人教版（2024版）八下数学 20.2 勾股定理的逆定理及其应用（第2课时）同步练习（含解析）

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20.2 勾股定理的逆定理及其应用（第2课时）同步练习
班级：________ 姓名：________
一、单选题
1．如图，在四边形中，，，四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5千米，12千米，13千米，问这块沙田面积有多大？则该沙田的面积为（　　）平方千米．
A．15 B．30 C．75 D．60
3．年7月日，随着锚地防御演练顺利完成，“北部 联合－”演习圆满落幕．如图．演习中，两艘战舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西方向以海里/小时的速度航行，二号舰以海里/小时的速度航行，离开港口小时后它们分别到达A，B两点，相距海里，则二号舰航行的方向是（ ）
A．南偏东 B．北偏东 C．南偏东 D．南偏西
4．如图，甲船从港口O出发，以16海里/时的速度向北偏西方向航行，乙船同时从港口O出发，沿方向以12海里/时的速度航行，航行1小时后，两船相距20海里．则乙船航行的方向是（ ）
A．南偏西方向 B．西偏南方向 C．西偏南方向 D．西南方向
5．如图，某学校为开展劳动教育在校园农场中开垦了一块四边形菜地，测得，，，，，则这块菜地的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．手工课上，小明做了一个如图①所示的剪刀套，抽象成模型如图②所示．已知，，，，且．若连接，则的度数为______．
7．一根电线杆高12m，为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离处加一根拉线．拉线工人发现所用线长为13.2m（不计捆缚部分），则电线杆与地面__________（填“垂直”或“不垂直”）．
8．如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为，，．已知A、B两村之间已修建了一条笔直的村级公路，为了实现村村通公路，现在要从村修一条笔直公路直达．已知公路的造价为10000元/，则修这条公路的最低造价为______元．
9．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点处，且相距30海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿______方向航行．
10．为了强化实践育人，开展劳动教育和综合实践活动，某中学现有一块四边形的空地，如图，学校决定开发该空地作为学生的综合实践基地．经学校课外实践小组测量得，米，米，米，米，则四边形的面积为________平方米．
三、解答题
11．为了响应“绿色汉中，文明汉中”的号召，某小区要在一块四边形空地上补种草皮．如图，经测量，若补种草皮的单价是20元，求完成补种共需要多少钱．
12．勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理．
(1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理
(2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积；
(3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长．
答案与解析
20.2 勾股定理的逆定理及其应用（第2课时）同步练习
班级：________ 姓名：________
一、单选题
1．如图，在四边形中，，，四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
连接，根据，用勾股定理求出的长度，再用勾股定理的逆定理，证是直角三角形，根据四边形的面积等于和面积之差，即可求解．
解：如图，连接，
，
，
又，
，
是直角三角形，
四边形的面积为．
故选：D．
2．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5千米，12千米，13千米，问这块沙田面积有多大？则该沙田的面积为（　　）平方千米．
A．15 B．30 C．75 D．60
【答案】B
【解析】本题考查勾股定理逆定理的应用和三角形面积的计算，关键是根据三边关系确定直角三角形．
通过勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形，再利用直角三角形的面积公式求解．
解：∵，，
∴，
∴该三角形为直角三角形，直角边为5千米和12千米，
∴面积（平方千米）．
故选：B．
3．年7月日，随着锚地防御演练顺利完成，“北部 联合－”演习圆满落幕．如图．演习中，两艘战舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西方向以海里/小时的速度航行，二号舰以海里/小时的速度航行，离开港口小时后它们分别到达A，B两点，相距海里，则二号舰航行的方向是（ ）
A．南偏东 B．北偏东 C．南偏东 D．南偏西
【答案】C
【解析】本题考查了方位角、勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解本题的关键．
由题意可知，，由勾股定理逆定理可知，结合方位角即可确定出二号舰的航行方向．
解：如图：
，
由题意得：，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴二号舰航行的方向是南偏东，
故选：C．
4．如图，甲船从港口O出发，以16海里/时的速度向北偏西方向航行，乙船同时从港口O出发，沿方向以12海里/时的速度航行，航行1小时后，两船相距20海里．则乙船航行的方向是（ ）
A．南偏西方向 B．西偏南方向 C．西偏南方向 D．西南方向
【答案】A
【解析】本题考查了勾股定理的应用，方向角，连接，根据题意可得：（海里），（海里），（海里），，然后利用勾股定理逆定理得，从而得，再利用平角的定义计算，最后根据方向角的概念可得答案．
解：如图：连接，
由题意得：（海里），（海里），（海里），，
∵，即，
∴，
∴，
∴乙船航行的方向是南偏西方向，
故选：A．
5．如图，某学校为开展劳动教育在校园农场中开垦了一块四边形菜地，测得，，，，，则这块菜地的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据四边形的面积 的面积 的面积，进行计算即可解答．
解：连接，
，，，
，
∵，，
，，
，
是直角三角形，
，
∴四边形的面积的面积的面积，
，
这块菜地的面积为，
故选：B．
二、填空题
6．手工课上，小明做了一个如图①所示的剪刀套，抽象成模型如图②所示．已知，，，，且．若连接，则的度数为______．
【答案】/90度
【解析】首先根据勾股定理得出的长，再利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形即可．
解：∵
∴，
∵
∴，
∴是直角三角形， 且．
7．一根电线杆高12m，为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离处加一根拉线．拉线工人发现所用线长为13.2m（不计捆缚部分），则电线杆与地面__________（填“垂直”或“不垂直”）．
【答案】不垂直
【解析】本题考查了勾股定理的逆定理，关键根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：时，则三角形为直角三角形，否则不是直角三角形．
根据勾股定理的逆定理，通过计算电线杆高度和水平距离的平方和与拉线长度的平方是否相等，判断电线杆与地面是否垂直．
解：∵，
，
∴不满足勾股定理的逆定理，
∴电线杆，地面水平距离，拉线，不能构成直角三角形，
∴电线杆与地面不垂直．
故答案为：不垂直．
8．如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为，，．已知A、B两村之间已修建了一条笔直的村级公路，为了实现村村通公路，现在要从村修一条笔直公路直达．已知公路的造价为10000元/，则修这条公路的最低造价为______元．
【答案】72000
【解析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是知道在什么时候距离最短．
首先得出，然后利用其逆定理得到，根据垂线段最短确定最短距离，然后利用面积相等求得的长，最终求得最低造价．
解：∵，
，
，
要使公路的造价最低，则，
，
，
故这条公路的最低造价为：（元），
故答案为：72000．
9．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点处，且相距30海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿______方向航行．
【答案】西北方向
【解析】本题考查了勾股定理逆定理的应用和方向角，解题的关键是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形进行解答．
根据题意，得出的三边长，再利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，再求解即可．
解：由题知，海里，海里，海里，，
，
，
是直角三角形，且，
，
“海天”号沿西北方向航行．
故答案为：西北方向
10．为了强化实践育人，开展劳动教育和综合实践活动，某中学现有一块四边形的空地，如图，学校决定开发该空地作为学生的综合实践基地．经学校课外实践小组测量得，米，米，米，米，则四边形的面积为________平方米．
【答案】
【解析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．在中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断得到，最后利用即可解答．
解：在中，
∵，米，米，
∴（米），
在中，
∵，
∴
∴是直角三角形，且
∴（平方米）
故答案为：．
三、解答题
11．为了响应“绿色汉中，文明汉中”的号召，某小区要在一块四边形空地上补种草皮．如图，经测量，若补种草皮的单价是20元，求完成补种共需要多少钱．
【答案】2880元
【解析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，最后利用三角形面积公式求出草皮面积，即可求解．
解：如图，连接，
，
，，
，，，
，
是直角三角形，
，
四边形的面积，
（元），
答：完成补种共需要元．
12．勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理．
(1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理
(2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积；
(3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)24
(3)1.2
【解析】（1）根据三角形全等以及可得，再由三角形面积公式可分别求解出、与的面积，再由梯形面积公式求解出梯形的面积，由此可证勾股定理；
（2）根据勾股定理可求解的长度，再由勾股定理逆定理可得为90度，分别计算与的面积即可求解阴影面积；
（3）设，在中由勾股定理表示，在中由勾股定理表示，列式求解x的值，再回代求即可．
解：（1）证明：，
，
，
，
，即，
，
，
，即；
（2），，，
有勾股定理得，，
，，
，
，
，
答：阴影部分面积为24；
（3）设千米，则千米，
，
，
在中，，
在中，，
，即，
整理得，，
解得，，
千米，
（千米），
答：新修路的长为1.2千米．
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