8.3三角形的中位线 课后同步培优提升训练（含答案）苏科版2025—2026学年八年级下册

8.3三角形的中位线课后同步培优提升训练苏科版2025—2026学年八年级下册
一、选择题
1．如图，点D，E，F分别为三边的中点，若的周长为5，则的周长为（ ）
A．12 B．10 C．5 D．2．5
2．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，M，N分别是边，的中点，连接，，若，，则的长为（　　）
A．3.5 B．3 C．2.5 D．2
3．如图，在菱形中，对角线，相交于点，点为边的中点，菱形的周长为，则的长为（ ）
A． B．4 C．7 D．14
4．如图，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，连接，， 和得到四边形，当对角线 和 满足，，时，四边形的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
5．如图，在中，点、分别是边、的中点，连接，点在线段上，连接、，，若，，则的长为（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
6．如图，在中，平分，是的中点，，，，则（　　）
A．1 B． C．2 D．
7．如图，、分别是的角平分线和中线，于点F，交于点G，连接．若，，则（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
8．如图，矩形的对角线、相交于点，点为的中点，连接，若，，则的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．2
二、填空题
9．如图，是的中位线，平分，交于点．已知，，则的长为_____________．
10．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，，点E在线段上，，点F在线段上，，连接，点G为的中点，连接，则的长为______．
11．如图，在矩形中，、分别为、边上的点，且，为上一点，且，、分别为、的中点，则_____．
12．如图，已知点D，E，F分别为，，的中点，若四边形的面积为3，则四边形的面积为___________．
三、解答题
13．已知，如图，CD是Rt△FBE的中位线，A是EB延长线上一点，且AB=BE．
（1）证明：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若∠E=60°，AD=3cm，求BE的长．
14．如图，点E，F，G，H分别是的中点．
(1)判断四边形的形状，并证明你的结论．
(2)当满足什么条件时，四边形是正方形．
15．问题发现
（1）小明在解决问题“如图（1），中，，E为的中点，于点D．求证：．”时，由E为的中点联想到构造三角形的中位线．如图（2），取的中点F，连接，，则是的中位线，故且，从而可得．要证，只需证即可．请你帮助小明完成证明过程．
深入探究
（2）如图（3），中，，，E为的中点，平分，交的延长线于点F，求的长．
拓展应用
（3）如图（4），中，，，将绕点A逆时针旋转α（）得到，连接，E为的中点，连接，请直接写出长度的取值范围．
16．如图，中，，、分别是、的中点，以为斜边作．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
17．【提出问题】
（1）如图，四边形中，对角线，交于点，点，，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，若，求四边形的周长．
【解决问题】
（2）如图，在等边与等边中，点在的延长线上，点在的同侧，连接，点，分别是，的中点，连接，若，，求的长．
（3）如图，在等腰与等腰中，，，，，点在的上方，连接，，点，，分别是，，的中点，连接，则的面积为___________．
18．【三角形中位线定理】：如图1，是的中位线，则，
【活动一】：证明定理：添加辅助线：如图1，在中，延长（、分别是、的中点）到点，使得，连接，请你补充完整证明过程．
【活动二】：应用定理：如图2，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：．
【活动三】深入定理：如图3，在四边形中，，，为的中点，、别为边上的点，若，，，求的长．
参考答案
一、选择题
1．B
2．C
3．A
4．B
5．C
6．A
7．B
8．A
二、填空题
9．
10．
11．
12．6
三、解答题
13．【详解】解：（1）证明：∵CD是Rt△FBE的中位线，
∴CD∥BE，CD=BE，
∴AB=BE，
∴AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=3cm，
∵CD是Rt△FBE的中位线，
∴BC=CE=EF，
∵∠E=60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE=BC=3cm．
14．【详解】（1）解：四边形是平行四边形．
证明：∵分别是边的中点，
∴，且，
同理：，且，
∴，且，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：当时，四边形是正方形，
由（1）可得：四边形是平行四边形，
同上可得：，
，
∴，
，
四边形是矩形，
∵，，
∴，
∴四边形是正方形．
15．【详解】（1）证明： 如图（2）， 取的中点， 连接，
∵是的中点，
∴是的中位线，
∴且，
∴，
∵，
∴，
∵， 为的中点，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
(2)如图， 延长交于点，
，平分，
，又 ，
，
，
，
，
∵为的中点，，
；
（3），
如图（3）， 由题意知点在以为圆心，为半径的圆上运动，取的中点，连接，
，
，
，
由旋转的性质可得
∵ 为的中点，为的中点，
，
∴
，
∴当在上时， 最小， 为；当在的延长线上时，最大，为
．
16．【详解】（1）证明：∵、分别是、的中点
∴
∵是的中点，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵、分别是、的中点，
∴，
∴，
∵是的中点，，
∴,
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
17．【详解】解：（）∵点，，，，分别是边，，，的中点，
∴，，
∴四边形的周长为；
（）如图，连接，取中点，连接，过作，交延长线于点，
∵，是等边三角形，
∴，，，
∵点，分别是，的中点，
∴，，，，
∴，，
∵，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴；
（）如图，连接，与交于点，交于点，交于点，过作交延长线于点，
∵点，，分别是，，的中点，
∴，，，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，，
∴，是等腰三角形，
在中，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
如图，过作于点，则，
∵，
∴，
∴的面积为，
故答案为：．
18．【详解】活动一 ：解：∵是的中点，
，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，；
活动二：解：∵是的中点，是的中点，
∴，，
∵是的中点，是的中点，
∴，，
，
，
活动三：解：过点向上作的平行线，连接，延长，过作延长线的垂线，垂足为，连接，
∵是的中点，，
∴，，，
∴，
∴，，
，
∴是中垂线，
，
，
∴，，
∵，，
∴，，
，
∴，．