第9章 平面向量 章末总结 课件(共36张PPT) -高一下学期数学苏教版必修第二册

(共36张PPT)
章末总结
第9章 平面向量
高一下学期数学苏教版必修第二册
目录
知识总结
03
01
02
单元专题分析
高考命题分析
知识总结
01
单元专题分析
02
专题1 三角形的“四心”与面积的相关探讨
三角形有“四心”：重心、外心、内心、垂心.可以利用向量的运算对它们的性质进行
分析.
（1）重心：设是所在平面内一点，则点是 的重心的条件是
或（其中 为平面内任意一点）.
（2）垂心：向量所在的直线过 的垂心
（在边上的高 所在的直线上）.
设是所在平面内的一点，则点是 的垂心的条件是
.
（3）内心：向量所在直线过的内心（在 的平分线所
在的直线上）.
设是所在平面内的一点，为的内心的条件是 或
，，是的内角，，所对边的边长， 为平面内任意
一点 .
（4）外心：设是所在平面内的一点，则点为 外心的条件是
（即点 到三个顶点的距离相等），或
.
例1 设是内任意一点，表示的面积，， ，
，定义.若是的重心， ，则
( )
A
A.点在内 B.点在内 C.点在内 D.点与点 重合
【解析】本题的难点在于其创新的设问方式，因此读懂题意是关键，相当多的考生
是因为读不懂题意而随意地选了一个.如果只是一味地将目光锁定在
上，将会难以前进,甚至误入歧途.但若能注意到其几何背景，则不
难解决.实际上，由于是的重心，从而 ，因此
，不妨设 ，则
.若点在 内，
图9-1
则，与不符；若点在 内，则
，与不符，从而点在 内，如
图9-1所示.
当然我们也可以找到其确切的位置.这是后话，暂且放下.这个题是如何命制出来的呢？
先看下面定理.
引理：在内任取一点，用,,分别表示，， 的面积,
则 .
定理：设是内一点，，， ，则
,其中 .
进一步地，若设,, ，则得到下题.
例2 (2025·山东省济南市期中)设点在内部，且有 ，则
的面积与 的面积的比为( )
C
A. B. C. D.
图9-2
【解析】 （常规方法）
如图9-2，设为的中点，为的中点，由 ，得
，即，所以 ，因
此在上，且为靠近点 的三等分点.
设，则,,所以 ,
又,所以 .
故的面积与的面积的比为 1.
图9-3
如图9-3，延长到，使得.延长 到
，使得.连接,, .
所以, ,
.
因为 ,
所以,所以为 的重心.
所以 ,
所以 ,
故的面积与的面积的比为 .
由上述引理我们不难得到 .
反思：若将两边同时乘以，则得 .不难
发现上式中的,,与例1中的 中的数据相对应.
从而我们看到例2来源于上述引理，而例1反其道而行之，在已知面积比的基础上探
求点的位置.但是由于寻找点 的准确位置有一定难度，因此提供一个点：重心.即将
点与点 进行比照，这样就能数形结合，得出答案了.
下面再回过头去接着前面的话题，即点的具体位置在哪？如图9-4所示,过重心 作
交于点，交于点，为中位线，则与的交点便是点 .事实
上，由于为中位线，所以,而 ，则
.
图9-4
最后值得一提的是，由引理我们还可以得到有关 的如下结论：
（1）重心满足 ；
（2）外心满足 ;
（3）内心满足或 ;
（4）垂心满足 .
其中，,,是的内角,, 所对边的边长.
专题2 等和线及其应用
等和线：如图9-5，,不共线，则直线和 均为等和线.
图9-5
“等和”的含义:在直线 上任意位置，连
接,则,基底向量 ,
的系数和恒为1,即 .
Q在直线上任意位置，连接 ,则
，基底向量, 的系
数和恒为,即 .
结论:（1）当等和线恰为直线时， ;
（2）当等和线在点和直线之间时， ;
（3）当直线在点和等和线之间时， ;
（4）当等和线过点时， ;
（5）当直线与等和线关于点对称时， .
例3 在中,, ,点满足,,则 的长为
( )
A
A. B. C. D.6
【解析】因为,所以，整理得 .
（蕴含等和线的原理）
所以,即 .
设,则,化简得,解得 或
（舍去）,即,所以 .
. .
例4 (2025·广东省深圳市期中)在扇形中，为弧上的一个动点，.
若,则 的取值范围是______.
图9-6
【解析】如图9-6,在上取一点,使,连接,与 交于
,过作,交于,则 ,
（转化基底向量的目的是凑系数，构造等和线）
所以.（直线和 为等和线，应用等和线的原理）
当,重合时, 最小，为1;
当,重合时, 最大，为3.
所以的取值范围是 .
. .
. .
一章一练·学思维知创新
例5 新定义 向量内积 (2025·湖南省长沙市长郡中学调研) 设有维向量 ，
，称为向量和的内积.记为全体由
和1构成的 维向量的集合.
（1）若，存在，使得,，写出所有满足条件的 ；
【解析】由定义，只需满足 ，
故所有满足条件的 有6个，
为，，，，， .
（2）令,，若，证明： 为偶数；
【解析】由题知，存在，,与，,， ,2,
, ，使, ，
当时，；当时， .
若有个，则有个 ，
则, ，
所以 ，为偶数.
（3）若表示能从 中选出向量的个数的最大值，且满足选出的向量互相之间的
内积均为0，猜测 的值，并给出一个实例.
【解析】猜测符合要求的4维向量最多有4个，即 ，举例如下：
不妨取，，， ，
则有，，，， ，
，
若存在使，则或或 ，
当时， ；
当时， ；
当时， .
故找不到第5个4维向量与已知的4个向量满足互相之间的内积均为0，故 .
高考命题分析
03
命题点1 向量运算
例6 (2025·全国高中数学联赛广西赛区预赛)已知的外心为 ,且
,则 _ ___.
【解析】不妨设 的外接圆半径为1.
由得 ，
,
故 .
同理可得， .
,
又
,
,
, ,
.
例7 (2024· 同济大学强基计划)四边形为平面四边形，， ，则
___.
3
【解析】 ,
，
因为， ，
所以 .
命题点2 向量的最值问题
例8 (2025·北京大学强基计划)已知，求 的最大值.
【解析】由,当且仅当 ,
同向时取等号，故的最大值为 .
例9 (2022·全国高中数学联赛福建赛区预赛)如图9-7，点，分别在 的边
，所在的直线上，且，，为线段的中点， 为线段
与的交点.若，则 的最小值为___.
图9-7
【解析】依题意有
.
因为，，三点共线，所以 .
所以，即 ，
所以 ，
故当，即, 时，
取得最小值,最小值为 .
名师点评 求得后，我们还可以如此求解（参加强基自招的同学学习）
由柯西不等式知， .
所以,当且仅当,即,, 时等号成立.
所以的最小值为 .
谢谢观看
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