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同步探究学案
课题 20.2 勾股定理的逆定理及其应用 （第1课时） 单元 第二十章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．理解勾股定理逆定理的内容，掌握其证明思路． 2．能运用逆定理判断一个三角形是否为直角三角形．
重点 理解勾股定理逆定理的内容，并能运用其判断三角形是否为直角三角形．
难点 理解勾股定理逆定理的证明思路，掌握构造直角三角形进行全等证明的方法．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．说一说勾股定理的内容？ 2．这个命题的题设和结论分别是什么？
新知探究 本节课来研究： 本节我们研究勾股定理的逆定理。 由勾股定理可以知道，直角三角形的两条直角边长的平方和等于斜边长的平方．反过来，如果三角形的三条边满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方，那么这个三角形是不是直角三角形呢？ 如图所示给出了确定直角的一种方法：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩将长绳钉成一个三角形，其中一个角便是直角． 上述方法意味着，如果围成三角形的三边长分别为3，4，5，它们满足关系“32＋42＝52”，那么围成的三角形是直角三角形． 一般地，满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方的三角形是不是直角三角形呢？ 观察：画一画，如果三角形的三边长分别为2.5cm，6cm，6.5cm，它们满足关系“2.52＋62＝6.52”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边长分别为4cm，7.5cm，8.5cm，再试一试． 猜想：如果三角形的三边长a，b，c满足_________，那么这个三角形是直角三角形． 注意：这个猜想的题设是勾股定理的______，结论是勾股定理的______，这个命题就是勾股定理的逆命题． 问题：这个勾股定理的逆命题正确吗？如何证明呢？ 已知：如图（1），已知△ABC的三边长分别为a，b，c，满足a2＋b2＝c2． 求证：△ABC是直角三角形． 分析：直接证明△ABC是直角三角形比较困难．回顾已经学过的知识，可以作一个两条直角边长分别为a，b的直角三角形，如果能证明△ABC与所作的直角三角形全等，那么就能证明△ABC是直角三角形． 归纳：勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足__________，那么这个三角形是直角三角形． 注意：（1）它是判定直角三角形的一个依据． （2）勾股定理是直角三角形的一个性质定理，而其逆定理是直角三角形的一个判定定理． 例1：判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形： （1）a＝8，b＝15，c＝17； （2）a＝14，b＝13，c＝15． 分析：根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要判断两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方． 归纳：（1）像8，15，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数． （2）例1（2）中，如果这个三角形是直角三角形，那么根据勾股定理应有a2＋b2＝c2．事实上，上式不成立．因此，这个三角形不是直角三角形． 例2：在△ABC 中，a∶b∶c＝9∶15∶12，试判断△ABC 是否是直角三角形． 归纳：运用勾股定理的逆定理时，要先确定三角形中的最长边．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列各组数中，不能构成直角三角形的是（ ） A． B． C． D． 2．已知a，b，c是的三边长，且满足关系，则的形状是______． 3．如图，在四边形中，，为对角线，已知，，，．求证：是直角三角形． 选做题： 4．如图，已知中，，，，的垂直平分线分别交，于，，连接，则的长为（ ）． A． B． C． D． 【综合拓展类练习】 5．如图，已知四边形中，，求四边形的面积．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．以下列各组数为三边长的三角形中，能构成直角三角形的是（ ） A．1，2，3 B． C．6，7，10 D． 2．在中，已知，，则的度数为____________． 3．如图，在中，，求边上的高． 选做题： 4．下列各组数是勾股数的是（ ） A．，， B．5，， C．1，2， D．4，5，6 【综合拓展类作业】 5．已知，，是的三边，且满足，请判断的形状，并说明理由．
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第二十章 勾股定理
20.2 勾股定理的逆定理及其应用
（第1课时）
1．理解勾股定理逆定理的内容，掌握其证明思路．
2．能运用逆定理判断一个三角形是否为直角三角形．
1．说一说勾股定理的内容？
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
2．这个命题的题设和结论分别是什么？
题设：直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c．
结论：a2＋b2＝c2．
由勾股定理可以知道，直角三角形的两条直角边长的平方和等于斜边长的平方．反过来，如果三角形的三条边满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方，那么这个三角形是不是直角三角形呢？
a2＋b2＝c2
如图所示，给出了确定直角的一种方法：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩将长绳钉成一个三角形，其中一个角便是直角．
3
4
5
如果围成三角形的三边长分别为3，4，5，它们满足关系“32＋42＝52”，那么围成的三角形是直角三角形．
一般地，满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方的三角形是不是直角三角形呢？
观察：画一画，如果三角形的三边长分别为2.5cm，6cm，6.5cm，它们满足关系“2.52＋62＝6.52”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边长分别为4cm，7.5cm，8.5cm，再试一试．
画一画：
量一量：
直角三角形
直角三角形
这个猜想就是勾股定理的逆命题，
题设
题设
猜想：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
结论
结论
这个勾股定理的逆命题正确吗？如何证明呢？
已知：如图（1），已知△ABC的三边长分别为a，b，c，满足a2＋b2＝c2．求证：△ABC是直角三角形．
分析：直接证明△ABC是直角三角形比较困难．回顾已经学过的知识，可以作一个两条直角边长分别为a，b的直角三角形，如果能证明△ABC与所作的直角三角形全等，那么就能证明△ABC是直角三角形．
证明：如图（2），作一个Rt△A′B′C′，使B′C′＝a，A′C′＝b，∠C′＝90°．
根据勾股定理，A′B′2＝B′C′2＋A′C′2＝a2＋b2．
因为a2＋b2＝c2，所以A′B′＝c．
在△ABC和△A′B′C′中，BC＝a＝B′C′，AC＝b＝A′C′，AB＝c＝A′B′，
所以△ABC≌△A′B′C′（SSS）．
因此∠C＝∠C′＝90°，即△ABC是直角三角形．
已知：如图（1），已知△ABC的三边长分别为a，b，c，满足a2＋b2＝c2．求证：△ABC是直角三角形．
我们证明了勾股定理的逆命题是正确的，它也是一个定理．这个定理叫作勾股定理的逆定理．
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
它是判定直角三角形的一个依据．
勾股定理是直角三角形的一个性质定理，而其逆定理是直角三角形的一个判定定理．
分析：根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要判断两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方．
例1：判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
（1）a＝8，b＝15，c＝17；（2）a＝14，b＝13，c＝15．
解：（1）因为82＋152＝64＋225＝289，
172＝289，
所以82＋152＝172．
根据勾股定理的逆定理，由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形．
像8，15，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．
例1：判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
（1）a＝8，b＝15，c＝17；（2）a＝14，b＝13，c＝15．
解：（2）因为142＋132＝196＋169＝365，152＝225，
所以142＋132≠152．
根据勾股定理，由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形．
如果这个三角形是直角三角形，那么根据勾股定理应有a2＋b2＝c2．事实上，上式不成立．因此，这个三角形不是直角三角形．
例1：判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
（1）a＝8，b＝15，c＝17；（2）a＝14，b＝13，c＝15．
例2：在△ABC 中，a∶b∶c＝9∶15∶12，试判断△ABC 是否是直角三角形．
解：依题意知 b 是最长边，
设 a＝9k，b＝15k，c＝12k(k＞0)，
∵ a2＋c2＝(9k)2＋(12k)2＝225k2，
b2＝(15k)2＝225k2，
∴ a2＋c2＝b2，
即△ABC 是直角三角形．
运用勾股定理的逆定理时，要先确定三角形中的最长边．
【知识技能类练习】必做题：
1．下列各组数中，不能构成直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
D
【知识技能类练习】必做题：
2．已知a，b，c是的三边长，且满足关系，则的形状是_____________________．
等腰直角三角形
【知识技能类练习】必做题：
3．如图，在四边形中，，为对角线，已知，，，．求证：是直角三角形．
证明： ，，，
，
，，
，
，
是直角三角形．
【知识技能类练习】选做题：
4．如图，已知中，，，，的垂直平分线分别交，于，，连接，则的长为（ ）．
A． B．
C． D．
A
【综合拓展类练习】
5．如图，已知四边形中，，求四边形的面积．
解：如图，连接，
在中，由勾股定理，得，
在中，
，
，
为直角三角形，且，
，
．
勾股定理的逆定理
勾股数
逆命题
勾股定理的逆定理
【知识技能类作业】必做题：
1．以下列各组数为三边长的三角形中，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B． C．6，7，10 D．
B
【知识技能类作业】必做题：
2．在中，已知，，则的度数为____________．
【知识技能类作业】必做题：
3．如图，在中，，求边上的高．
解：，
，
是直角三角形，
，
即，
．
【知识技能类作业】选做题：
4．下列各组数是勾股数的是（ ）
A．，， B．5，，
C．1，2， D．4，5，6
B
【综合拓展类作业】
5．已知，，是的三边，且满足，请判断的形状，并说明理由．
解：是直角三角形．
理由如下：由可得
，
，
，，，
，，．
，
是直角三角形．中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第五课时《20.2 勾股定理的逆定理及其应用（第1课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课时是勾股定理单元的重要组成部分，是勾股定理的逆向探究与拓展，在单元知识体系中起到承上启下、完善结构的关键作用．它承接勾股定理的内容，通过逆命题研究，形成“性质—判定”的完整知识链，完善直角三角形的认知体系．本节课既是对命题、逆命题知识的巩固应用，也是判定直角三角形的核心依据，为后续几何图形判定、几何综合证明提供重要工具．同时，本节课通过“由数定形”的推理过程，强化数形结合、转化与类比思想，提升学生逻辑推理与几何直观素养．此外，勾股逆定理在生活测量、工程判断等实际场景中应用广泛，能有效培养学生数学建模与应用意识，是提升学生核心素养的重要载体．
学习者分析 学生已熟练掌握勾股定理内容与简单应用，具备三角形三边关系、直角三角形定义等基础知识，能进行平方、开方运算，也初步了解命题与逆命题概念，为本课学习奠定基础．但学生逆向思维较弱，对“由三边数量关系判断直角三角形”的逻辑转化理解存在障碍，对逆定理的证明思路不易掌握．同时，学生抽象思维仍在发展，易混淆定理与逆定理的使用条件，不过学生对动手操作、合作探究兴趣较高，可通过实例探究降低理解难度，引导学生自主建构知识．
教学目标 1．理解勾股定理逆定理的内容，掌握其证明思路． 2．能运用逆定理判断一个三角形是否为直角三角形．
教学重点 理解勾股定理逆定理的内容，并能运用其判断三角形是否为直角三角形．
教学难点 理解勾股定理逆定理的证明思路，掌握构造直角三角形进行全等证明的方法．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．理解勾股定理逆定理的内容，掌握其证明思路． 2．能运用逆定理判断一个三角形是否为直角三角形．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题：1．说一说勾股定理的内容？ 答案：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2． 2．这个命题的题设和结论分别是什么？ 答案：题设：直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c． 结论：a2＋b2＝c2． 设问：由勾股定理可以知道，直角三角形的两条直角边长的平方和等于斜边长的平方．反过来，如果三角形的三条边满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方，那么这个三角形是不是直角三角形呢？ 学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过复习勾股定理及命题的相关知识，为探究勾股定理的逆定理做好准备环节三：新知讲解教师活动3： 讲解：如图所示给出了确定直角的一种方法：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩将长绳钉成一个三角形，其中一个角便是直角． 上述方法意味着，如果围成三角形的三边长分别为3，4，5，它们满足关系“32＋42＝52”，那么围成的三角形是直角三角形． 一般地，满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方的三角形是不是直角三角形呢？ 观察：画一画，如果三角形的三边长分别为2.5cm，6cm，6.5cm，它们满足关系“2.52＋62＝6.52”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边长分别为4cm，7.5cm，8.5cm，再试一试． 预设：画一画，量一量： 结论：直角三角形 猜想：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 指出：这个猜想的题设是勾股定理的结论，结论是勾股定理的题设，这个命题就是勾股定理的逆命题． 追问：这个勾股定理的逆命题正确吗？如何证明呢？ 已知：如图（1），已知△ABC的三边长分别为a，b，c，满足a2＋b2＝c2． 求证：△ABC是直角三角形． 分析：直接证明△ABC是直角三角形比较困难．回顾已经学过的知识，可以作一个两条直角边长分别为a，b的直角三角形，如果能证明△ABC与所作的直角三角形全等，那么就能证明△ABC是直角三角形． 证明：如图（2），作一个Rt△A′B′C′，使B′C′＝a，A′C′＝b，∠C′＝90°． 根据勾股定理，A′B′2＝B′C′2＋A′C′2＝a2＋b2． 因为a2＋b2＝c2，所以A′B′＝c． 在△ABC和△A′B′C′中，BC＝a＝B′C′，AC＝b＝A′C′，AB＝c＝A′B′， 所以△ABC≌△A′B′C′（SSS）．因此∠C＝∠C′＝90°，即△ABC是直角三角形． 这样，我们证明了勾股定理的逆命题是正确的，它也是一个定理．这个定理叫作勾股定理的逆定理． 归纳：勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 它是判定直角三角形的一个依据． 指出：勾股定理是直角三角形的一个性质定理，而其逆定理是直角三角形的一个判定定理． 例1：判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形： （1）a＝8，b＝15，c＝17； （2）a＝14，b＝13，c＝15． 分析：根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要判断两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方． 解：（1）因为82＋152＝64＋225＝289， 172＝289， 所以82＋152＝172． 根据勾股定理的逆定理，由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形． 归纳：像8，15，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数． （2）因为142＋132＝196＋169＝365，152＝225，所以142＋132≠152． 根据勾股定理，由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形． 归纳：如果这个三角形是直角三角形，那么根据勾股定理应有a2＋b2＝c2．事实上，上式不成立．因此，这个三角形不是直角三角形． 例2：在△ABC 中，a∶b∶c＝9∶15∶12，试判断△ABC 是否是直角三角形． 解：依题意知 b 是最长边， 设 a＝9k，b＝15k，c＝12k(k＞0)， ∵a2＋c2＝(9k)2＋(12k)2＝225k2， b2＝(15k)2＝225k2， ∴a2＋c2＝b2， 即△ABC 是直角三角形． 归纳：运用勾股定理的逆定理时，要先确定三角形中的最长边．学生活动3： 学生先独立操作作思考，然后小组合作探究，班内汇报交流后认真听老师的点评和讲解活动意图说明： 通过画图测量，猜测勾股定理的逆命题的正确性并通过证明得出勾股定理的逆定理，通过例题检验学生对根据三角形的三边长判断直角三角形的能力，同时介绍勾股数的概念．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：20.2勾股定理的逆定理及其应用（第1课时）一、逆命题 二、勾股定理的逆定理 三、勾股数教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列各组数中，不能构成直角三角形的是（ ） A． B． C． D． 答案：D 2．已知a，b，c是的三边长，且满足关系，则的形状是______． 答案：等腰直角三角形 3．如图，在四边形中，，为对角线，已知，，，．求证：是直角三角形． 证明： ，，， ， ，， ， ， 是直角三角形． 选做题： 4．如图，已知中，，，，的垂直平分线分别交，于，，连接，则的长为（ ）． A． B． C． D． 答案：A 【综合拓展类练习】 5．如图，已知四边形中，，求四边形的面积． 解：如图，连接， 在中，由勾股定理，得， 在中，， ， 为直角三角形，且， ， ．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．以下列各组数为三边长的三角形中，能构成直角三角形的是（ ） A．1，2，3 B． C．6，7，10 D． 答案：B 2．在中，已知，，则的度数为____________． 答案： 3．如图，在中，，求边上的高． 解：， ， 是直角三角形， ， 即， ． 选做题： 4．下列各组数是勾股数的是（ ） A．，， B．5，， C．1，2， D．4，5，6 答案：B 【综合拓展类作业】 5．已知，，是的三边，且满足，请判断的形状，并说明理由． 解：是直角三角形． 理由如下：由可得， ， ，，， ，，． ， 是直角三角形．
教学反思 本节课通过实例探究引入逆定理，降低了学生理解难度，但逆定理证明环节仍有部分学生跟不上构造思路，需进一步简化步骤、加强直观演示．部分学生混淆定理与逆定理的使用场景，课后需通过对比练习强化区分．整体课堂参与度较高，学生能基本掌握直角三角形的判定方法，但推理表达不够规范，后续应加强书写训练与思路表述指导．
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