12.4 复数的三角形式 课件(共44张PPT)-高一下学期数学苏教版必修第二册

(共44张PPT)
12.4 复数的三角形式
第12章 复数
高一下学期数学苏教版必修第二册
目录
课标要点
03
01
02
04
必备知识解读
题型解析
知识测评
课标要点
01
必备知识解读
02
知识点1 复数的三角形式
1 复数的三角形式
如图12.4-1，我们可以用刻画向量大小的模和刻画向量方向的角 来表示复数 .
图12.4-1
一般地，任何一个复数都可以表示成 的形式.其中,
概念 名称 概念的说明
三角 形式
说明称为复数 的代数形式.
2 辐角的主值
很明显，任一非零的复数的辐角有无限个值，这些值相差 的整数
倍.我们把其中适合于 的辐角 的值叫作复数 的辐角主值，记
作,即 .
复数在复平面内与原点对应，向量 是零向量，这时复数的模为0，
辐角是任意的.
说明 把一个复数表示成三角形式时，辐角 不一定取主值.
3 三角形式下的复数相等
每一个非零的复数 都有唯一确定的模与辐角主值；反过来，复数的模
与辐角主值可以唯一确定这个复数.
由此可以得到两个非零的复数相等，当且仅当它们的模与辐角主值分别相等.
学思用·典例详解
例1-1 ［教材改编P135例2］ 将代数形式的复数 改写成三角形式.
【解析】 因为,,与 对应的点在第
一象限,
所以,从而的三角形式为 .
. .
.
例1-2 ［教材改编P134例1］ 求复数，1, 的辐角主值.
【解析】设这三个复数的模分别是,,，辐角主值分别是，， ，
因为，所以， ，
又 ，故 .
同理，可以求得，,;, .
所以这三个复数的辐角主值分别是,0, .
知识点2 复数乘法运算的三角形式及其几何意义
1 复数乘法运算的三角形式
如果把复数,分别写成三角形式： ,
.
那么，根据复数的乘法法则，就有
,
即 .
这就是说，两个复数相乘，其积的模等于这两个复数的模的积，其积的辐角等
于这两个复数的辐角的和.
2 几何意义
如图12.4-2,在复平面内分别画出与复数,对应的向量,（假定, 均
取辐角主值，其他取值不影响讨论）,然后把向量按逆时针方向旋转一个角 得
模仍为，再把的模变为原来的倍，从而得到一个新的向量, 所
对应的复数即为 ，这就是复数乘法的几何意义.
图12.4-2
3 推广
根据两个复数乘法运算的三角表示及其几何意义，可以推广到
个复数相乘的情况，即
,
特别地，当 时，
.
学思用·典例详解
例2-3 若非零复数，则 ____.
【解析】共轭复数在复平面内对应的点关于轴对称，因此 是 的一个辐角,则
,故
.
点评 若非零复数，则 ，这是一个非常有用的结论.
例2-4 不用计算，猜测 的值为___.
1
【解析】如图12.4-4所示，对应的向量为 ，
图12.4-4
则对应的向量为，对应的向量为 .
故 .
点评 通过复数乘法的几何意义，易得对于， ,1,2，都
有 .
知识点3 复数除法运算的三角形式及其几何意义
1 复数除法的三角形式
设, ,
当 时，
,
即 .
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商
的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
2 几何意义
如图12.4-3，两个复数,相除时，先分别画出与,对应的向量, ,然后
把向量绕点按顺时针方向旋转角如果，就要把绕点 按
逆时针方向旋转角,得模仍为,再把的模变为原来的 ，得到向量
,表示的复数就是商 .这是复数除法的几何意义.
图12.4-3
学思用·典例详解
例3-5 计算：
（1） ;
【解析】原式
.
（2） .
【解析】原式
]
题型解析
03
方法帮 解题课丨关键能力构建
题型1 复数的代数形式与三角形式的互化
例6 把下列复数表示成三角形式.
（1） ；
【解析】 .
所以所以 .
因此复数的三角形式为 .
（2） .
【解析】 ，
所以所以 ,
因此复数的三角形式为 .
复数的代数形式转化为三角形式的步骤：①求出模；②确定辐角主值；③写出三角形式.
例7 将复数 表示成代数形式.
【解析】 .
例8 求复数 的模与辐角主值.
【解析】 .
, , ，
, ,
, ,
.
故复数的模是,辐角主值是 .
易错警示 从形式上看，似乎就是复数 的三角形式，从而易
误认为， .
错误之处在于没有考虑角 的范围，因此一定要用“模非负，角相同，余弦前，加号
连”来判断是否为三角形式.
【学会了吗丨变式题】
复数 的三角形式是( )
B
A. B.
C. D.
【解析】 ．
题型2 三角形式下的复数的乘、除运算
例9 (2025·江西省宜春市期末)若复数 为纯虚数，则正
整数 的最小值为( )
A
A.4 B.6 C.8 D.10
【解析】因为 ，
所以 .
（三角形式下的乘方运算）
因为复数为纯虚数，所以且 ，
所以 ，，得，，所以正整数 的最小值为4.
例10 利用复数的三角形式求 的值.
【解析】 ,
],
,
所以原式
.
三角形式下复数的乘、除运算的关键点
复数三角形式下的乘法法则:模数相乘,辐角相加；
复数三角形式下的乘方法则:模数乘方,辐角 倍；
复数三角形式下的除法法则:模数相除,辐角相减.
题型3 求 的模和辅角主值
例11 设复数，求 的模和辐角主值.
名师点评 辐角主值的取值范围是 ,故将复数乘法运算用三角形式表示出来后，
还需将辐角化简到 内.
【解析】 ，
复数的模为32，辐角主值为 .
例12 求复数 的模与辐角主值.
【解析】
（【关键点】利用倍角公式的目的是出现“ ”，便于与“1”相
消）
.
, , ，
],
. .
.
, ,
.
故复数的模是,辐角主值是 .
易错警示 从形式上看， 似乎就是三角形式，不少同学认为
，.错误之处在于没有考虑角 的范围，因此一定要用“模非负，
角相同，余弦前，加号连”来判断是否为三角形式.
题型4 三角形式下的复数乘、除运算的几何意义的应用
例13 在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为,,,
（其中为原点）.已知对应的复数为,求和 所对应的复数.
【解析】根据题意画出示意图如图12.4-5所示.设,对应的复数分别为, .
图12.4-5
由三角形式下复数运算的几何意义知，
.
.
名师点评 求时是将按顺时针方向旋转 ,且将的模缩短到原来长度的 ,符
合复数除法的几何意义，也可以直接写成.而在求时，也可将 按
逆时针方向旋转 得到，用 计算.
知识测评
04
1.复数 的辐角主值为( )
A
A. B. C. D.
【解析】， 复数的辐角为，， 复数
的辐角主值为 ．
2.设复数和的辐角主值分别是 ， ，则 等于( )
D
A. B. C. D.1
【解析】因为复数和的辐角主值分别是 , ,所以, ,所
以 .
3.复数 的辐角主值是( )
A
A. B. C. D.
【解析】复数
4.设，则复数 的辐角主值为( )
B
A. B. C. D.
【解析】 .
,,,则辐角主值为 .
,由 知,故复数 的辐角主值为
.
5.新情境 棣莫弗定理 由法国数学家棣莫弗创立．棣莫弗定理的内容是：设两个复
数（用三角形式表示）， ，则
．该定理可推广为乘方形式，即若
，则，．已知复数 ，
用棣莫弗定理求得 _______．
【解析】 ，
．
6.复数 的三角形式为_______________（用辐角主值表示）.
【解析】 .
7.如图12.4-1，若与分别表示复数,,求 ,并判
断 的形状.
图12.4-1
【答案】欲求,可计算 .
,
且 .
设,则 ，
由余弦定理,得 ，
,又 ,
为有一锐角为 的直角三角形.
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