9.3公式法 课后同步培优提升训练（含答案）苏科版2025—2026学年八年级下册

9.3公式法课后同步培优提升训练苏科版2025—2026学年八年级下册
一、选择题
1．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各多项式中：①，②，③，④，能直接运用公式法分解因式的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．若，且，，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．1
4．定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”．若，则b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．如果，，那么的值为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．8
6．已知实数a，b满足，，且，则代数式的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．若实数x，y满足，则下列式子一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，是一个三角形三边的长，则代数式的值（ ）
A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定是零 D．可能是零
二、填空题
9．甲、乙两人在分解因式时，甲看错了的值，分解的结果是；乙看错了的值，分解的结果是，则__________．
10．已知，则的值为_______．
11．已知，且，则的值为_____．
12．已知，则的值是_____．
三、解答题
13．因式分解：
(1)； (2)．
14．已知，，是的三边，且满足，请判断的形状，并说明理由．
15．要把多项式分解因式，可以先把它进行分组再分解因式：，这种分解因式的方法叫做分组分解法．
(1)请用上述方法分解因式：；
(2)已知，，求式子的值；
(3)已知的三边长，满足，试判断的形状．
16．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
例1：因式分解：．
解：原式．
例2：若，利用配方法求的最小值．
解：．
，，
当时，有最小值1．
请根据上述阅读材料，解决下列问题：
(1)用配方法因式分解：________；
(2)已知，求的值．
(3)已知，，试比较，的大小．
(4)若为有理数且满足，求的最小值．
17．阅读下列材料：我们知道，对于一些正整数n，可以表示为 （a、b为正整数，且），例如：．
(1)请将表示为两个正整数的平方差的形式；
(2)求证：任意一个大于1的奇数都可以表示为两个正整数的平方差；
(3)若，且a、b为正整数，且，求n的取值范围．
18．在当今“互联网+”时代，有一种用“因式分解法”生成密码的方法：将一个多项式因式分解，如将多项式因式分解的结果为，当，时，，，其中，，分别为因式码，按从小到大的顺序就形成密码．
(1)根据上述方法，当时，对于多项式分解因式后形成的密码是什么？
(2)将多项式因式分解后，利用题目中的方法，当时可以得到密码，求与的值．
参考答案
一、选择题
1．C
2．A
3．D
4．C
5．C
6．C
7．C
8．A
二、填空题
9．1
10．2
11．
12．25
三、解答题
13．【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
14．【详解】解：是直角三角形．
理由如下：由可得，
，
，，，
，，．
，
是直角三角形．
15．【详解】（1）解：
．
（2），，
．
（3）
∵的三边长，
∴
∴，
∴
∴是等腰三角形．
16．【详解】（1）解：依题意，，
故答案为：．
（2），
，
，
又，，，
，，，
，，
．
（3），，
，，
．
（4）解：，
，
，
当时，有最小值，最小值为3，此时满足，
故答案为：3．
17．【详解】（1）解：或；
（2）证明：
（k为正整数），
∴（k为正整数），
∴任意一个大于1的奇数都可以表示为两个正整数的平方差；
（3）解：且为正整数，
且与同奇偶，
若与同奇，最小为，
若与同偶，则必能被4整除，最小为，
∴当为奇数时，n为大于或等于3的奇数；当n为偶数时，n为大于等于8的偶数且为4的倍数．
18．【详解】（1）解：
当时，，，
∴密码为
（2）解：由题可得时，密码为
∴，，
∴
∴
∴，
∴，