第12章 复数 章末总结 课件(共27张PPT)-高一下学期数学苏教版必修第二册

(共27张PPT)
章末总结
第12章 复数
高一下学期数学苏教版必修第二册
目录
单元知识总结
03
01
02
单元专题分析
高考命题分析
单元知识总结
01
单元专题分析
02
专题 的虚根的性质及其应用
由方程得,, .
设,则 ,且有如下关系：
（1） ;
证明
因为 ,所以
.
因为,所以 ,所以
.
故 .
（2） ;
【答案】由（1）知， .
（3） ;
【答案】由（1）知，,所以 .
（4） ;
【答案】由（3）知, .
（5）, ;
【答案】.故, .
（6）, ,, .
【答案】, ,
,故
.
例1 ［多选题］已知复数是虚数单位,是 的共轭复数，则下列结
论正确的是( )
AC
A. B. C. D.
【解析】, ,故A正确；
,故B错误;
,故C正确；虚数不能比较大小，故D错误.故
选 .
例2 _______.
【解析】
.
一章一练·学思维知创新
复数中的新定义问题
实数系到复数系的扩充，推动了数学的发展，解决了困扰数学家已久的负实数开平
方问题，作为重要的数系，复数除了课本上讲到的四则运算、三角表示外，还衍生
出了其他新定义问题，让我们一起感受一下复数的魅力！
例3新定义 欧拉公式 (2025·黑龙江省哈尔滨市第一中学期中) 欧拉是数学史上非常
多产的数学家之一,他发现并证明了欧拉公式 ,从而建立了三角函
数和指数函数的关系.若将其中的 取作 就得到了欧拉恒等式 ,它是令人
着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个量联系起来,两个超越数——自然对数的底
数,圆周率 ,两个单位——虚数单位 和自然数单位1,以及被称为人类伟大发现之一
的0.请你根据欧拉公式 ,解决以下问题:
（1）将复数写成,,为虚数单位 的形式;
【解析】由欧拉公式得，, ，
所以 .
（2）求 的最大值.
【解析】由欧拉公式及复数模的求法得，
，所以当时，即 ， 时，
取得最大值，最大值为2.
例4 新定义 次单位根 在复数域中，满足 的所有复数
称为 次单位根，其中满足
的次单位根又称为次本原单位根.例如当 时，存在四
个4次单位根,，因为,，因此只有两个4次本原单位根 ．
（1）直接写出3次单位根，并指出哪些是3次本原单位根（无需证明）．
【解析】当时，的解为 ，
则3次单位根为1,, ，
由于，, 的1次方以及2次方均不等于1，
故3次本原单位根为, .
（2）①若是8次本原单位根，证明： ．
【解析】因为是8次本原单位根，所以, .
因为，且，所以 ，
所以, ,
，
则 .
②若是次本原单位根，证明： ．
【解析】因为是次本原单位根，所以, ，
设，因为 ，所以
，
又 ，
所以 ，
所以 .
因为，所以，即 ，
则，即 .
高考命题分析
03
命题点1 复数的求解
例5 (2025·全国高中数学联赛江西预赛)设复数满足，则
的值为___________.
【解析】，即 ,
所以 .
例6 (2024·全国高中联赛浙江赛区初赛)已知复数满足，则
_ _______．
【解析】设 ，
由，得，所以 ，
由，得，所以 ，
联立得解得或
所以 ．
命题点2 模长问题
例7 (2025·全国高中数学联赛江苏赛区预赛)设为复数,为虚数单位，若 的实部为
0,则 的最大值为___.
6
【解析】实部为0等价于, 对应
的点位于复平面中以原点为圆心、半径为1的圆上， 对应的点到原点的距离为
，的最大值即为 对应的点到圆上点的最大距离，为
.
例8 (2024·全国高中联赛重庆赛区初赛)已知复数使得为纯虚数，则
的最小值为________.
【解析】设,不同时为0且, ，
则 .
因为 为纯虚数，
所以所以或
当时， ，
则当时， .
当时，复数对应的点是以 为圆心，2为半径的圆的圆周上的点，
而表示点与点 的距离，
因为，所以点 在圆内，
所以 ，
综上所述，的最小值为 .
例9 (2022· 清华大学强基计划)已知复数满足,求 的最大值.
【解析】设,, ,
,
所求最大值为 .
例10 (2022·全国高中数学联赛江苏赛区苏州选拔)已知为虚数，且 为实数，则
___.
3
【解析】设,,且 ,
则 ,
由于为实数，则 ,
即,所以 .
命题点3 复数方程
例11 (2025·全国高中数学联赛福建赛区预赛)若,是关于 的方程
的两个虚数根，且,则实数 的值为___.
1
【解析】方程可化为 .
依题意 ,
方程两虚数根为 .
于是解得 .
. .
命题点4 复数与函数的综合
例12 (2023·全国高中数学联赛浙江赛区初赛)设函数为复数 满足
.若，则 ___.
1
【解析】因为 ，
所以 .
又 ，
所以 ，
即，即 .
例13 (2022· 中国数学奥林匹克希望联盟夏令营)设集合， ，
，其中，，与为实系数方程 的两根
，则 中所有元素之和为_______.
【解析】由根与系数的关系可知，， ，
则中所有元素之和为, ,
.
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