人教版（2024版）八下数学 20.2 勾股定理的逆定理及其应用（第1课时）同步练习（含解析）

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20.2 勾股定理的逆定理及其应用（第1课时）同步练习
班级：________ 姓名：________
一、单选题
1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中不能构成直角三角形的是（ ）
A．1,2,3 B．3,4,5 C．6,8,10 D．5,12,13
2．以下列各组长度的线段，能组成直角三角形的是（ ）
A．5，11，12 B．3，4，5 C．6，8，11 D．7，23，24
3．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7
4．三边长分别为、、的三角形不是直角三角形，这个论断的依据是（ ）
A．勾股定理的逆定理
B．勾股定理
C．直角三角形两锐角互余
D．以上都不对
5．在中，三边分别为，，，下列条件中，能判断是直角三角形的个数为（ ）
①； ②，，；
③； ④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
6．在中，，，，则______°．
7．已知一个三角形的三条边的长分别为，那么这个三角形的最大内角度数为_________．
8．在中，三条边长分别是a、b、c，且，则的形状是______．
9．若三角形的三边长分别为a、b、c，且满足，则这个三角形按形状分类是______三角形．
10．在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若且，则面积为_____．
三、解答题
11．根据下列条件，分别判断以为边的三角形是不是直角三角形．
(1)，，．
(2)，，．
(3)，，．
(4)，，（n为正整数）
(5)．
12．先观察下列各组数，然后回答问题：
第1组：，，，第2组：，，，
第3组：，，，第4组：，，.
(1)根据各组数反映的规律，直接用含n的代数式表示第n组的三个数；
(2)以其中任意一组的三个数为边长所组成的三角形的形状是______，请说明原因．
答案与解析
20.2 勾股定理的逆定理及其应用（第1课时）同步练习
班级：________ 姓名：________
一、单选题
1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中不能构成直角三角形的是（ ）
A．1,2,3 B．3,4,5 C．6,8,10 D．5,12,13
【答案】A
【解析】本题考查了三角形三边关系的应用，判断三边能否构成直角三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．
先判断能否构成三角形，再验证是否为直角三角形．
解：∵三角形任意两边之和需大于第三边，
∴在选项A中，，
不满足三边关系，
无法构成三角形，
更不能构成直角三角形；
选项B中，∵，
符合勾股定理逆定理，
∴能构成直角三角形；
选项C中，∵，
符合勾股定理逆定理，
∴能构成直角三角形；
选项D中，∵，
符合勾股定理逆定理，
∴能构成直角三角形，
故选：A．
2．以下列各组长度的线段，能组成直角三角形的是（ ）
A．5，11，12 B．3，4，5 C．6，8，11 D．7，23，24
【答案】B
【解析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解．
解：A、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，能组成直角三角形，故本选项符合题意；
C、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7
【答案】B
【解析】本题考查勾股数的判定，需依据勾股数的定义：若三个正整数a、b、c满足，则称这三个数为勾股数，通过计算各选项中两小边的平方和是否等于最大边的平方来判断即可．
解：A、，，，不是勾股数，
B、，，，是勾股数，
C、，，，不是勾股数，
D、，，，不是勾股数，
故选B．
4．三边长分别为、、的三角形不是直角三角形，这个论断的依据是（ ）
A．勾股定理的逆定理
B．勾股定理
C．直角三角形两锐角互余
D．以上都不对
【答案】B
解：∵，，，
∴根据勾股定理，三边长分别为、、的三角形不是直角三角形，
∴判断该三角形不是直角三角形，依据是勾股定理．
5．在中，三边分别为，，，下列条件中，能判断是直角三角形的个数为（ ）
①； ②，，；
③； ④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】本题考查勾股定理逆定理和三角形内角和定理．
通过勾股定理逆定理和三角形内角和定理，逐一分析每个条件是否能判定为直角三角形即可．
解：①∵，
∴设，，（），
∵，
∴是直角三角形．
②∵，，，
∵，
∴不满足勾股定理逆定理，
∴不是直角三角形．
③∵，
∴设，，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴是直角三角形．
④∵，且，
∴，
∴，，
∴是直角三角形．
综上，能判断是直角三角形的有①③④，共3个．
故选：C．
二、填空题
6．在中，，，，则______°．
【答案】
90
【解析】本题考查勾股定理逆定理，能够通过勾股定理逆定理得到三角形为直角三角形是解题关键；
先通过三角形三边的长度关系得到三角形为直角三角形，进而可求解．
解：中，，，，
∴，，，
∴，
∴为直角三角形，且为斜边，
∴，
故答案为：90．
7．已知一个三角形的三条边的长分别为，那么这个三角形的最大内角度数为_________．
【答案】
【解析】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握定理是解决问题的关键．由三边长度利用勾股定理的逆定理可判定此三角形为直角三角形，则最大角可求．
解：，
∴此三角形为直角三角形，
则三角形最大内角度数为．
故答案为： ．
8．在中，三条边长分别是a、b、c，且，则的形状是______．
【答案】直角三角形
【解析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．
解：∵，
∴，
∴为直角三角形．
故答案为直角三角形.
9．若三角形的三边长分别为a、b、c，且满足，则这个三角形按形状分类是______三角形．
【答案】直角
【解析】此题考查了勾股定理的逆定理，绝对值和算术平方根的非负性，解题的关键是掌握以上知识点．
利用非负数的性质求出三角形的三边长，再根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
解：∵，且，，，
∴，，，
解得，，，
∵，，
∴，
∴该三角形是直角三角形，边为斜边．
故答案为：直角．
10．在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若且，则面积为_____．
【答案】
【解析】先用配方法对变形配方，从而求得b，c的值，再将其代入，求出a，再由勾股定理的判定定理得出为直角三角形，进而求出的面积即可．
解：∵，
∴，
，
∴
解得，
∵，
∴，
解得或（舍去）
∵，
∴，
∴是以1和为直角边的直角三角形，
∴的面积为：．
三、解答题
11．根据下列条件，分别判断以为边的三角形是不是直角三角形．
(1)，，．
(2)，，．
(3)，，．
(4)，，（n为正整数）
(5)．
【答案】(1)以为边的三角形不是直角三角形
(2)以为边的三角形是直角三角形
(3)以为边的三角形是直角三角形
(4)以为边的三角形是直角三角形
(5)以为边的三角形是直角三角形
【解析】根据题意求出两条较短边的平方和，最长边的平方，然后利用勾股定理的逆定理判断求解即可．
解：（1）∵，，
∴，
∴以为边的三角形不是直角三角形；
（2）∵，，
∴，
∴以为边的三角形是直角三角形；
（3）∵，，
∴，
∴以为边的三角形是直角三角形；
（4）∵，，
∴，
∴以为边的三角形是直角三角形；
（5）∵，
∴设，
∵，，
∴，
∴以为边的三角形是直角三角形；
12．先观察下列各组数，然后回答问题：
第1组：，，，第2组：，，，
第3组：，，，第4组：，，.
(1)根据各组数反映的规律，直接用含n的代数式表示第n组的三个数；
(2)以其中任意一组的三个数为边长所组成的三角形的形状是______，请说明原因．
【答案】(1)，，
(2)直角三角形，见解析
【解析】（1）确定每组数据被开方数的规律即可求解；
（2）根据勾股定理的逆定理即可求解．
解：（1）依题意得每一组的第一个被开方数为n，第二个被开方数为，第三个被开方数为，
∴第n组的三个数分别为，，；
（2）直角三角形，
∵，
即任意一组都满足前两个数的平方和等于第三个数的平方.
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