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同步探究学案
课题 第20章 勾股定理 章末复习 单元 第二十章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．系统梳理本章知识，构建知识网络． 2．查漏补缺，提升综合运用勾股定理及逆定理解决问题的能力．
重点 系统梳理勾股定理及逆定理的核心知识，掌握定理的证明方法与应用技巧，能综合运用知识解决各类相关问题．
难点 灵活运用勾股定理及逆定理解决几何综合题、实际应用题，熟练运用数形结合、分类讨论等数学思想，规范解题步骤．
探究过程
导入新课 【引入思考】 本章知识结构图
新知探究 本节课来研究： 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧。 1．直角三角形三边的长有什么特殊的关系？ 2．赵爽证明勾股定理运用了什么思想方法？ 3．已知一个三角形的三边长，怎样判断它是不是直角三角形？ 4．勾股定理的逆定理是如何证明的？ 考点梳理： 考点一：有关勾股定理的计算 例1：在 中，． (1)若，，求的长． (2)若，，求的长． 例2：如图，在中，是的中点，于点D，试说明：． 归纳：（1）已知两边，求第三边：可直接应用勾股定理求解． （2）已知一边和一个特殊角，求另两边：利用特殊直角三角形的性质先求出一条边，再用勾股定理求出另一条边． （3）已知一边和另两边的关系，求另两边：设未知数，根据勾股定理列方程求解． （4）计算线段长度多用勾股定理，因此解题的关键是把所求线段放入直角三角形中．我们通常用下面两种方法构造垂直关系：一是直接作高；二是通过相等的线段把所求线段转化到一个直角三角形中． 考点二：勾股定理的验证与图形面积 例3：勾股定理在我国有着悠久的历史．汉末三国初数学家、天文学家赵爽给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦．”其设计图是由四个完全相同的直角三角形(两条直角边长分别为，，且，斜边为)拼成一个边长为的正方形(如图)，直观地论证了勾股定理，该图被后人称为“赵爽弦图”． (1)请你借助“赵爽弦图”验证勾股定理． (2)若，，求中间小正方形(阴影部分)的面积． 归纳：（1）用面积法验证勾股定理的正确性，通常的方法是割补几何图形，把一个图形分成几个图形的面积和，通过恒等变形得到勾股定理． （2）利用勾股定理也可以解决与面积有关的问题．解题的关键是先把图形的面积转化为直角三角形边长的平方，再利用勾股定理所得的三边之间的数量关系得出几何图形面积之间的关系． 考点三：勾股定理的逆定理 例4：如图，在中，是上一点，连接，，，，． (1)求证：； (2)求的长． 归纳：由三边判定直角三角形的三步法 （1）确定——确定三角形的最大边长； （2）计算——算出最大边长的平方及其他两边长的平方和； （3）判断——根据计算后的数量关系判断三角形的形状． 考点四：利用勾股定理解决最短路径问题 例5：如图是一个棱长为6cm的正方体的有盖纸盒，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，其中BC＝2cm，那么蚂蚁爬行的最短行程是多少？ 归纳：解立体图形中最短路径问题的四步骤 （1）展开，即将立体图形展开为平面图形；（注意：①只需展开包含相关点的面；②可能存在多种展开法．） （2）定点，即确定相关点的位置； （3）连线，即连接相关点，构造直角三角形； （4）计算，即根据勾股定理求解． 考点五：勾股定理及其逆定理的实际应用 例6：政府计划将如图所示的四边形闲置地修建成市民休闲区．已知，，，，．政府计划投入240万元进行打造，预计每平方米的费用为100元．通过计算说明政府投入的费用是否够用． 归纳：利用勾股定理及其逆定理解决实际问题时，首先将实际问题转化为数学问题，需要画图时，要从实际问题中抽象出正确的几何图形，然后将已知条件和结论集中在同一个直角三角形中解决问题．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，在中，，，，垂足为，，则的长为（ ） A． B． C．6 D． 2．如图，在赵爽弦图中连接四条线段得到如图2的新的图案．图1中的直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图2中的阴影部分的面积为，那么的值为_______． 3．如图，四边形，、、，连接，且． (1)求的长； (2)若，求的长． 选做题： 4．如图，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈彩带到顶部B处，则这条彩带的最小长度是（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类练习】 5．图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，在Rt中，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则的长为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若已知三个正方形的面积依次为，，，则另一个正方形的面积为____________． 3．如图，在每个小正方形的边长均为的方格纸中，点均在小正方形的顶点上． (1)将线段向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度后得到线段（点、的对应点），请画出四边形； (2)画出等腰直角，点在小正方形的顶点上，且的面积为； (3)连接，并直接写出线段的长_____． 选做题： 4．如图，在中，，于点D，平分，且于点E，与相交于点F，，H是边的中点，连接与相交于点G，下列结论正确的有 __ ． ①；②；③；④ 【综合拓展类作业】 5．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”放学后，小明来到广场上放风筝．如图，已知小明站立的最高点B，风筝正下方一点D和风筝连接点C构成三角形． (1)经测量，，，，小明判断是直角三角形，他的说法是否正确，请说明理由； (2)若小明沿水平方向移动2m到点F处，此时风筝垂直下降到点处，测得，求风筝垂直下降的高度．
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第二十章 勾股定理
第20章 勾股定理 章末复习
1．系统梳理本章知识，构建知识网络．
2．查漏补缺，提升综合运用勾股定理及逆定理解决问题的能力．
直角三角形边长的数量关系
直角三角形的判定
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2＋b2＝c2
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形
互逆定理
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
1．直角三角形三边的长有什么特殊的关系？
2．赵爽证明勾股定理运用了什么思想方法？
3．已知一个三角形的三边长，怎样判断它是不是直角三角形？
4．勾股定理的逆定理是如何证明的？
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
1．直角三角形三边的长有什么特殊的关系？
直角三角形的两条直角边长的平方和等于斜边长的平方．
即：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
2．赵爽证明勾股定理运用了什么思想方法？
主要运用了数形结合思想和割补法，通过将四个全等的直角三角形拼成大正方形，利用大正方形与小正方形的面积关系，推导得出勾股定理．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
3．已知一个三角形的三边长，怎样判断它是不是直角三角形？
利用勾股定理的逆定理．
如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
a2＋b2＝c2
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
4．勾股定理的逆定理是如何证明的？
采用构造法．先构造一个直角三角形，使它的两条直角边长分别等于已知三角形的两条较短边长，根据勾股定理得出其斜边长；再通过全等三角形的判定（SSS），证明构造的直角三角形与已知三角形全等，从而得出已知三角形是直角三角形．
考点一：有关勾股定理的计算
考点一：有关勾股定理的计算
考点一：有关勾股定理的计算
（1）已知两边，求第三边：可直接应用勾股定理求解．
（2）已知一边和一个特殊角，求另两边：利用特殊直角三角形的性质先求出一条边，再用勾股定理求出另一条边．
（3）已知一边和另两边的关系，求另两边：设未知数，根据勾股定理列方程求解．
（4）计算线段长度多用勾股定理，因此解题的关键是把所求线段放入直角三角形中．我们通常用下面两种方法构造垂直关系：一是直接作高；二是通过相等的线段把所求线段转化到一个直角三角形中．
考点二：勾股定理的验证与图形面积
考点二：勾股定理的验证与图形面积
考点二：勾股定理的验证与图形面积
（1）用面积法验证勾股定理的正确性，通常的方法是割补几何图形，把一个图形分成几个图形的面积和，通过恒等变形得到勾股定理．
（2）利用勾股定理也可以解决与面积有关的问题．解题的关键是先把图形的面积转化为直角三角形边长的平方，再利用勾股定理所得的三边之间的数量关系得出几何图形面积之间的关系．
考点三：勾股定理的逆定理
考点三：勾股定理的逆定理
由三边判定直角三角形的三步法
（1）确定——确定三角形的最大边长；
（2）计算——算出最大边长的平方及其他两边长的平方和；
（3）判断——根据计算后的数量关系判断三角形的形状．
考点四：利用勾股定理解决最短路径问题
考点四：利用勾股定理解决最短路径问题
解立体图形中最短路径问题的四步骤
（1）展开，即将立体图形展开为平面图形；（注意：①只需展开包含相关点的面；②可能存在多种展开法．）
（2）定点，即确定相关点的位置；
（3）连线，即连接相关点，构造直角三角形；
（4）计算，即根据勾股定理求解．
解：够用，理由如下：连接．
，，，
．
∵，
是直角三角形，且．
∴四边形的面积为： ．
所以所需费用为：（万元）．
，∴投入的费用够用．
考点五：勾股定理及其逆定理的实际应用
考点五：勾股定理及其逆定理的实际应用
利用勾股定理及其逆定理解决实际问题时，首先将实际问题转化为数学问题，需要画图时，要从实际问题中抽象出正确的几何图形，然后将已知条件和结论集中在同一个直角三角形中解决问题．
【知识技能类练习】必做题：
A
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】选做题：
B
【综合拓展类练习】
【综合拓展类练习】
【综合拓展类练习】
请同学们总结一下本节课所复习的主要内容
【知识技能类作业】必做题：
C
【知识技能类作业】必做题：
38
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】选做题：
①②③
【综合拓展类作业】
【综合拓展类作业】中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第九课时《第20章 勾股定理 章末复习》教学设计
课型 新授课口 复习课 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课是勾股定理单元的总结升华课，在整个单元教学中起到梳理知识、整合能力、查漏补缺的核心作用．它承接前序所有课时的内容，将勾股定理的定义、逆定理、证明方法、实际应用及数学文化等知识点系统串联，形成完整的知识网络，帮助学生实现从零散知识到系统认知的转变．本节课既是对单元核心知识的巩固深化，也是对学生逻辑推理、数学建模、动手实践等核心素养的综合提升，为学生后续学习解直角三角形、几何综合证明、立体图形中的边长计算等内容奠定坚实基础．同时，通过章末复习，培养学生归纳总结、数形结合、分类讨论的数学思想，提升学生综合运用知识解决实际问题的能力，完善学生的几何知识体系，凸显数学知识的关联性与实用性．
学习者分析 学生已系统学习勾股定理的相关知识，掌握了定理的内容、证明方法及简单应用，具备一定的几何推理和计算能力，为本课时复习奠定了知识基础．但学生对知识的整合能力较弱，易混淆勾股定理与逆定理的适用场景，对复杂综合题、实际应用题的解题思路不够清晰，且在知识归纳、方法总结上缺乏系统性．部分学生对数学思想的运用不够灵活，计算粗心、步骤不规范等问题仍存在．不过学生具备一定的自主复习和小组合作能力，可通过梳理归纳、变式训练，逐步完善知识体系，提升综合解题能力．
教学目标 1．系统梳理本章知识，构建知识网络． 2．查漏补缺，提升综合运用勾股定理及逆定理解决问题的能力．
教学重点 系统梳理勾股定理及逆定理的核心知识，掌握定理的证明方法与应用技巧，能综合运用知识解决各类相关问题．
教学难点 灵活运用勾股定理及逆定理解决几何综合题、实际应用题，熟练运用数形结合、分类讨论等数学思想，规范解题步骤．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．系统梳理本章知识，构建知识网络． 2．查漏补缺，提升综合运用勾股定理及逆定理解决问题的能力．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：知识框图教师活动2： 出示知识框图 学生活动2： 学生认真听老师的讲本章知识架构活动意图说明： 通过出示本章知识框图，让学生对本章所学内容有明确的了解，为进一步进行知识回顾做好准备环节三：回顾思考教师活动3： 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧． 1．直角三角形三边的长有什么特殊的关系？ 预设：直角三角形的两条直角边长的平方和等于斜边长的平方． 即：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2． 2．赵爽证明勾股定理运用了什么思想方法？ 预设：主要运用了数形结合思想和割补法，通过将四个全等的直角三角形拼成大正方形，利用大正方形与小正方形的面积关系，推导得出勾股定理． 3．已知一个三角形的三边长，怎样判断它是不是直角三角形？ 预设：利用勾股定理的逆定理． 如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 4．勾股定理的逆定理是如何证明的？ 预设：采用构造法。先构造一个直角三角形，使它的两条直角边长分别等于已知三角形的两条较短边长，根据勾股定理得出其斜边长；再通过全等三角形的判定（SSS），证明构造的直角三角形与已知三角形全等，从而得出已知三角形是直角三角形。学生活动3： 学生先独立思考，然后在小组合作探究中完成老师提出的问题活动意图说明： 以问题串的形式创设情境，引起学生的认知冲突，使学生对旧知识设疑并回顾，从而激发学生的学习兴趣和求知欲望环节四：考点梳理教师活动4： 考点一：有关勾股定理的计算 例1：在 中，． (1)若，，求的长． (2)若，，求的长． 解：（1）∵，，， ∴； （2）∵，，， ∴ ∴在中，． 例2：如图，在中，是的中点，于点D，试说明：． 解：连接． 因为， 所以， 所以，， 因为， 所以． 因为M为中点， 所以， 所以． 归纳：（1）已知两边，求第三边：可直接应用勾股定理求解． （2）已知一边和一个特殊角，求另两边：利用特殊直角三角形的性质先求出一条边，再用勾股定理求出另一条边． （3）已知一边和另两边的关系，求另两边：设未知数，根据勾股定理列方程求解． （4）计算线段长度多用勾股定理，因此解题的关键是把所求线段放入直角三角形中．我们通常用下面两种方法构造垂直关系：一是直接作高；二是通过相等的线段把所求线段转化到一个直角三角形中． 考点二：勾股定理的验证与图形面积 例3：勾股定理在我国有着悠久的历史．汉末三国初数学家、天文学家赵爽给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦．”其设计图是由四个完全相同的直角三角形(两条直角边长分别为，，且，斜边为)拼成一个边长为的正方形(如图)，直观地论证了勾股定理，该图被后人称为“赵爽弦图”． (1)请你借助“赵爽弦图”验证勾股定理． (2)若，，求中间小正方形(阴影部分)的面积． 证明：（1）∵最外面的大正方形的边长为c， ∴最外面的大正方形的面积为； ∵中间小正方形的边长为， ∴中间小正方形的面积为； 又∵最外面的大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积加上中间小正方形的面积， ∴， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴或（舍去）， ∴中间小正方形的面积为． 归纳：（1）用面积法验证勾股定理的正确性，通常的方法是割补几何图形，把一个图形分成几个图形的面积和，通过恒等变形得到勾股定理． （2）利用勾股定理也可以解决与面积有关的问题．解题的关键是先把图形的面积转化为直角三角形边长的平方，再利用勾股定理所得的三边之间的数量关系得出几何图形面积之间的关系． 考点三：勾股定理的逆定理 例4：如图，在中，是上一点，连接，，，，． (1)求证：； (2)求的长． 证明：（1）， ， ∴为直角三角形， ， ； （2）， ． 归纳：由三边判定直角三角形的三步法 （1）确定——确定三角形的最大边长； （2）计算——算出最大边长的平方及其他两边长的平方和； （3）判断——根据计算后的数量关系判断三角形的形状． 考点四：利用勾股定理解决最短路径问题 例5：如图是一个棱长为6cm的正方体的有盖纸盒，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，其中BC＝2cm，那么蚂蚁爬行的最短行程是多少？ 解：如图所示． ∵BC＝2cm，棱长为6cm， ∴AD＝6+2＝8（cm），BD＝6cm 由勾股定理得， AB＝＝10（cm）， 答：蚂蚁爬行的最短行程是10cm． 归纳：解立体图形中最短路径问题的四步骤 （1）展开，即将立体图形展开为平面图形；（注意：①只需展开包含相关点的面；②可能存在多种展开法．） （2）定点，即确定相关点的位置； （3）连线，即连接相关点，构造直角三角形； （4）计算，即根据勾股定理求解． 考点五：勾股定理及其逆定理的实际应用 例6：政府计划将如图所示的四边形闲置地修建成市民休闲区．已知，，，，．政府计划投入240万元进行打造，预计每平方米的费用为100元．通过计算说明政府投入的费用是否够用． 解：够用，理由如下： 连接． ，，， ． ∵， 是直角三角形，且． ∴四边形的面积为： ． 所以所需费用为：（万元）． ， ∴投入的费用够用． 归纳：利用勾股定理及其逆定理解决实际问题时，首先将实际问题转化为数学问题，需要画图时，要从实际问题中抽象出正确的几何图形，然后将已知条件和结论集中在同一个直角三角形中解决问题．学生活动4： 学生先独立完成例题，然后小组合作交流，并派代表班内汇报交流活动意图说明： 通过例题，考查查学生对本章所学知识的掌握情况，提高学生综合运用知识解决相关问题能力．环节五：课堂小结教师活动5： 问题：请同学们总结一下本节课所复习的主要内容？ 教师通过学生的回答，进行归纳学生活动5： 学生积极对本节课所复习的内容进行总结活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所复习的知识，将所学的知识进一步整合，完善本章知识体系．
板书设计 课题：第20章勾股定理章末复习一、知识框图 二、考点梳理 1.有关勾股定理的计算 2. 勾股定理的验证与图形面积 3.勾股定理的逆定理 4. 利用勾股定理解决最短路径问题 5. 勾股定理及其逆定理的实际应用教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，在中，，，，垂足为，，则的长为（ ） A． B． C．6 D． 答案：A 2．如图，在赵爽弦图中连接四条线段得到如图2的新的图案．图1中的直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图2中的阴影部分的面积为，那么的值为_______． 答案： 3．如图，四边形，、、，连接，且． (1)求的长； (2)若，求的长． 解：（1）∵，，， ∴， ∵， ∴； （2）如图，过点作交延长线于． ∴， 由(1)知，又知， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 选做题： 4．如图，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈彩带到顶部B处，则这条彩带的最小长度是（ ） A． B． C． D． 答案：B 【综合拓展类练习】 5．图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离． 解：（1）为直角三角形，理由如下： 在中， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形． （2）如图所示，过点作，交于点， ∵， ∴， ∵， 即， ∴， ∴点到地面的距离为：．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，在Rt中，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则的长为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 答案：C 2．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若已知三个正方形的面积依次为，，，则另一个正方形的面积为____________． 答案： 3．如图，在每个小正方形的边长均为的方格纸中，点均在小正方形的顶点上． (1)将线段向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度后得到线段（点、的对应点），请画出四边形； (2)画出等腰直角，点在小正方形的顶点上，且的面积为； (3)连接，并直接写出线段的长_____． 解：（1）如图所示： ； （2）如图所示： ； （3）如图所示： ． 选做题： 4．如图，在中，，于点D，平分，且于点E，与相交于点F，，H是边的中点，连接与相交于点G，下列结论正确的有 __ ． ①；②；③；④ 答案：①②③ 【综合拓展类作业】 5．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”放学后，小明来到广场上放风筝．如图，已知小明站立的最高点B，风筝正下方一点D和风筝连接点C构成三角形． (1)经测量，，，，小明判断是直角三角形，他的说法是否正确，请说明理由； (2)若小明沿水平方向移动2m到点F处，此时风筝垂直下降到点处，测得，求风筝垂直下降的高度． 解：（1）他的说法正确．理由如下： ∵，，， ∴， ， ∴， ∴是直角三角形，． （2）由题意得，， ∵， ∴． ∵， ∴在中，． ∴， 即风筝垂直下降的高度为．
教学反思 本节课通过知识梳理、考点讲解，帮助学生整合了单元核心知识，大部分学生能掌握定理的应用方法．但部分学生对综合题的解题思路仍不清晰，知识衔接不够流畅，步骤书写不够规范．课堂上对学困生的关注不足，变式训练的层次性有待优化．后续需优化复习节奏，增加针对性错题讲解，加强学困生辅导，注重数学思想的渗透，引导学生规范解题，提升综合运用知识的能力．
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