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同步探究学案
课题 20.2 勾股定理的逆定理及其应用 （第2课时） 单元 第二十章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．能综合运用勾股定理和逆定理解决较复杂的几何问题． 2．提升分析问题、选择合适定理的能力．
重点 综合运用勾股定理与逆定理解决几何计算、判定及实际综合问题．
难点 根据题目条件合理选择定理或逆定理，准确建立数学模型解决综合问题．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．说一说勾股定理的内容？ 2．说一说勾股定理的逆定理的内容？
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助勾股定理及其逆定理，研究它们的实际应用。 例1：如图所示，港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile．它们离开港口1.5h后分别位于点Q，R处，且相距30nmile．如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？ 分析：在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果能求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了． 归纳：在实际生活中常用勾股定理的逆定理判断方向和位置，解决问题的关键是利用勾股定理的逆定理找出其中的直角． 例2：如图所示，在四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，AD＝，DC＝．如果AC⊥BC，判断AC与AD是否也垂直，并说明理由． 分析：若能求出AC的长，就可以根据勾股定理或其逆定理判断△ACD是不是直角三角形，从而判断AC是否垂直于AD． 归纳：在实际生活中，也常综合运用勾股定理及其逆定理判断三角形是否是直角三角形，或者判断它的一个角是否是直角．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，正方形的面积为100，点E在正方形内，，，则阴影部分的面积是（ ） A．48 B．60 C．76 D．80 2．如图是某品牌婴儿车及其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），则该车_____（填“符合”或“不符合”）安全标准． 3．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火灾．如图，着火点位于处，有一架救火飞机沿东西方向由点飞向点，已知点与直线上两点，的距离分别为和，且，在飞机中心周围以内可以受到洒水影响．着火点会受洒水影响吗？为什么？ 选做题： 4．如图，在的正方形网格中标出了和，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类练习】 5．如图，某海监局P位于东西方向的海岸线上．“前行”号与“远方”号轮船同时离开海监局P，各自沿一固定方向航行，“前行”号每小时航行16海里，“远方”号每小时航行的速度是“前行”号速度的，它们离开海监局航行半小时后分别位于处，且相距10海里．已知“前行”号沿西南方向航行． (1)请问“远方”号沿哪个方向航行？ (2)若“前行”号继续沿原方向航行一个小时到达点M，“远方”号继续沿原方向航行1海里到达点G，则此时“前行”号与“远方”号的距离是多少海里？
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，一块四边形地，已知，，，，，则这块地的面积为（ ） A． B． C． D． 2．如图中，为钝角，边，的垂直平分线分别交于点，．若，则_________度． 3．如图，在一条东西走向的河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，由于某种原因，由到、由到的路现在均不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，测得米，米，米．问是否为从村庄到河边最近的路？请通过计算加以说明． 选做题： 4．如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路，经测量，，．现需修建一条小路从学校到公路，则这条小路的最短距离为（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类作业】 5．为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：，，． (1)与垂直吗？请说明理由； (2)据设计人员介绍，支架的比长，求支架的长度．
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第二十章 勾股定理
20.2 勾股定理的逆定理及其应用
（第2课时）
1．能综合运用勾股定理和逆定理解决较复杂的几何问题．
2．提升分析问题、选择合适定理的能力．
1．说一说勾股定理的内容？
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
2．说一说勾股定理的逆定理的内容？
如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
综合运用勾股定理及其逆定理，可以解决一些实际问题．
例1：如图所示，港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile．它们离开港口1.5h后分别位于点Q，R处，且相距30nmile．如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？
分析：在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果能求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了．
解：根据题意，PQ＝16×1.5＝24，
PR＝12×1.5＝18，QR＝30．
因为242＋182＝302，即PQ2＋PR2＝QR2，
所以∠QPR＝90°．
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1＝45°．
因此∠2＝45°，即“海天”号沿西北方向航行．
例1：如图所示，港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile．它们离开港口1.5h后分别位于点Q，R处，且相距30nmile．如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？
在实际生活中常用勾股定理的逆定理判断方向和位置，解决问题的关键是利用勾股定理的逆定理找出其中的直角．
例2：如图所示，在四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，AD＝，DC＝．如果AC⊥BC，判断AC与AD是否也垂直，并说明理由．
分析：若能求出AC的长，就可以根据勾股定理或其逆定理判断△ACD是不是直角三角形，从而判断AC是否垂直于AD．
解：因为AC⊥BC，所以∠ACB＝90°．
在Rt△ABC中，
AC2＝AB2－BC2＝52－32＝16．
所以AC＝4．
在△ACD中，
AC2＋AD2＝42＋()2＝，CD2＝()2＝，
所以AC2＋AD2＝CD2．
因此△ACD是直角三角形，即AC⊥AD．
例2：如图所示，在四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，AD＝，DC＝．如果AC⊥BC，判断AC与AD是否也垂直，并说明理由．
在实际生活中，也常综合运用勾股定理及其逆定理判断三角形是否是直角三角形，或者判断它的一个角是否是直角．
【知识技能类练习】必做题：
1．如图，正方形的面积为100，点E在正方形内，，，则阴影部分的面积是（ ）
A．48 B．60 C．76 D．80
C
【知识技能类练习】必做题：
2．如图是某品牌婴儿车及其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），则该车_____（填“符合”或“不符合”）安全标准．
符合
【知识技能类练习】必做题：
3．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火灾．如图，着火点位于处，有一架救火飞机沿东西方向由点飞向点，已知点与直线上两点，的距离分别为和，且，在飞机中心周围以内可以受到洒水影响．着火点会受洒水影响吗？为什么？
解：着火点会受洒水影响，理由如下：
如图，过点作，垂足为点，
∵，，，
∴，．
∴．∴是直角三角形．
∴．∴．
∵，∴着火点会受洒水影响．
【知识技能类练习】选做题：
4．如图，在的正方形网格中标出了和，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
B
【综合拓展类练习】
5．如图，某海监局P位于东西方向的海岸线上．“前行”号与“远方”号轮船同时离开海监局P，各自沿一固定方向航行，“前行”号每小时航行16海里，“远方”号每小时航行的速度是“前行”号速度的，它们离开海监局航行半小时后分别位于处，且相距10海里．已知“前行”号沿西南方向航行．
(1)请问“远方”号沿哪个方向航行？
(2)若“前行”号继续沿原方向航行一个
小时到达点M，“远方”号继续沿原方
向航行1海里到达点G，则此时“前行”
号与“远方”号的距离是多少海里？
【综合拓展类练习】
解：（1）由题知，海里，海里，，，
，
，
是直角三角形，且，
，
即“远方”号沿东南方向航行．
（2）根据题意得：海里，
海里，
在中，，
∴海里，
即此时“前行”号与“远方”号的距离是25海里．
勾股定理的逆定理的应用
综合运用勾股定理及其逆定理解决实际问题
勾股定理的逆定理的应用
【知识技能类作业】必做题：
1．如图，一块四边形地，已知，，，，，则这块地的面积为（ ）
A． B． C． D．
B
【知识技能类作业】必做题：
2．如图中，为钝角，边，的垂直平分线分别交于点，．若，则_________度．
【知识技能类作业】必做题：
3．如图，在一条东西走向的河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，由于某种原因，由到、由到的路现在均不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，测得米，米，米．问是否为从村庄到河边最近的路？请通过计算加以说明．
解：是从村庄到河边最近的路．
证明：米，米，米，
，
是直角三角形，且，
，
是从村庄到河边最近的路．
【知识技能类作业】选做题：
4．如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路，经测量，，．现需修建一条小路从学校到公路，则这条小路的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
C
【综合拓展类作业】
5．为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：，，．
(1)与垂直吗？请说明理由；
(2)据设计人员介绍，支架的比长，求支架的长度．
【综合拓展类作业】
解：（1）与垂直，理由如下：
∵，，
∴，
∴；
（2）由题意可设，则有，
∵，
∴，即，
解得：，
∴．中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第六课时《20.2 勾股定理的逆定理及其应用（第2课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课时是勾股定理单元的综合提升课，是对勾股定理与逆定理知识的整合与升华，在整个单元中起到巩固核心、提升能力的关键作用．它承接前序课时的定理内容与判定方法，将“由形算边”与“由边判形”两种思路融合运用，完善直角三角形的知识体系．本节课既是对勾股定理、逆定理、勾股数等知识的系统巩固，也是培养学生综合分析、逻辑推理、数学建模能力的重要载体．通过解决几何与实际综合问题，学生能深刻体会数形结合、分类讨论、转化等数学思想，提升解决复杂问题的能力．同时，本节课为后续学习四边形、圆、解直角三角形等几何内容奠定综合应用基础，是提升学生数学核心素养的重要环节．
学习者分析 学生已掌握勾股定理与逆定理的基本内容，能进行简单计算与直角三角形判定，具备初步的几何分析和推理能力，为本课时综合学习提供知识支撑．但学生面对复杂几何图形、折叠问题、实际场景问题时，难以快速判断该用定理还是逆定理，建模与选择方法的能力不足．部分学生对知识的综合运用、条件挖掘、步骤书写仍不规范，逆向思维与逻辑转换能力较弱．不过学生已具备一定合作探究经验，可通过分层例题、变式训练逐步提升综合应用能力．
教学目标 1．能综合运用勾股定理和逆定理解决较复杂的几何问题． 2．提升分析问题、选择合适定理的能力．
教学重点 综合运用勾股定理与逆定理解决几何计算、判定及实际综合问题．
教学难点 根据题目条件合理选择定理或逆定理，准确建立数学模型解决综合问题．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．能综合运用勾股定理和逆定理解决较复杂的几何问题． 2．提升分析问题、选择合适定理的能力．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题：1．说一说勾股定理的内容？ 答案：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2． 2．说一说勾股定理的逆定理的内容？ 答案：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 导言：综合运用勾股定理及其逆定理，可以解决一些实际问题．学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过复习勾股定理及其逆定理，为探究勾股定理及其逆定理的应用做好准备环节三：新知讲解教师活动3： 例1：如图所示，港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile．它们离开港口1.5h后分别位于点Q，R处，且相距30nmile．如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？ 分析：在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果能求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了． 解：根据题意， PQ＝16×1.5＝24， PR＝12×1.5＝18， QR＝30． 因为242＋182＝302，即PQ2＋PR2＝QR2，所以∠QPR＝90°． 由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1＝45°．因此∠2＝45°，即“海天”号沿西北方向航行． 归纳：在实际生活中常用勾股定理的逆定理判断方向和位置，解决问题的关键是利用勾股定理的逆定理找出其中的直角． 例2：如图所示，在四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，AD＝，DC＝．如果AC⊥BC， 判断AC与AD是否也垂直，并说明理由． 分析：若能求出AC的长，就可以根据勾股定理或其逆定理判断△ACD是不是直角三角形，从而判断AC是否垂直于AD． 解：因为AC⊥BC，所以∠ACB＝90°． 在Rt△ABC中， AC2＝AB2－BC2＝52－32＝16． 所以AC＝4． 在△ACD中， AC2＋AD2＝42＋()2＝，CD2＝()2＝， 所以AC2＋AD2＝CD2． 因此△ACD是直角三角形，即AC⊥AD． 归纳：在实际生活中，也常综合运用勾股定理及其逆定理判断三角形是否是直角三角形，或者判断它的一个角是否是直角．学生活动3： 学生先独立思考，然后小组合作交流，班内汇报后认真听同学或老师的点评活动意图说明： 通过例题，提高学生应用勾股定理及其逆定理解决实际问题的能力环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：20.2勾股定理的逆定理及其应用（第2课时）一、勾股定理的逆定理的应用 二、综合运用勾股定理及其逆定理解决实际问题教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，正方形的面积为100，点E在正方形内，，，则阴影部分的面积是（ ） A．48 B．60 C．76 D．80 答案：C 2．如图是某品牌婴儿车及其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），则该车_____（填“符合”或“不符合”）安全标准． 答案：符合 3．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火灾．如图，着火点位于处，有一架救火飞机沿东西方向由点飞向点，已知点与直线上两点，的距离分别为和，且，在飞机中心周围以内可以受到洒水影响．着火点会受洒水影响吗？为什么？ 解：着火点会受洒水影响， 理由如下： 如图，过点作，垂足为点， ∵，，， ∴，． ∴． ∴是直角三角形． ∴． ∴． ∵， ∴着火点会受洒水影响． 选做题： 4．如图，在的正方形网格中标出了和，则的度数为（ ） A． B． C． D． 答案：B 【综合拓展类练习】 5．如图，某海监局P位于东西方向的海岸线上．“前行”号与“远方”号轮船同时离开海监局P，各自沿一固定方向航行，“前行”号每小时航行16海里，“远方”号每小时航行的速度是“前行”号速度的，它们离开海监局航行半小时后分别位于处，且相距10海里．已知“前行”号沿西南方向航行． (1)请问“远方”号沿哪个方向航行？ (2)若“前行”号继续沿原方向航行一个小时到达点M，“远方”号继续沿原方向航行1海里到达点G，则此时“前行”号与“远方”号的距离是多少海里？ 解：（1）由题知，海里，海里，，， ， ， 是直角三角形，且， ， 即“远方”号沿东南方向航行． （2）根据题意得：海里，海里， 在中，， ∴海里， 即此时“前行”号与“远方”号的距离是25海里．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，一块四边形地，已知，，，，，则这块地的面积为（ ） A． B． C． D． 答案：B 2．如图中，为钝角，边，的垂直平分线分别交于点，．若，则_________度． 答案： 3．如图，在一条东西走向的河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，由于某种原因，由到、由到的路现在均不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，测得米，米，米．问是否为从村庄到河边最近的路？请通过计算加以说明． 解：是从村庄到河边最近的路． 证明：米，米，米， ， 是直角三角形，且， ， 是从村庄到河边最近的路． 选做题： 4．如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路，经测量，，．现需修建一条小路从学校到公路，则这条小路的最短距离为（ ） A． B． C． D． 答案：C 【综合拓展类作业】 5．为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：，，． (1)与垂直吗？请说明理由； (2)据设计人员介绍，支架的比长，求支架的长度． 解：（1）与垂直，理由如下： ∵，， ∴， ∴； （2）由题意可设，则有， ∵， ∴，即， 解得：， ∴．
教学反思 本节课通过典型例题引导学生综合运用两个定理，有效提升解题能力，但部分学生仍不能快速判断使用定理还是逆定理，建模思路不清晰．课堂练习时间较紧张，个别学生思路展示不充分．后续应增加定理对比与选择策略指导，加强审题训练与步骤规范，通过分层练习兼顾不同层次学生，进一步提升综合应用与逻辑表达能力．
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