人教版（2024版）八下数学 第20章 勾股定理 章末复习 同步练习（含解析）

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第20章 勾股定理 章末复习 同步练习
班级：________ 姓名：________
一、单选题
1．下面四幅图中，不能用面积法验证勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
2．的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．，，
3．一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所示的隧道（隧道下方为长方形，上方为半圆形拱门），则卡车的外形不得高于（ ）
A．3.1米 B．3米 C．2.9米 D．2.8米
4．如图，三角形纸片中，点是边上一点，连接，把沿着直线翻折，得到，交于点，连接交于点，若，，，的面积为，则的长是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，，过点P作且，再过点，作且，又过点作且，…依此法继续作下去，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，在中，，是的中垂线，交于点．如果，，那么的周长为______．
7．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时从港口P出发，“远航”号以每小时24海里的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时7海里的速度沿北偏西方向航行，一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为_________海里．
8．如图，在中，，点、分别在边、上，连接，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，且，若，则线段的长为_______．
9．如图，矩形中，，，如果将该矩形沿对角线折叠，使点C落在点F处，那么图中阴影部分的面积是_________ ．
10．如图所示，一只蚂蚁需要从一个长、宽、高分别是，，的长方体的顶点A爬到顶点B，则它从点A开始经过4个侧面到达点B所走的最短路程为____________．
三、解答题
11．2025年是“全运年”，第十五届全运会将于2025年11月9日~21日在粤港澳大湾区举行，健身运动的热潮也席卷全国，更多的人开始运动健身．小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从A点到D点有两条路线，分别是和．已知，，点C在点B的正东方120m处，点D在点C的正北方50m处．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)如果小亮沿着的路线跑，爸爸沿着的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短．
12．在《2025年中央广播电视总台春节联欢晚会》中，“巳巳如意”被用作主题，与“生生不息”相结合，表达了对未来的美好期望和祝福．我们定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫作“巳巳如意三角形”．
(1)根据“巳巳如意三角形”的定义，可知等腰直角三角形____________（填“是”或“不是”）“巳巳如意三角形”．
(2)若某三角形的三边长分别为6，，8，则该三角形是不是“巳巳如意三角形”？请作出判断并写出判断依据．
(3)在中，三边长分别为，，，且，．若这个三角形是“巳巳如意三角形”，请你求出的值．
答案与解析
第20章 勾股定理 章末复习 同步练习
班级：________ 姓名：________
一、单选题
1．下面四幅图中，不能用面积法验证勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】本题主要考查了勾股定理的证明，以直角三角形三边为边长作正方形，若两个较小的正方形面积和等于最大的正方形面积，那么可证明直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，即可证明勾股定理，据此可得答案．
解：A、，能用面积验证勾股定理，不符合题意；
B、，能用面积验证勾股定理，不符合题意；
C、，能用面积验证勾股定理，不符合题意；
D、，不能用面积验证勾股定理，符合题意；
故选：D．
2．的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．，，
【答案】C
【解析】本题主要考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形．根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可．
解：A、∵，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵，，
∴，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、设，，，
∵，
∴，解得，
∴，，，
∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
D、∵，，，
∴，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
3．一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所示的隧道（隧道下方为长方形，上方为半圆形拱门），则卡车的外形不得高于（ ）
A．3.1米 B．3米 C．2.9米 D．2.8米
【答案】C
【解析】本题考查圆的半径与勾股定理的实际应用，涉及知识点：半圆的半径性质、勾股定理求线段长度．先确定半圆半径，结合卡车宽度得水平距离，用勾股定理求半圆内的垂直高度，再与长方形高度相加得卡车最大允许高度．
解：由图形可得，（米），（米），
，
，
，
解得：，
，
（米），
∴卡车的外形不得高于米．
故选C．
4．如图，三角形纸片中，点是边上一点，连接，把沿着直线翻折，得到，交于点，连接交于点，若，，，的面积为，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先由沿着直线翻折，得到，证明垂直平分，再由，根据勾股定理求得，再由，得，则，即可列面积等式求得，则，再根据勾股定理求得．
解：∵沿着直线翻折，得到，
∴垂直平分，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长是，
故选A．
5．如图，，过点P作且，再过点，作且，又过点作且，…依此法继续作下去，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】本题考查了勾股定理，找到图形变化的规律是解题的关键．由勾股定理求出，，的长，依此类推可知，即可求解．
解：在直角三角形中，由勾股定理得：，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
…，
依此类推，为正整数，
当时，，
故选：
二、填空题
6．如图，在中，，是的中垂线，交于点．如果，，那么的周长为______．
【答案】
【解析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，
先根据勾股定理求得，再根据中垂线的性质得，然后根据的周长为得出答案．
解：∵，
根据勾股定理，得．
∵是的中垂线，
∴，
∴的周长为．
故答案为：．
7．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时从港口P出发，“远航”号以每小时24海里的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时7海里的速度沿北偏西方向航行，一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为_________海里．
【答案】25
【解析】本题考查勾股定理的应用，先判断为直角三角形，再利用勾股定理求斜边的长度．
解：由题意知，，
为直角三角形，
（海里），（海里），
（海里），
即“远航”号与“海天”号的距离为25海里，
故答案为：25．
8．如图，在中，，点、分别在边、上，连接，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，且，若，则线段的长为_______．
【答案】
【解析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，先由勾股定理求出的长，进而求出的长，由折叠的性质可得，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
解：∵在中，，，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
9．如图，矩形中，，，如果将该矩形沿对角线折叠，使点C落在点F处，那么图中阴影部分的面积是_________ ．
【答案】/
【解析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等角对等边，熟练掌握矩形的性质，是解题的关键．根据矩形的性质得出，，，根据折叠得出，，根据等角对等边得出，设，则，，根据勾股定理得出，再解方程即可．
解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
由折叠的性质，可得，，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∵，即，
解得，
∴．
故答案为：．
10．如图所示，一只蚂蚁需要从一个长、宽、高分别是，，的长方体的顶点A爬到顶点B，则它从点A开始经过4个侧面到达点B所走的最短路程为____________．
【答案】10
【解析】先展开，的一条直角边为，另一边为，根据勾股定理计算即可．
本题考查了几何体的展开图，两点之间线段最短，勾股定理，正确展开，活用勾股定理是解题的关键．
解：根据题意，展开图如下，
则的一条直角边为，另一边为，
根据勾股定理，得，
故答案为：10．
三、解答题
11．2025年是“全运年”，第十五届全运会将于2025年11月9日~21日在粤港澳大湾区举行，健身运动的热潮也席卷全国，更多的人开始运动健身．小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从A点到D点有两条路线，分别是和．已知，，点C在点B的正东方120m处，点D在点C的正北方50m处．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)如果小亮沿着的路线跑，爸爸沿着的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短．
【答案】(1)，理由见详解
(2)小亮跑的路线更短
【解析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）根据题意，可得，进而利用勾股定理的逆定理即可推理出是直角三角形，即可求解；
（2）在中，由勾股定理求得的长度，求和的长度，比较即可求解．
解：（1），
理由：由题意可知，，点C在点B的正东方处，
即，
∵，
∴是直角三角形，，
∴．
（2）由题意知，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
而，
∵，
∴，
∴小亮跑的路线更短．
12．在《2025年中央广播电视总台春节联欢晚会》中，“巳巳如意”被用作主题，与“生生不息”相结合，表达了对未来的美好期望和祝福．我们定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫作“巳巳如意三角形”．
(1)根据“巳巳如意三角形”的定义，可知等腰直角三角形____________（填“是”或“不是”）“巳巳如意三角形”．
(2)若某三角形的三边长分别为6，，8，则该三角形是不是“巳巳如意三角形”？请作出判断并写出判断依据．
(3)在中，三边长分别为，，，且，．若这个三角形是“巳巳如意三角形”，请你求出的值．
【答案】(1)是
(2)该三角形是“巳巳如意三角形”．理由见解析
(3)的值为
【解析】（1）根据“巳巳如意三角形”的定义判断即可；
（2）根据“巳巳如意三角形”的定义判断即可；
（3）先由勾股定理求出的值，再根据“巳巳如意三角形”的定义判断出正确的的值，即可得出答案．
解：（1）是．
∵三角形为等腰直角三角形，
∴设直角边为，则斜边为
∵，
∴该结果等于另一条直角边平方的倍，满足“巳巳如意三角形”的定义，
∴等腰直角三角形是“巳巳如意三角形”．
（2）该三角形是“巳巳如意三角形”．理由如下：
，，
，
∴该三角形是“巳巳如意三角形”．
（3）∵在中，三边长分别为，，，且，，
或 ．
当时，，即，
此时这个三角形是“巳巳如意三角形”，
（负值已舍去）；
当时，，，，
此时这个三角形不是“巳巳如意三角形”．
综上所述，的值为．
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