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分课时教学设计
第七课时《图说数学史：数学瑰宝——勾股定理》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课时是勾股定理单元的文化拓展课，兼具知识性、趣味性与文化性，在单元教学中起到深化理解、提升素养的独特作用．它承接前序课时的定理内容、应用及证明，以数学史为载体，串联起勾股定理的发现、证明与传播历程，既巩固了学生对定理的认知，又打破了纯知识传授的局限．本节课通过展示中外数学家对勾股定理的探索成果，让学生感受数学文化的魅力，体会数形结合思想的历史演变，增强民族自豪感与数学学习兴趣．同时，它为学生提供了多角度理解定理的视角，弥补了纯理论教学的不足，是培养学生数学文化素养、人文情怀与探究精神的重要载体，也为后续数学史相关内容的学习奠定基础，完善了单元知识的文化内涵．
学习者分析 学生已系统掌握勾股定理的内容、证明与应用，具备一定的几何推理和知识归纳能力，对数学知识背后的历史故事有较强的好奇心，为本课时的学习提供了知识基础和情感动力．但学生此前较少接触数学史类课程，对数学史的梳理、中外成果的对比能力不足，难以深入理解数学史与定理本身的关联．同时，部分学生对抽象的数学文化理解较浅，容易将数学史学习等同于故事阅读，忽略其中蕴含的数学思想．不过学生乐于参与分享、探究类活动，可通过图文展示、小组交流突破学习难点．
教学目标 1．了解勾股定理的历史发展，感受其在中外数学史上的地位． 2．体会数学文化的魅力，增强对数学的兴趣．
教学重点 了解勾股定理的中外历史发展历程，掌握关键数学家的贡献及经典证明方法，感受数学文化魅力．
教学难点 理解数学史与勾股定理知识的关联，体会历史发展中蕴含的数学思想，提升数学文化素养．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．了解勾股定理的历史发展，感受其在中外数学史上的地位． 2．体会数学文化的魅力，增强对数学的兴趣．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 导言：勾股定理的发现离不开人的思考，更离不开人们对数学真理的追求．勾股定理这一数学瑰宝，既是存在于客观世界中的数学真理，也是在人类智慧“浇灌”下，数学领域中绽放出的一朵思维之花．学生活动2： 学生认真听老师的讲解活动意图说明： 激发探究兴趣，感受数学价值与人类智慧．环节三：新知讲解教师活动3： 1．《周髀算经》中记载了勾股定理，商高指出了“勾三股四弦五”这一勾股定理的特殊形式，陈子测日的方法“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股．勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日”是对勾股定理一般形式的明确表述． 2．约公元前1700年的古巴比伦泥版上，记载了多组由楔形文字表示的勾股数． 3．在古印度的《测绳的法规》中，记载着勾股定理与几组勾股数，这些知识用于建造施工时确定直角，勾股定理在其中的表述为：以矩形对角线为边的正方形面积，等于分别以矩形两邻边为边的正方形面积之和． 4．《原本》第一卷的命题47即勾股定理：在直角三角形中，直角所对边上的正方形面积等于两直角边上的正方形面积之和．命题48是勾股定理的逆定理，欧几里得对这两个定理都进行了严格的证明． 在各大古代数学文明中熠熠生辉的勾股定理，因其巧妙地将“数”与“形”关联在一起，从而为数学的发展提供了动力． 5．在我国古代数学发展的历程中，勾股定理具有很强的应用性．如用于计算圆周率的割圆术，其理论基础就包括勾股定理． 6．古希腊时期，数学家证明了边长为1的正方形的对角线不能表示为两个整数的比，证明过程中就用到了勾股定理，这为人类更好地认识数学，促进数学的发展提供了机遇． 7．勾股定理是中国古代数学发展的一个出发点． 8．在平面解析几何中，通过勾股定理得到任意两点A，B之间的距离，勾股定理成为解析几何发展中必不可少的基础性工具．而在定义一些更高维度空间中两点间的距离时，也常使用勾股定理或其变形作为一种重要的刻画距离的方式． 勾股定理的发现离不开人的思考，更离不开人们对数学真理的追求．勾股定理这一数学瑰宝，既是存在于客观世界中的数学真理，也是在人类智慧“浇灌”下，数学领域中绽放出的一朵思维之花．学生活动3： 学生交流分享勾股定理的中外发展与应用活动意图说明： 感受勾股定理的文化价值与数学思想，提升数学文化素养。环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：图说数学史：数学瑰宝——勾股定理一、中外文明的发现历程 二、对后世的深远影响教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”．它被记载于下列哪部著名数学著作中（ ） A．《孙子算经》 B．《海岛算经》 C．《周髀算经》 D．《九章算术》 答案：C 2．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图①所示是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．如图②所示是由图①放入长方形内得到的，，，，点D，E，F，G，H，I都在长方形的边上，则长方形的面积为________． 答案：110 3．勾股定理是一个基本的几何定理，在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如：3，4，5；5，12，13；8，15，17；等等都是勾股数． (1)如果是一组勾股数，即满足，则（为正整数）也是一组勾股数．如：5，12，13是一组勾股数，则______________也是一组勾股数； (2)世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中，书中提到：当（为正整数，时，构成一组勾股数；请证明满足以上公式的是一组勾股数． 解：（1）∵， ∴10，24，26是一组勾股数 故答案为：10，24，26（答案不唯一）； （2）依题意， ， ∴满足以上公式的是一组勾股数． 选做题： 4．《算法统宗》记载古人丈量田地的诗：“昨日丈量地回，记得长步整三十，广斜相并五十步，不知几亩及分厘．”大意：昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽和对角线之和为50步，不知该田有几亩（1亩240平方步）．请帮他算一算，该田有（ ） A．1.5亩 B．2亩 C．2.5亩 D．3亩 答案：B 【综合拓展类练习】 5．数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式． (1)如图，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成，请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积． 方法：______；方法：______； 根据以上信息，可以得到的等式是______； (2)如图，大正方形是由四个边长分别为的直角三角形（为斜边）和一个小正方形拼成，请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到之间的数量关系； (3)在（）的条件下，若，求斜边的值． 解：（1）方法：， 方法：， 可以得到的等式是：， 故答案为：，，； （2）方法：， 方法：， ∴， ∴； （3）把代入得， ， ∴．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，，，，点都在长方形KLMJ的边上，则长方形的面积为（ ） A．121 B．110 C．100 D．90 答案：B 2．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是将图1放入矩形内得到的，，点D，E，F，G，H，I都在矩形的边上，则空白部分的面积为____________ 答案：60 3．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？” 解：如图所示， 设绳索有x尺长，依题意 解得：， 答：绳索长尺， 选做题： 4．勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，它不仅在初等数学中有重要的作用，在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用．正因为这样，勾股定理在许多书中都有记载、下列书中没有记载勾股定理的是（ ） A．《九章算术》 B．《海岛算经》 C．《几何原本》 D．《周髀算经》 答案：B 【综合拓展类作业】 5．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个直角边分别为，，斜边为的全等直角三角形拼成的大正方形，用它可以证明勾股定理．思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”，也被称为“算两次”． 【方法理解】如图2，在边长为1的小方格中，、、、均为格点(网格线的交点)，则正方形的面积___________． 【方法运用】如图3，对任意符合条件的，绕其锐角顶点逆时针旋转得到，，连接，延长，，交于点，易知四边形是一个正方形，它的面积和四边形的面积相等，四边形的面积等于和的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法． 【方法迁移】 如图4，在中，是边上的高，，，，求线段的长度是多少？ 解：根据题意得： 故答案为：； 【方法运用】解：根据题意得：， ， 由题意得，正方形的面积和四边形的面积相等， 则， 即； 【方法迁移】解：根据题意得，在中，，，， 设， 则， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， 则， 解得， 因此， 即， 答：线段的长度是．
教学反思 本节课通过图文、视频展示勾股定理的数学史，有效激发了学生的学习兴趣，大部分学生能掌握中外关键成果．但部分学生对数学史与定理的关联理解不深，仅关注故事本身，忽略数学思想的提炼．课堂分享环节时间把控不够精准，部分小组展示不够充分．后续需加强历史与知识的衔接引导，优化时间分配，增加互动探究，让学生真正从数学史中体会数学的魅力与价值．
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同步探究学案
课题 图说数学史：数学瑰宝——勾股定理 单元 第二十章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．了解勾股定理的历史发展，感受其在中外数学史上的地位． 2．体会数学文化的魅力，增强对数学的兴趣．
重点 了解勾股定理的中外历史发展历程，掌握关键数学家的贡献及经典证明方法，感受数学文化魅力．
难点 理解数学史与勾股定理知识的关联，体会历史发展中蕴含的数学思想，提升数学文化素养．
探究过程
导入新课 【引入思考】 勾股定理的发现离不开人的思考，更离不开人们对数学真理的追求．勾股定理这一数学瑰宝，既是存在于客观世界中的数学真理，也是在人类智慧“浇灌”下，数学领域中绽放出的一朵思维之花．
新知探究 本节课来研究： 本节我们以数学史为载体，了解勾股定理的发现、证明与传播历程． 1．《周髀算经》中记载了勾股定理，商高指出了“勾三股四弦五”这一勾股定理的特殊形式，陈子测日的方法“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股．勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日”是对勾股定理一般形式的明确表述． 2．约公元前1700年的古巴比伦泥版上，记载了多组由楔形文字表示的勾股数． 3．在古印度的《测绳的法规》中，记载着勾股定理与几组勾股数，这些知识用于建造施工时确定直角，勾股定理在其中的表述为：以矩形对角线为边的正方形面积，等于分别以矩形两邻边为边的正方形面积之和． 4．《原本》第一卷的命题47即勾股定理：在直角三角形中，直角所对边上的正方形面积等于两直角边上的正方形面积之和．命题48是勾股定理的逆定理，欧几里得对这两个定理都进行了严格的证明． 在各大古代数学文明中熠熠生辉的勾股定理，因其巧妙地将“数”与“形”关联在一起，从而为数学的发展提供了动力． 5．在我国古代数学发展的历程中，勾股定理具有很强的应用性．如用于计算圆周率的割圆术，其理论基础就包括勾股定理． 6．古希腊时期，数学家证明了边长为1的正方形的对角线不能表示为两个整数的比，证明过程中就用到了勾股定理，这为人类更好地认识数学，促进数学的发展提供了机遇． 7．勾股定理是中国古代数学发展的一个出发点． 8．在平面解析几何中，通过勾股定理得到任意两点A，B之间的距离，勾股定理成为解析几何发展中必不可少的基础性工具．而在定义一些更高维度空间中两点间的距离时，也常使用勾股定理或其变形作为一种重要的刻画距离的方式． 勾股定理的发现离不开人的思考，更离不开人们对数学真理的追求．勾股定理这一数学瑰宝，既是存在于客观世界中的数学真理，也是在人类智慧“浇灌”下，数学领域中绽放出的一朵思维之花．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”．它被记载于下列哪部著名数学著作中（ ） A．《孙子算经》 B．《海岛算经》 C．《周髀算经》 D．《九章算术》 2．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图①所示是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．如图②所示是由图①放入长方形内得到的，，，，点D，E，F，G，H，I都在长方形的边上，则长方形的面积为________． 3．勾股定理是一个基本的几何定理，在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如：3，4，5；5，12，13；8，15，17；等等都是勾股数． (1)如果是一组勾股数，即满足，则（为正整数）也是一组勾股数．如：5，12，13是一组勾股数，则______________也是一组勾股数； (2)世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中，书中提到：当（为正整数，时，构成一组勾股数；请证明满足以上公式的是一组勾股数． 选做题： 4．《算法统宗》记载古人丈量田地的诗：“昨日丈量地回，记得长步整三十，广斜相并五十步，不知几亩及分厘．”大意：昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽和对角线之和为50步，不知该田有几亩（1亩240平方步）．请帮他算一算，该田有（ ） A．1.5亩 B．2亩 C．2.5亩 D．3亩 【综合拓展类练习】 5．数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式． (1)如图，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成，请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积． 方法：______；方法：______； 根据以上信息，可以得到的等式是______； (2)如图，大正方形是由四个边长分别为的直角三角形（为斜边）和一个小正方形拼成，请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到之间的数量关系； (3)在（）的条件下，若，求斜边的值．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，，，，点都在长方形KLMJ的边上，则长方形的面积为（ ） A．121 B．110 C．100 D．90 2．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是将图1放入矩形内得到的，，点D，E，F，G，H，I都在矩形的边上，则空白部分的面积为____________ 3．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？” 选做题： 4．勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，它不仅在初等数学中有重要的作用，在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用．正因为这样，勾股定理在许多书中都有记载、下列书中没有记载勾股定理的是（ ） A．《九章算术》 B．《海岛算经》 C．《几何原本》 D．《周髀算经》 【综合拓展类作业】 5．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个直角边分别为，，斜边为的全等直角三角形拼成的大正方形，用它可以证明勾股定理．思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”，也被称为“算两次”． 【方法理解】如图2，在边长为1的小方格中，、、、均为格点(网格线的交点)，则正方形的面积___________． 【方法运用】如图3，对任意符合条件的，绕其锐角顶点逆时针旋转得到，，连接，延长，，交于点，易知四边形是一个正方形，它的面积和四边形的面积相等，四边形的面积等于和的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法． 【方法迁移】 如图4，在中，是边上的高，，，，求线段的长度是多少？
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第二十章 勾股定理
图说数学史：数学瑰宝——勾股定理
1．了解勾股定理的历史发展，感受其在中外数学史上的地位．
2．体会数学文化的魅力，增强对数学的兴趣．
勾股定理作为数学历史长河中古老的定理之一，堪称人类数学文明中的一枚璀璨瑰宝．那么，这枚瑰宝从何而来？在众多古代数学文明中都可觅得其踪迹．
商高 (约公元前11世纪)
《周髀算经》中记载了勾股定理，商高指出了“勾三股四弦五”这一勾股定理的特殊形式，陈子测日的方法“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股．勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日”是对勾股定理一般形式的明确表述．
约公元前1700年的古巴比伦泥版上，记载了多组由楔形文字表示的勾股数．
在古印度的《测绳的法规》中，记载着勾股定理与几组勾股数，这些知识用于建造施工时确定直角，勾股定理在其中的表述为：以矩形对角线为边的正方形面积，等于分别以矩形两邻边为边的正方形面积之和．
《原本》第一卷的命题47即勾股定理：在直角三角形中，直角所对边上的正方形面积等于两直角边上的正方形面积之和．命题48是勾股定理的逆定理，欧几里得对这两个定理都进行了严格的证明．
《原本》阿拉伯文译本
在各大古代数学文明中熠熠生辉的勾股定理，因其巧妙地将“数”与“形”关联在一起，从而为数学的发展提供了动力．
在我国古代数学发展的历程中，勾股定理具有很强的应用性．如用于计算圆周率的割圆术，其理论基础就包括勾股定理．
为1的正方形的对角线不能表示为两个整数的比，证明过程中就用到了勾股定理，这为人类更好地认识数学，促进数学的发展提供了机遇．
勾股定理是中国古代数学发展的一个出发点．
吴文俊
（1919—2017）
在平面解析几何中，通过勾股定理得到任意两点A，B之间的距离，勾股定理成为解析几何发展中必不可少的基础性工具．而在定义一些更高维度空间中两点间的距离时，也常使用勾股定理或其变形作为一种重要的刻画距离的方式．
勾股定理的发现离不开人的思考，更离不开人们对数学真理的追求．勾股定理这一数学瑰宝，既是存在于客观世界中的数学真理，也是在人类智慧“浇灌”下，数学领域中绽放出的一朵思维之花．
1．我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”．它被记载于下列哪部著名数学著作中（ ）
A．《孙子算经》B．《海岛算经》C．《周髀算经》D．《九章算术》
【知识技能类练习】必做题：
C
【知识技能类练习】必做题：
2．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图①所示是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．如图②所示是由图①放入长方形内得到的，，，，点D，E，F，G，H，I都在长方形的边上，则长方形的面积为________．
110
【知识技能类练习】必做题：
3．勾股定理是一个基本的几何定理，在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如：3，4，5；5，12，13；8，15，17；等等都是勾股数．
(1)如果是一组勾股数，即满足，则（为正整数）也是一组勾股数．如：5，12，13是一组勾股数，则______________也是一组勾股数；
(2)世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中，书中提到：当（为正整数，时，构成一组勾股数；请证明满足以上公式的是一组勾股数．
【知识技能类练习】必做题：
解：（1）∵，
∴10，24，26是一组勾股数
故答案为：10，24，26（答案不唯一）；
（2）依题意，
，
∴满足以上公式的是一组勾股数．
【知识技能类练习】选做题：
4．《算法统宗》记载古人丈量田地的诗：“昨日丈量地回，记得长步整三十，广斜相并五十步，不知几亩及分厘．”大意：昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽和对角线之和为50步，不知该田有几亩（1亩240平方步）．请帮他算一算，该田有（ ）
A．1.5亩 B．2亩 C．2.5亩 D．3亩
B
【综合拓展类练习】
5．数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．
(1)如图，大正方形是由两个小正方形和两个
形状大小完全相同的长方形拼成，请用两种不
同的方法表示图中大正方形的面积．
方法：______；
方法：______；
根据以上信息，可以得到的等式是______；
(2)如图，大正方形是由四个边长分别为的直角三角形（为斜边）和一个小正方形拼成，请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到之间的数量关系；
(3)在（）的条件下，若，求斜边的值．
【综合拓展类练习】
解：（1）方法：，
方法：，
可以得到的等式是：，
故答案为：，，；
（2）方法：，
方法：，
∴，
∴；
（3）把代入得，
，
∴．
数学瑰宝 —— 勾股定理
对后世的深远影响
中外文明的发现历程
【知识技能类作业】必做题：
1．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，，，，点都在长方形KLMJ的边上，则长方形的面积为（ ）
A．121
B．110
C．100
D．90
B
【知识技能类作业】必做题：
2．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是将图1放入矩形内得到的，，点D，E，F，G，H，I都在矩形的边上，
则空白部分的面积为____________
60
【知识技能类作业】必做题：
3．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”
解：如图所示，
设绳索有x尺长，依题意
解得：，
答：绳索长尺，
4．勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，它不仅在初等数学中有重要的作用，在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用．正因为这样，勾股定理在许多书中都有记载、下列书中没有记载勾股定理的是（ ）
A．《九章算术》B．《海岛算经》C．《几何原本》D．《周髀算经》
【知识技能类作业】选做题：
B
【综合拓展类作业】
5．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个直角边分别为，，斜边为的全等直角三角形拼成的大正方形，用它可以证明勾股定理．思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，
化简便得结论．这里用
两种求法来表示同一个量从而得到等
式或方程的方法，我们称之为“双求法”，
也被称为“算两次”．
【综合拓展类作业】
【方法理解】如图2，在边长为1的小方格中，、、、均为格点(网格线的交点)，则正方形的面_______．
【方法运用】如图3，对任意符合条件的，绕其锐角顶点逆时针旋转得到，，连接，延长，，交于点，易知四边形是一个正方形，它的面积和四边形的面积相等，四边形的面积等于和的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法．
【综合拓展类作业】
【方法迁移】
如图4，在中，是边上的高，，，，求线段的长度是多少？
【综合拓展类作业】
解：根据题意得：
故答案为：；
【方法运用】解：根据题意得：，
，
由题意得，正方形的面积和四边形的面积相等，
则，
即；
【综合拓展类作业】
【方法迁移】解：根据题意得，在中，，，，
设， 则，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：
，
则，解得，
因此，
即，
答：线段的长度是．
