20.1 勾股定理及其应用 课后培优提升同步训练（含答案）人教版2025—2026学年八年级下册

20.1勾股定理及其应用课后培优提升同步训练人教版2025—2026学年八年级下册
一、选择题
1．如图，在数轴上点A表示的实数是（ ）
A． B． C． D．
2．若三角形三边长为5，12，x，且该三角形为直角三角形，则x的值为（ ）
A．13 B． C．13或 D．无法确定
3．一个底面周长为，高为的圆柱，有一只小虫从底部点A处爬到上底B处，则小虫爬的最短路径长为（ ）．
A．13 B．15 C． D．18
4．如图是小晨在学习了“赵爽弦图”的相关知识后，构造的“类赵爽弦图”．是等边三角形，，，是三个全等的三角形，是围成的小等边三角形．已知，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．4
5．如图，在中，，是的角平分线，于点．若的周长是，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在Rt中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为．若．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B．5 C． D．
7．如图，在等腰直角三角形中，，D为边上的中点，过点D作，交于点E，交于点F．若，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
8．如图，在与中，，点D在直线上运动，则的最小值（ ）．
A． B． C．2 D．
二、填空题
9．如图，将矩形沿折叠，使点D落在上的F处，已知，的面积为24，则的长为___________．
10．如图，在中，，于点D，于点E．若，，则的长为______．
11．如图，圆柱的高为，底面周长为，在圆柱的下底面点处有一只蚂蚁，它想吃到离上底面的点处的食物，这只蚂蚁需要爬行的最短路程是_____．
12．等腰直角三角形的底边长为，则这个三角形的周长是________．
三、解答题
13．如图，一棵树上的点处有两只猴子，它们都要到处吃东西，其中一只猴子先沿往下到达树底处，再沿走到处．另一只猴子则先沿爬到树顶处，再沿缆绳滑到处，已知两只猴子所经过的路程相等，且，设树高为．
(1)请用含的代数式表示的长为___________．
(2)这棵树的高有多少米？
14．如图，在中，，斜边的垂直平分线分别交，于D，E两点，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的长．
15．如图，在中，，平分交于点，，垂足为．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
16．如图，，，，，交于F．
(1)求证：，；
(2)连接、，若，，求的值．
17．【问题情境】
教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？
【探索新知】
从面积的角度思考，不难发现：
大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积．
从而得数学等式：，化简证得勾股定理：．
【初步运用】
(1)如图1，若，则小正方形面积大正方形面积=________；
(2)现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若，，此时小正方形内空白部分的面积为_________；
(3)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，该风车状图案的面积为_______；
(4)如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则_______．
(5)如果用三张含的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．
18．定义：如果三角形中，两边的平方和等于第三边平方的2倍，那么这个三角形叫“加倍三角形”．
(1)下列三角形一定是“加倍三角形”的是_____；
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
(2)如图1，是“加倍三角形”，且．若正方形和正方形的面积分别是8和24，则正方形的面积是_____；
(3)如图2，在四边形中，，．E是四边形外一点，且，．求证：是“加倍三角形”．
参考答案
一、选择题
1．A
2．C
3．A
4．A
5．C
6．B
7．C
8．B
二、填空题
9．
10．5
11．13
12．
三、解答题
13．【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，即，
∴；
（2）解：由题意可知：，
在中，根据勾股定理，得
，
即，
整理，得，
解得
答：这棵树的高有．
14．【详解】（1）解：是的垂直平分线，
，，
．
，，
，
解得；
（2）解：是的垂直平分线，
．
设，则，
在中，根据勾股定理，得
，即，
解得，
．
15．【详解】（1）证明：AD平分，
．
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：在中，，
，．
．
，
，
解得．
16．【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
设交于点，则，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，，
∴，
由（1）可知：，
∴，，
∴
．
17．【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴小正方形面积：大正方形面积，
故答案为：；
（2）解：根据题意得
，
∵空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积，
∴空白部分的面积为．
故答案为：28；
（3）解：根据题意得
，．
设，则，．
在中，，
即，
解得，
∴，
∴该风车状图案的面积；
故答案为：24；
（4）解：将四边形的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y．
∵正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，且，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：10；
（5）解：．
设大正三角形的高为，中心小正三角形的高为，三个全等三角形的高为．
由图可知大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积，
，
大等边三角形的面积，
，
小等边三角形的面积，
，
，
三个这样的三角形面积之和为，
，
，
∴．
18．【详解】（1）解：A、设的三边长分别为，，则由勾股定理可得，不满足“加倍三角形”定义，不符合题意；
B、设等腰三边长分别为，则三边平方分别为，他们不一定满足两边的平方和等于第三边平方的2倍，比如某一等腰三角形三边长分别，则就不满足“加倍三角形”定义，不符合题意；
C、设等腰的三边长分别为，，则由勾股定理可得，不满足“加倍三角形”定义，不符合题意；
D、设等边的边长为，则，满足“加倍三角形”定义，符合题意；
故选：D；
（2）解：∵正方形和正方形的面积分别是8和24，
，
∵是“加倍三角形”，且，
，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：连接，如图所示：
，
∴和均为直角三角形，
在中，由勾股定理可得；在中，由勾股定理可得，
，
，
∴是“加倍三角形”．