对应的复数为
）.
. .
知识点2 复数的模及模的几何意义
1 复数的模的定义
向量的模叫作复数的模（或绝对值），记作或 .如果
，那么就是实数，它的模等于（即实数 的绝对值）.由模的定义
可知 .
特别提醒（1）计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的公式
进行计算.
（2）两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小.
（3）若复数,则 ，反之不一定成立.
（4）两个共轭复数的模相等，即 .
（5）若,则， .
2 复数的模的几何意义
（1）复数的模就是复数 在复平面内对应的点
到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义.
说明 复数的模的几何意义是实数的绝对值概念的扩充，因此有 ，并且
绝对值具有的某些性质可以推广到复数的模.
（2）复数在复平面内对应的点为， 表示一个大于0的常数，则满足条件
的点组成的集合是以原点为圆心，为半径的圆， 表示圆的内部，
表示圆的外部.
典例详解
例2-4 求下列复数的模：
（1） ；
【解析】 .
（2） ；
【解析】 .
（3） .
【解析】 .
警示 设复数，则 ,
,即不一定等于 ,二者不可混淆.
例2-5 ［教材改编P130例3］复数在复平面内对应的点为 ，
若，则满足条件的点 的集合是( )
D
A.直线 B.线段
C.圆 D.单位圆以及圆内的部分
【解析】， ，
点 的集合是以原点为圆心，1为半径的圆及其内部.
知识点3 复数的加、减法的几何意义
1 复数加法的几何意义
图12.3-4
如图12.3-4（1），设向量, 分
别与复数,对应，且, 不
共线，以， 为两条邻边画
，则对角线所表示的向量
就是与复数 对应的向量.
这就是复数加法的几何意义.
知识剖析 两个复数分别对应两个向量，则可通过平移，使第二个向量的起点与第一
个向量的终点重合，连接第一个向量的起点和第二个向量的终点，所得向量就是两
个复数的和对应的向量.
2 复数减法的几何意义
如图12.3-4（2），若向量,分别与复数，对应，则它们的差 对
应着向量,即向量 .
如果作,那么点对应的复数就是 .这就是复数减法的几何意义.
设,,则 ，故
.
知识剖析 （1）复数减法的几何意义也可叙述为：连接两个复数对应的向量的终点，
方向指向表示被减向量的终点的向量，就是两个复数的差对应的向量.（【助理解】
两个复数的差可对应两个向量的差，即可利用三角形法则求解）
（2）两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.
典例详解
例3-6 在复平面内，设及分别与复数及复数 对应，计算
，并在复平面内作出对应的向量 .
【解析】 .
在复平面内作出对应的向量 ,如图12.3-6所示.
图12.3-6
例3-7 非零复数,分别对应复平面内的向量，，若 ,则
( )
C
A. B. C. D., 共线
【解析】如图12.3-7，由向量的加法及减法法则可知， ,
.
图12.3-7
由复数加法及减法的几何意义可知，对应的模，对应 的模.又
，所以四边形是矩形，则 .
重难拓展
知识点4 的几何意义
（1）表示复数在复平面内对应的点组成的集合是以复数 对应的
点为圆心， 为半径的圆.
（2）表示复数在复平面内对应的点组成的集合是以复数,
的对应点, 为端点的线段的垂直平分线.
（3）,当时，表示复数 在复平面内对
应的点组成的集合是以复数,的对应点, 为端点的线段.
（4）,当时，表示复数 在复平面内
对应的点组成的集合是分别以复数,的对应点, 为端点的两条射线
（以为端点的射线的方向与方向相同，以为端点的射线的方向与 方向
相同）.
教材深挖 POINT
该知识点是针对教材第132页【习题12.3】第8，10，11题的深挖，常见于各类数学
竞赛，学有余力的同学可着重掌握.
典例详解
例4-8 设 为非零实数，则
（1）满足的复数 一定是纯虚数吗？
【解析】满足的复数在复平面内对应的点组成的集合是以点 与
点为端点的线段的垂直平分线，即复数 对应的点在虚轴上.
故这样的复数 可能是纯虚数也可能是零.
（2）满足的复数 一定是实数吗？
【解析】满足的复数在复平面内对应的点组成的集合是以点
与点为端点的线段的垂直平分线，即复数对应的点在实轴上，故复数 一定
是实数.
题型解析
03
题型1 复数的模
1 模的计算
例9（1）(2025·山东省聊城市检测)设复数满足，则 ( )
A
A.1 B. C. D.2
【解析】，,所以 ，所以
.
（2）若,则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】 ,则 .
,则,所以 .（共轭复数模相等）
. .
例10 ［多选题］(2025·广东省东莞五校联考)设, 是复数，则下列命题中的真命题
是( )
ABC
A.若，则 B.若，则
C.若,则 D.若，则
【解析】对于A， ，是真命题；
对于B,若,则和互为共轭复数，所以 ,是真命题;
对于C,设,,若,则 ,
,,所以 ，是真命题;
对于D,若,,则,但, ，故D是假命题.
2 模的几何意义
例11 新考法 数学文化 18世纪末期，丹麦数学家韦塞尔首次利用坐标平面上的点来
表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，也即复数 的模的几
何意义为对应的点到原点的距离．若复数满足，则复数 对应的点
所构成的图形面积为___.
【解析】设，， ，
复数满足， ，
复数对应的点所构成的图形面积为 ．
题型2 复数及复数加、减法的几何意义的应用
例12 (2025·山东省济南市测试)如图12.3-8所示，在复平面内，平行四边形 的
顶点,,分别对应复数0,, .求：
图12.3-8
（1）向量 对应的复数；
【解析】因为，所以向量对应的复数为 .
（2）向量 对应的复数；
【解析】因为，所以向量 对应的复数为
.
（3）向量 对应的复数.
【解析】因为,所以向量 对应的复数为
.
复数加、减运算时的注意点
1.向量加法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加、减法几何意义的依据.
2.利用向量的加法“首尾相接”和减法“指向被减向量”的特点，在三角形内可求得第三
个向量及其对应的复数.
3.注意向量对应的复数是（向量 的终点对应的复数减去起点对应的复
数）.
【变式题】
(全国Ⅱ卷)设复数,满足2,,则 _____.
【解析】 设， ，则由
，得 ．因为
，所以 ，所以
，所以 .
设，则 ，
则即 所以
题设可等价转化为向量,满足，，求
|．因为，所以 ，所以
，即 ．
设，,,在复平面上对应的点分别为,,,且 为坐标
原点，则，所以，由平行四边形法则知 是边长为2，
一条对角线也为2的菱形，则另一条对角线的长为 .
，所以 ．
核心素养聚焦
考情揭秘
高考对本节内容的考查主要结合复数的四则运算，考查复数模的计算及复数的几何
意义等.题型有选择题、填空题,题目简单.
核心素养:直观想象（依据复数建立坐标系）、数学运算（复数模的计算）.
考向1 复数模的计算
例13（1）(2025·天津)已知是虚数单位，则 _____.
【解析】 .
（2）(2025·北京)已知复数满足，则 ( )
B
A. B. C.4 D.8
【解析】 由可得， ，所以
.
，则 ，根据复数模的性质，得
.
（3）(2024· 新课标Ⅱ卷)已知，则 ( )
C
A.0 B.1 C. D.2
【解析】 .
（4）(2023·全国乙卷) ( )
C
A.1 B.2 C. D.5
【解析】 .
考向2 复数的几何意义
例14 (2025·上海)已知复数满足，,则 的最小值是_____.
【解析】设，则,由 ,可得
，即，故.又由 可
得，即.（结合两个式子对, 分类讨论或直接利用复数几何
意义）
. .
. .
当时，,
,此时 .
当时，, ,此时
.
当,时，.综上, 的最小
值为 .
设复数在复平面内对应的点的坐标为 ,
图12.3-9
其中或 ，表示两条相交线
段.表示在复平面内对应的点与点 的距离，如图
12.3-9所示，结合图知，当在复平面内对应的点为 时，
取到最小值，为 .
例15 (2023· 新课标Ⅱ卷)在复平面内， 对应的点位于( )
A
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】因为 ，所以该复数在复平面内对
应的点为 ，位于第一象限.
高考新题型专练
1.［多选题］(2025·河北省秦皇岛市实验中学期末)若复数满足
（其中是虚数单位），复数的共轭复数为 ，则( )
ABD
A. B. 的实部是2
C.的虚部是1 D.复数 在复平面内对应的点在第一象限
【解析】由,得 ,
所以 ，故A正确；
的实部为2，故B正确；
的虚部是 ，故C错误；
复数在复平面内对应的点为 ，在第一象限，故D正确．
故选 .
2.[多选题](2025·江苏省南通市天星湖中学月考)若复数为虚数单位 ，
则下列结论正确的是( )
ABC
A. B.的虚部为 C.为纯虚数 D.
【解析】 .
对于A， ，A正确；
对于B，由虚部定义知，的虚部为 ，B正确；
对于C， 为纯虚数，C正确；
对于D，由共轭复数定义知，，D错误．故选 ．
知识测评
04
建议时间：20分钟
1.复数,，则 ( )
B
A. B.1 C. D.
【解析】因为,,所以，所以 .
2.复数，若角 为第二象限角，则复数 在复平面内对应的点位于
( )
B
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】当角 为第二象限角时，,,则复数 在复平面内对应的点
为 ，位于第二象限.
3.(2025·四川省简阳中学模拟)已知复数 在复平面内对应的点
在第二象限，则实数 的取值范围是( )
B
A. B. C. D.
【解析】复数 在复平面内对应的点在第二象限，所以
,，所以 .
4.复数对应的点在第三象限，对应向量的模为2，且虚部是，则复数 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】由题意知，可设复数,,则，解得 ,所以
.
5.［多选题］下列命题正确的是( )
CD
A.设复数，在复平面内对应的点分别为，，若，则与 重合
B.若，，则
C.设复数在复平面内对应的点为，若，则点的集合是以原点 为圆心，以
2为半径的圆
D.复数是关于的方程的一个根，则
【解析】对于A，令，，则，，满足，但 ,
不重合，故A错误;
对于B，虚数不能比较大小，故B错误;
对于C，设，，，即点的集合是以原点
为圆心，以2为半径的圆，故C正确;
对于D， 复数是关于的方程的一个根， 复数
也是关于的方程的一个根，，解得 ，故D
正确．（当 时，方程有两个互为共轭的虚数根）
故选 ．
. .
. .
6.在复平面内，复数 在复平面内对应的点的坐标是________.
【解析】复数在复平面内对应的点的坐标是 .
高考模拟
05
建议时间：30分钟
7.(2025·重庆市第八中学校适应性月考)在复平面内，复数对应的点的坐标是 ，
则 ( )
B
A. B. C. D.
【解析】由题意知，,所以 .
8.(2022·全国甲卷)若,则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】因为，所以 ，
所以 .（【易错点】一是共轭复数写错；二
是记不住 出错）
9.(2025·湖南省永州市第四中学检测)若,则 ( )
D
A.1 B. C. D.
【解析】 .
10.复数，其中是虚数单位，，则复数 在复平面内对应的点组
成的集合是 ( )
A
A.圆 B.线段 C.直线 D.圆及圆内部分
【解析】根据复数的几何意义，可知复数在复平面内对应的点的轨迹是以 为圆
心，2为半径的圆.
11.设复数满足，则 的值为____.
【解析】设,,，由条件得 ，则
解得故， .
12.在复平面内，动点与复数对应， ，则满足
的点 的集合是什么图形？图形面积是多少？
【答案】根据复数的几何意义，可知表示动点在以 为
圆心，分别以1和3为半径的两个圆所夹的圆环内（包括边界）.所以圆环的面积是两
圆的面积差，即 .
13.设复数,满足，，其中是虚数单位，, 分别表
示,的共轭复数，则 的模为_____.
【解析】根据已知，有,则所以,故所求复数的模为 .
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