第10章 三角恒等变换 章末总结 课件(共47张PPT)-高一下学期数学苏教版必修第二册

(共47张PPT)
章末总结
第10章 三角恒等变换
高一下学期数学苏教版必修第二册
目录
单元知识总结
03
01
02
单元专题分析
高考命题分析
单元知识总结
01
单元专题分析
02
专题1 三角恒等变换的常用策略
1 变角——角的代换或转化
当已知条件中的角与所求角不同时，需要通过“拆”“配”等方法实现角的转化，一般
先寻求它们的和、差、倍、半关系，再通过三角变换得出所要求的结果．
例1 (2025·河北省秦皇岛市模拟)已知，,求 的值.
思路点拨 题目中涉及三种不同的角： , , ，又
, .所以，可先进行角的转化，再合理地选择三
角公式进行恒等变形，最后计算得解.
【解析】 ,
.
2 变名——函数名称变换
对于含有多种三角函数的问题，要从题目中所给的各函数间的关系入手，正确选用
三角变换公式，通过变换尽量减少三角函数的种类，从而提高解题效率．
例2 当时，函数 的最小值是___.
4
思路点拨 注意到函数表达式的分子与分母都是关于与 的二次齐次式，
所以，分子与分母同时除以便可将原函数转化为关于 的函数进行求解．
【解析】因为，所以，又 ,所以
，当且仅当时等号成立,故 的最小
值为4.
3 变幂——升幂与降幂变换
分析三角函数中的次幂，应是低次的升幂，还是高次的降幂，要充分结合题目中的
要求，正确选用半角公式、倍角公式等三角公式，从而达到解决问题的目的．
例3 (2025·江西省南昌市期末)已知 为第二象限角，且 ，则
的值为______.
【解析】 ，
又 为第二象限角，且,所以 ,所以
.
例4 已知函数,，求函数 的最大值及取
得最大值时自变量 的集合.
【解析】 ,
当，，即，时，取得最大值 .
取得最大值时自变量的集合是, }.
三角函数式的化简，主要有以下几类：①对于和式，基本思路是降幂、消项和逆用
公式；②对于分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或数
值；③对于二次根式，则需要运用倍角公式的变形.在具体过程中体现的则是化归的
思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化（“函数名”的“化同”）、角的变换
（“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”）等方法.
专题2 三角函数最值的常见求法
三角函数的最值是函数最值问题的重要组成部分，也是历年高考命题的重点.三角函
数的最值问题，不仅可以考查三角函数自身的基础知识，也与一次函数、二次函数、
不等式等重要知识有密切的联系.这类问题综合很多知识点，解题方法灵活多样，下
面我们来探讨一下三角函数最值的常见求法.
1 二次函数模型
对于 的最值，我们可以采用换元法转化为一元
二次函数来求解.事实上，令，则 ，显然原函数可
化为一元二次函数，问题转化为求二次函数在某一区间上的最值.注意 的取值范围应
与 的取值范围保持一致.
例5 若，求函数的最值及取得最值时相应的
的值.
【解析】 ，
令，则 .
， ，
.
从而原函数化为 ，
问题转化为求关于的一元二次函数在区间 上的最值.
显然，由二次函数的性质知,当，即 时函数取得最小
值,为 ；
当，即时函数取得最大值,为 .
名师点评 当与 同时存在于一个式子里时，我们经常用上面的
方法来得到一元二次函数，从而求得最值.注意设时， 是有取值范
围的，这是很多学生容易忽略的，必须引起足够的重视.
2 化为某个角的一种三角函数的一次式
对于三角函数的性质，我们一般将原函数化为 或
的形式，然后利用正、余弦函数的性质研究.我们采用的方法有：
①对于 型的函数，利用公式
, ；②对于
型的函数，利用降幂公式，将高次的式子转化
为低次的；③对于 型的函数，我们利用和差化积来解
决；④对于 型的函数，我们利用积化和差来解决.
例6 已知函数 .
（1）求 的最小正周期和最小值;
【解析】,故的最小正周期为 ,最小值为 .
（2）将函数 的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函
数的图象.当,时，求 的值域.
【解析】由条件可知， .
当,时，有，从而，则 的取值
范围为, .
故在区间,上的值域是, .
名师点评 对于和式或者其他高次形式的三角函数式，我们需要通过各种方法转化为
某个角的一种三角函数的一次式.从而可以利用正、余弦函数的性质来研究我们要求
的三角函数的性质.
3 利用有界性求最值
对于形如 的函数，我们可以反解，然后利用三角函数的有界性得到最值.
例7 函数 的最大值为_ __.
【解析】去分母整理可得， ，
所以 ，
故 .
由，可得 .
下面验证等号可以取到.
当,即时,可取，令 ，则
成立.
故时，函数有最大值, .
名师点评 注意观察式子的特点，将这种类型的式子反解之后，可以利用辅助角公式
将含有正、余弦的式子化为一个式子，从而利用有界性得到函数的最值.
专题3 利用互余关系巧解一类三角函数题
近几年的高考由于淡化了三角变换的人为技巧，因此对互余角的变换的考查便放在
了比较显著的位置，而恰到好处地利用角的互余关系常常能使我们的思路豁然开朗.
鉴于此，对于此类问题有关方法的探究就显得十分必要.互余关系有隐性与显性两种，
从高考试题来看，考查方式主要集中在三角求值与三角函数的性质上，下面举例加
以说明.
1 显性的互余关系
这类问题中角的互余关系比较明显，解决这类问题只需将角满足互余关系的函数换
名即可，积累一些常见互余关系的角能使我们的解题事半功倍.如 与 ；
与 等.
例8 若 ，则（ ）
. ( )
B
A. B. C. D.
【解析】由题意知， ，
又 ，且 ，
则 ，
即 .
. .
. .
例9 (2025·四川省泸县第二中学期末)函数 是( )
A
A.周期为 的奇函数 B.周期为 的偶函数
C.周期为 的奇函数 D.周期为 的偶函数
【解析】因为，所以 ，
所以 ]
=,所以函数是周期为 的奇函数.
2 隐性的互余关系
这类问题中角的互余关系不是很明显，需要结合条件和结论中函数名和角的关系去发现.
例10 已知,,,,则 的值
为___.
思路点拨 本题如果直接求出 ， ,则比较烦琐；如果从整体上考虑，化
繁为简，则事半功倍.若能注意到 ,将会为我们解决
问题打开突破口.这里发现 是解题的关键，这也是我
们所说的隐性的互余关系.
【解析】， ，
， ，
， ，
，
，
.
名师点评 在三角变换中，要注意已知角与待求式中的角之间的关系，以确定角的变
换方式.本题的难点很多，首先是要发现 这一关系;
其次，在解题过程中还要时刻注意着角的范围这一隐含条件，如由 ,得到
等.这些都是成功解题不可或缺的.值得提及的是角的另外一些常见的
互余变换方式，如 ，
.
学思维知创新
例11 新定义 友好角 (2025·北京市清华大学附属中学测试)若
，则称 为 的“友好角”.已知 为锐角，则 在,
内的“友好角”的个数为( )
C
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】由 ，
可得 ，
则有 ，
所以 .（倍角公式的应用）
因为 为锐角，所以也为锐角，所以 ，
所以 ①.
又 ，
当或 ，即或 时， ，则①式成立，满足题意；
当且 ，即或 时， ，
则由①可得， ，
因为,, 均不等于零，
所以，所以 ，
因为，所以 ，
所以，即 .
综上，, , ，共有3个取值.
例12 新定义余弦距离 (2025·江苏省溧阳中学段考) 我国人脸识别技术处于世界领先
地位．人脸识别的一个重要工作原理，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余
弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点，，
为坐标原点，余弦相似度为向量，夹角的余弦值，记作 ，余弦距离为
.已知，，，若， 的余
弦距离为，，则， 的余弦距离为( )
A
A. B. C. D.
【解析】由题意得，， ，
，
则 ①，
又，所以 ②，
联立①②可得，
故 .
例13 新定义 切比雪夫多项式 [多选题] (2025·山东省A9联盟开学考试)由倍角公式
可知，可以表示为 的二次多项式．一般地，存在一
个次多项式 ，使得
，这种多项式 称为切比雪夫多项式．运用探究切比雪夫多项
式的方法可得( )
ABD
A. B.
C. D.
【解析】对于A，
.
由切比雪夫多项式可知， ，
即 ，
令,可知 ，故A正确.
对于B， ．
由切比雪夫多项式可知， ，
即 ，
令,可知 ，故B正确.
对于D，因为 ， ，由 ,可得
， ．
又 ，所以 ，
所以 ．
令，可知 ，
展开即得 ，
所以，解得 .
因为，所以 ，所以
，所以 ，故D
正确.
对于C，假设，因为 ，
，所以假设不正确，故C错误．
故选 ．
高考命题分析
03
例14 (2025·北京大学强基计划)若 , 是 的两解，且
，求 .
【解析】因为, ，
所以两式作差可得， ,（和差化积公式的运用）
即， ，
所以或 ，
即或 .
当时， ， ，
与 矛盾，舍去；
当时， .
故 .
例15 (2025·山东大学强基计划)已知,，， ，
求 的值.
【解析】 ①， ②，
由得 ，
化简得 .
由 得
，
即 ，
所以 .
例16 (2024· 全国高中数学联赛A卷一试)在 中，已知
，求 的值.
【解析】由条件知， ，
则或 ，即或 .
假设，则，则，但 ，相互矛盾，
因此只能是，由，可得 ，所以
， ，
所以 ，
又，所以化简得，解得 .
例17 (2023·浙江大学强基计划) ___.
【解析】原式
.
注意到 .
故原式 .
例18 (2023·中山大学强基计划)解方程： .
【解析】 ,
，
代入原方程得 .
因为 ,
所以式可改写为 .
（ⅰ）若，则 , .
（ⅱ）若 ,则
,
则, ,
所以 或 , .
综上 或 或 , .
例19 (2022· 复旦大学强基计划)中，若,求
的最小值.
【解析】 ,
.
由题意知，,,都不等于 ,
,
.
,
.
故 的最小值为8.
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