第11章 解三角形 章末总结 课件(共36张PPT)-高一下学期数学苏教版必修第二册

(共36张PPT)
章末总结
第11章 解三角形
高一下学期数学苏教版必修第二册
目录
单元知识总结
03
01
02
单元专题分析
高考命题分析
单元知识总结
01
单元专题分析
02
专题 对圆内接四边形的相关题目的探究
例1 (2025·浙江省余姚中学质检)如图11-1，,,,为平面四边形 的四个内角.
图11-1
（1）证明： ;
【解析】 .
（2）若 ，,,， ,求
的值.
【解析】由 ，得， .
由（1），有
.
连接 .
在中，有 ,
在中，有 ，
所以 ，
则 .
于是 .
连接 .同理可得
，
于是 .
所以 .
思路点拨 第（1）问为三角恒等式的证明，利用二倍角公式化简即得；求第（2）
问时，先由与,与互补及（1）的结果，得 ，
，然后由余弦定理，得， ，即可获解.
例2 (新课标全国卷Ⅱ)四边形的内角与互补,,, .
（1）求和 ；
思路点拨 根据内角,互补，利用余弦定理列出关于角和 的两个方程，即可
求出角和 ；
【解析】由题设及余弦定理得
①，
②.
由①②得，故 ， .
（2）求四边形 的面积.
思路点拨 利用三角形面积公式可得
，即可求得四边形
的面积.
【解析】四边形 的面积
.
其实在数学竞赛中对圆内接四边形的考查非常丰富，因此作为本章知识的拓展，有
必要对其进行一番研究.
定理1 设圆内接四边形的边长分别为,,, ,则
, ,
, ,
且四边形的面积，其中 .
证明 如图11-2，连接，在和 中，分别应用余弦定理，得
,
.
又易知 ,所以 ,
故 ，#2.3.3
由此得 ①，
，同理，得, .
又 ,
即 ②.
又由①得, ③,#2.3.8
图11-2
得, ,
即
其中 ，
故 .
上述探索过程中，我们得到了圆内接四边形面积的海伦公式.
,
定理2设四边形的边长分别为,,,,且
（或）,则四边形 的面积
,其中 .
证明 如图11-3，连接 .
,即
①.
,
②.
图11-3
得，
，#3.2.10
,
故,其中 .#3.2.12
定理3 设四边形的边长分别为,,,,则四边形
的面积的最大值为,此时四边形 内接于圆.该
结论由定理2可得（当四边形为圆内接四边形时，即 时,
）.
同学们可以试着利用上述结论解决上述考题.
学一题会一类
一题看尽解三角形最值或范围问题
例3 在中，,,分别为三个内角,, 的对边，且满足
.
（1）若，，求 的面积.
【解析】由,,得, .
由正弦定理得,解得 ,
.
（2）若，求 的面积的最大值.
【解析】由余弦定理得 ,
,当且仅当时取等号， ,
故面积的最大值为 .
（3）若，求 的周长的最大值.
【解析】由余弦定理得, ,即
,即,当且仅当 时等号成立，则
.
的周长为 ,
故 周长的最大值为6.
（4）若,求 的最大值.
【解析】 ,
, ,
,即, ,
故的最大值为 .
（5）若为锐角三角形，求 的范围.
【解析】 ,
为锐角三角形， ,
又 ,
, ,
,即, .
（6）若，求 的最大值.
【解析】由正弦定理得， ,
, .
（由（5）可知， ，代入即可）
,其中 .
故的最大值为 .
. .
说明 题干中的已知条件本身就是非常经典的试题的背景，在第11.2节题型2中的例
14我们已经详细讲解过（得出 ），由题干及第（1）问我们可以发现在解三角
形的过程中，往往需要已知三个条件才能得出一个定值（如面积能直接求解出来），
若是只给出了两个已知条件，则会产生最值或取值范围问题，我们不妨研究一下，
借此体会数学问题中一题多变的奥秘.
高考命题分析
03
命题点 解三角形问题
例4 (2025·北京大学强基计划)在中，在上，平分 ，
,,求 .
【解析】由角平分线的性质知，可得 ，
令，则 .
图11-4
设是的中点，如图11-4所示，因为 ，
,所以， ,
故 ,
由,得 ，即
，
所以 （负值已舍） .
例5 (2025·全国高中数学联赛江苏赛区预赛)已知的面积为2，，则 的
范围为_ __________.
,
【解析】不妨在平面直角坐标系中设,，由面积为2知 边上的
高为2,不妨设 ,
则 .
当时,上式 ,
当时， ,
易知 ,
此时, .
综上，,开方得 .
例6 (2025· 东南大学强基计划)若，则判断 的形状.
【解析】由正弦定理得 ,
因为,, 为三角形内角，
所以
则, 均为锐角.
②式平方得,即 ,将①式代入得，
,
则，解得 ,
,
则, ,
则 ,
则 为钝角三角形.
例7 (2024· 清华大学强基计划)在中， ，， 在
内部，延长交于，且，则 ( )
D
A. B. C. D.
图11-5
【解析】如图11-5所示，
由为 的平分线，并结合正弦定理得
， .
由，可得 ，
即 ，
化简可得 ，于是
或 （舍），
故 .
则 ,
例8 (2024·北京大学强基计划)在中，若点在线段上，平分 ,
,，求 的周长.
【解析】设, ，
由角平分线定理可得，则 ，
由余弦定理的推论得 ，
即 ，
将代入化简得 ，
即 ，
解得或舍去 ，
经检验只能,故 ，
所以 的周长为10.5.
谢谢观看
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