甘肃省兰州交大附中等四校2025-2026学年九年级下学期开学数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 甘肃省兰州交大附中等四校2025-2026学年九年级下学期开学数学试卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 284.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-16 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026学年甘肃省兰州交大附中等四校九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共11小题，每小题3分，共33分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是（ ）
A. a3+a3=a6 B. a6÷a3=a2 C. （2a）3=6a3 D. a2 a3=a5
3.把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4.2025年11月14日，中国团队在国际顶级期刊《科学》发表论文，通过电化学沉积结合非晶晶化的创新方法，让镍钼原子以面心立方和密排六方两种结构交替堆叠，形成仅0.7纳米的超精细界面，一款具备“负能界面”的新型Ni（Mo）合金正式亮相.0.7纳米=0.0000000007米，这个数据用科学记数法表示为（ ）
A. 0.7×10-9 B. 0.7×10-10 C. 7×10-9 D. 7×10-10
5.如图，AB∥CD，EB平分∠FED，若∠1=36°，则∠2的度数为（ ）
A. 108°
B. 106°
C. 100°
D. 96°
6.如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连接AC，DE，AC与DE相交于点F，若，则=（ ）
A.
B.
C.
D.
7.将抛物线y=x2+2x-1向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（ ）
A. （-4，-1） B. （-4，2） C. （2，1） D. （2，-2）
8.《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则最终剩余2辆车；若每2人共乘车，则最终剩余9个人无车可乘，问：共有多少人？多少辆车？设有x辆车，列方程为（ ）
A. 3x-2=2x+9 B. 3（x-2）=2x+9 C. D.
9.已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图，若y＜0，则x的取值范围是（ ）
A. -1＜x＜4
B. -1＜x＜3
C. x＜-1或x＞3
D. x＜-1或x＞4
10.如图，在△ABC中，按照如下尺规作图的步骤进行操作：
①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别与AB，BC交于M，N两点；
②分别以M，N为圆心，以适当长为半径画弧，两弧交于点D，作射线BD，BD与AC交于点E；
③分别以B，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q，作线段PQ，PQ与BC交于点F；
④连接EF，若AB=BC，BE=AC=4，则△CEF的周长为（ ）
A. B. C. D.
11.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b），（m≠1的实数）.其中正确结论个数有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
12.因式分解：3x2-3= .
13.分别写有数字0，-1，-2，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到非负数的概率是 .
14.黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“远”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且.若NP=2cm,则AC的长为 cm（结果保留根号）.
15.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE=6，OB=10，则CD的长度为 .
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
16.解方程：x2+2x-8=0．
四、解答题：本题共10小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：.
18.(本小题6分)
解方程：.
19.(本小题6分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AN为△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN于点E.
（1）尺规作图：作∠BAC的角平分线AD交BC于点D，（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：四边形ADCE是矩形.
请补完图形，并完成下列证明过程：
证明：∵AD平分∠BAC，
∴①______ .
∵AN平分∠CAM，
∴②______ .
∴∠DAE=∠CAD+∠CAN=（∠BAC+∠CAM）=×180°=90°.
在△ABC中，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC.
∴③______ .
又∵CE⊥AN，
∴④______ .
∴四边形ADCE是矩形.
20.(本小题6分)
国家“十四五”规划明确强化实施“健康中国”战略.为了引导学生积极参与体育运动增强身体素质，某中学举办了一分钟跳绳比赛，并随机抽取了一部分学生一分钟跳绳的次数（x次）进行调查统计，按照以下标准划分为四档：100≤x＜120，不合格；120≤x＜140，合格；140≤x＜160，良好；160≤x＜180，优秀.并根据统计结果绘制了如图所示不完整的频数分布直方图和扇形统计图.
请结合信息完成下列问题：
（1）本次调查的学生人数是多少人？并将频数分布直方图补充完整；
（2）在扇形统计图中，求“良好”等级对应的圆心角的度数；
（3）估算该校参加比赛的300名学生中成绩优秀的学生有多少人？
21.(本小题6分)
如图1所示的是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分组成，图2是它的简易平面图.小明想知道灯管D距地面AF的高度，他在地面F处测得灯管D的仰角为45°，在地面E处测得在灯管D仰角为53°，并测得EF=2m,已知点A、E、F在同一条直线上，请你帮小明算出灯管D距地面AF的高度.（结果精确到0.1m）（参考数据：cos53°≈0.60，sin53°≈0.80，tan53°≈1.33）
22.(本小题6分)
独竹漂是国家级非物质文化遗产，被誉为“河上的轻功”.如图1，表演者脚踩单根楠竹，在河面上滑行，互动表演时常常向观众抛红色绸球，是特色的民俗节目.某次表演中，表演者在距离水面1米处，抛出一个红色绸球，绸球的运动轨迹为抛物线（不计空气阻力），建立如图2的平面直角坐标系，绸球从抛球点A（0，1）离开后，在点B（4，3）处达到最高.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若观众区边缘点P与原点O的水平距离为10米，问绸球能否抛到观众区，并说明理由.
23.(本小题6分)
直线y=x+b与x轴交于点C（4，0），与y轴交于点B，并与双曲线y=（x＜0）交于点A（-1，n）.
（1）求直线与双曲线的解析式.
（2）连接OA，求∠OAB的正弦值.
24.(本小题6分)
如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A，B的两点，∠ABD=2∠BAC，连接CD.过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于点F.
（1）求证：CF为⊙O的切线；
（2）求证：OB BF=BE OF.
25.(本小题6分)
一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E，A，D在同一条直线上），发现BE=DG且BE⊥DG.
小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图①），还能得到BE=DG吗？若能，请给出证明，请说明理由；
（2）把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图②），试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，BE=DG；
（3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且，请直接写出BE与DG满足的数量关系.
26.(本小题15分)
在平面直角坐标系xOy中，M为平面内一点.对于点P和图形W给出如下定义：若图形W上存在点Q，使得点P与点Q关于点M对称，则称点P为图形M关于点M的“中心镜像对称点”.
（1）如图1，A（-1，1），B（2，1）.
①在点P1（-2，-1），P2（0，-2），P3（，-1），P4（2，-1）中，线段AB关于点M（0，0）的“中心镜像对称点”是______；
②若点P（1，-3）是线段AB关于点M（m,n）的“中心镜像对称点”，请直接写出点M的横坐标m的取值范围；
（2）如图2，矩形CDEF中，C（2，-1），D（-2，-1），E（-2，1），F（2，1）.若直线y=x+m上存在矩形CDEF关于点M（m,2）的“中心镜像对称点”，请直接写出m的取值范围.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】C
12.【答案】3（x-1）（x+1）
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】2
16.【答案】解：x2+2x-8=0
（x-2）（x+4）=0
x-2=0，x+4=0
x1=2，x2=-4
17.【答案】解：
=--1+2×+4
=--1++4
=3．
18.【答案】x=-13．
19.【答案】作图如下：
;;∠ADC=90°;∠AEC=90°
20.【答案】80，补充频数分布直方图如图2所示：
108° 75人
21.【答案】解：过点D作DG⊥AF，垂足为G，
设EG=x米，
∵EF=2米，
∴FG=EF+EG=（x+2）米，
在Rt△EGD中，∠DEG=53°，
∴DG=EG tan53°≈1.33x（米），
在Rt△DFG中，∠DFG=45°，
∴tan45°==1，
∴DG=FG，
∴1.33x=x+2，
解得：x≈6.06，
∴DG=FG=x+2≈8.1（米），
∴灯管D距地面AF的高度约为8.1米．
22.【答案】 不能抛到观众区，
令y=0，则，
解得，，
∵，
∴，
∵观众区边缘点P与原点O的水平距离为10米，
∴若观众区边缘点P与原点O的水平距离为10米，不能抛到观众区
23.【答案】（1）将C点代入y=x+b中得到b=-4，
∴y=x-4；
再将A点代入y=x-4得到n=-5，
∴A（-1，-5），
∴m=-1×（-5）=5，
∴y=
∴直线与双曲线的解析式分别为y=x-4，y=；
（2）过点O作OM⊥AC于点M，
当x=0时，y=-4，即B（0，-4）．
∵OC=OB=4，
∴△OCB是等腰直角三角形，
∴∠OBC=∠OCB=45°
∴在△OMB中 sin45°=，
∴OM=4×=2．
∴在直角三角形AOM中，
AO==，
sin∠OAB==．
24.【答案】连接OC，如图所示：
∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
又∵∠BOC=∠1+∠2，
∴∠BOC=2∠1，
又∵∠ABD=2∠1，
∴∠ABD=∠BOC，
∴OC∥DB，
∵CE⊥DB，
∴OC⊥CF，
又∵OC为⊙O的半径，
∴CF为⊙O的切线 由（1）知OC⊥CF，
∴∠OCF=90°，
∵BE⊥CF，
∴∠BEF=90°，
∵∠F=∠F，
∴△BEF∽△OCF，
∴，
∴BE OF=BF OC，
∴OB BF=BE OF
25.【答案】BE=DG，理由见解析；
∠ EAG=∠BAD，理由见解析；
．
26.【答案】P1（-2，-1），
第1页，共1页
一、选择题：本题共11小题，每小题3分，共33分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是（ ）
A. a3+a3=a6 B. a6÷a3=a2 C. （2a）3=6a3 D. a2 a3=a5
3.把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4.2025年11月14日，中国团队在国际顶级期刊《科学》发表论文，通过电化学沉积结合非晶晶化的创新方法，让镍钼原子以面心立方和密排六方两种结构交替堆叠，形成仅0.7纳米的超精细界面，一款具备“负能界面”的新型Ni（Mo）合金正式亮相.0.7纳米=0.0000000007米，这个数据用科学记数法表示为（ ）
A. 0.7×10-9 B. 0.7×10-10 C. 7×10-9 D. 7×10-10
5.如图，AB∥CD，EB平分∠FED，若∠1=36°，则∠2的度数为（ ）
A. 108°
B. 106°
C. 100°
D. 96°
6.如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连接AC，DE，AC与DE相交于点F，若，则=（ ）
A.
B.
C.
D.
7.将抛物线y=x2+2x-1向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（ ）
A. （-4，-1） B. （-4，2） C. （2，1） D. （2，-2）
8.《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则最终剩余2辆车；若每2人共乘车，则最终剩余9个人无车可乘，问：共有多少人？多少辆车？设有x辆车，列方程为（ ）
A. 3x-2=2x+9 B. 3（x-2）=2x+9 C. D.
9.已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图，若y＜0，则x的取值范围是（ ）
A. -1＜x＜4
B. -1＜x＜3
C. x＜-1或x＞3
D. x＜-1或x＞4
10.如图，在△ABC中，按照如下尺规作图的步骤进行操作：
①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别与AB，BC交于M，N两点；
②分别以M，N为圆心，以适当长为半径画弧，两弧交于点D，作射线BD，BD与AC交于点E；
③分别以B，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q，作线段PQ，PQ与BC交于点F；
④连接EF，若AB=BC，BE=AC=4，则△CEF的周长为（ ）
A. B. C. D.
11.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b），（m≠1的实数）.其中正确结论个数有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
12.因式分解：3x2-3= .
13.分别写有数字0，-1，-2，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到非负数的概率是 .
14.黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“远”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且.若NP=2cm,则AC的长为 cm（结果保留根号）.
15.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE=6，OB=10，则CD的长度为 .
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
16.解方程：x2+2x-8=0．
四、解答题：本题共10小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：.
18.(本小题6分)
解方程：.
19.(本小题6分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AN为△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN于点E.
（1）尺规作图：作∠BAC的角平分线AD交BC于点D，（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：四边形ADCE是矩形.
请补完图形，并完成下列证明过程：
证明：∵AD平分∠BAC，
∴①______ .
∵AN平分∠CAM，
∴②______ .
∴∠DAE=∠CAD+∠CAN=（∠BAC+∠CAM）=×180°=90°.
在△ABC中，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC.
∴③______ .
又∵CE⊥AN，
∴④______ .
∴四边形ADCE是矩形.
20.(本小题6分)
国家“十四五”规划明确强化实施“健康中国”战略.为了引导学生积极参与体育运动增强身体素质，某中学举办了一分钟跳绳比赛，并随机抽取了一部分学生一分钟跳绳的次数（x次）进行调查统计，按照以下标准划分为四档：100≤x＜120，不合格；120≤x＜140，合格；140≤x＜160，良好；160≤x＜180，优秀.并根据统计结果绘制了如图所示不完整的频数分布直方图和扇形统计图.
请结合信息完成下列问题：
（1）本次调查的学生人数是多少人？并将频数分布直方图补充完整；
（2）在扇形统计图中，求“良好”等级对应的圆心角的度数；
（3）估算该校参加比赛的300名学生中成绩优秀的学生有多少人？
21.(本小题6分)
如图1所示的是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分组成，图2是它的简易平面图.小明想知道灯管D距地面AF的高度，他在地面F处测得灯管D的仰角为45°，在地面E处测得在灯管D仰角为53°，并测得EF=2m,已知点A、E、F在同一条直线上，请你帮小明算出灯管D距地面AF的高度.（结果精确到0.1m）（参考数据：cos53°≈0.60，sin53°≈0.80，tan53°≈1.33）
22.(本小题6分)
独竹漂是国家级非物质文化遗产，被誉为“河上的轻功”.如图1，表演者脚踩单根楠竹，在河面上滑行，互动表演时常常向观众抛红色绸球，是特色的民俗节目.某次表演中，表演者在距离水面1米处，抛出一个红色绸球，绸球的运动轨迹为抛物线（不计空气阻力），建立如图2的平面直角坐标系，绸球从抛球点A（0，1）离开后，在点B（4，3）处达到最高.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若观众区边缘点P与原点O的水平距离为10米，问绸球能否抛到观众区，并说明理由.
23.(本小题6分)
直线y=x+b与x轴交于点C（4，0），与y轴交于点B，并与双曲线y=（x＜0）交于点A（-1，n）.
（1）求直线与双曲线的解析式.
（2）连接OA，求∠OAB的正弦值.
24.(本小题6分)
如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A，B的两点，∠ABD=2∠BAC，连接CD.过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于点F.
（1）求证：CF为⊙O的切线；
（2）求证：OB BF=BE OF.
25.(本小题6分)
一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E，A，D在同一条直线上），发现BE=DG且BE⊥DG.
小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图①），还能得到BE=DG吗？若能，请给出证明，请说明理由；
（2）把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图②），试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，BE=DG；
（3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且，请直接写出BE与DG满足的数量关系.
26.(本小题15分)
在平面直角坐标系xOy中，M为平面内一点.对于点P和图形W给出如下定义：若图形W上存在点Q，使得点P与点Q关于点M对称，则称点P为图形M关于点M的“中心镜像对称点”.
（1）如图1，A（-1，1），B（2，1）.
①在点P1（-2，-1），P2（0，-2），P3（，-1），P4（2，-1）中，线段AB关于点M（0，0）的“中心镜像对称点”是______；
②若点P（1，-3）是线段AB关于点M（m,n）的“中心镜像对称点”，请直接写出点M的横坐标m的取值范围；
（2）如图2，矩形CDEF中，C（2，-1），D（-2，-1），E（-2，1），F（2，1）.若直线y=x+m上存在矩形CDEF关于点M（m,2）的“中心镜像对称点”，请直接写出m的取值范围.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】C
12.【答案】3（x-1）（x+1）
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】2
16.【答案】解：x2+2x-8=0
（x-2）（x+4）=0
x-2=0，x+4=0
x1=2，x2=-4
17.【答案】解：
=--1+2×+4
=--1++4
=3．
18.【答案】x=-13．
19.【答案】作图如下：
;;∠ADC=90°;∠AEC=90°
20.【答案】80，补充频数分布直方图如图2所示：
108° 75人
21.【答案】解：过点D作DG⊥AF，垂足为G，
设EG=x米，
∵EF=2米，
∴FG=EF+EG=（x+2）米，
在Rt△EGD中，∠DEG=53°，
∴DG=EG tan53°≈1.33x（米），
在Rt△DFG中，∠DFG=45°，
∴tan45°==1，
∴DG=FG，
∴1.33x=x+2，
解得：x≈6.06，
∴DG=FG=x+2≈8.1（米），
∴灯管D距地面AF的高度约为8.1米．
22.【答案】 不能抛到观众区，
令y=0，则，
解得，，
∵，
∴，
∵观众区边缘点P与原点O的水平距离为10米，
∴若观众区边缘点P与原点O的水平距离为10米，不能抛到观众区
23.【答案】（1）将C点代入y=x+b中得到b=-4，
∴y=x-4；
再将A点代入y=x-4得到n=-5，
∴A（-1，-5），
∴m=-1×（-5）=5，
∴y=
∴直线与双曲线的解析式分别为y=x-4，y=；
（2）过点O作OM⊥AC于点M，
当x=0时，y=-4，即B（0，-4）．
∵OC=OB=4，
∴△OCB是等腰直角三角形，
∴∠OBC=∠OCB=45°
∴在△OMB中 sin45°=，
∴OM=4×=2．
∴在直角三角形AOM中，
AO==，
sin∠OAB==．
24.【答案】连接OC，如图所示：
∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
又∵∠BOC=∠1+∠2，
∴∠BOC=2∠1，
又∵∠ABD=2∠1，
∴∠ABD=∠BOC，
∴OC∥DB，
∵CE⊥DB，
∴OC⊥CF，
又∵OC为⊙O的半径，
∴CF为⊙O的切线 由（1）知OC⊥CF，
∴∠OCF=90°，
∵BE⊥CF，
∴∠BEF=90°，
∵∠F=∠F，
∴△BEF∽△OCF，
∴，
∴BE OF=BF OC，
∴OB BF=BE OF
25.【答案】BE=DG，理由见解析；
∠ EAG=∠BAD，理由见解析；
．
26.【答案】P1（-2，-1），
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