北京市西城区三帆中学2025-2026学年八年级下学期开学数学试卷（含答案）

2025-2026学年北京市西城区三帆中学八年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.书法是我国传统文化的重要组成部分.下列是“马年吉祥”四个篆体字，其中可以看作轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是（　　）
A. a5-a3=a2 B. （a2）3=a5 C. （-2a）3=-6a3 D. a2 a3=a5
3.下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（　　）
A. 2，2， B. 8，15，17 C. 1，，2 D. 6，8，10
4.下列式子中是最简二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
5.下列分式从左到右变形正确的是（　　）
A. B.
C. D.
6.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边AC上且到边AB和边BC的距离相等.以点A为圆心，线段AD的长为半径画弧交边AB于点E，联结DE.下列结论中，不一定正确的是（　　）
A. BE=DE
B. BD=BC
C. ∠AED=2∠BDE
D.
7.《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文.只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文.问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，根据题意可列方程是（　　）
A. B.
C. D.
8.如图，在锐角△ABC中，△ABC的面积为15，BD平分∠ABC，若E，F分别是BD，BC上的动点，当CE+EF的最小值为6时，AB的长为（　　）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.若分式有意义，则实数x的取值范围是 .
10.如果，那么xy= .
11.如图，AB，CD相交于点O，AD=CB，添加一个条件使得△AOD≌△COB，可添加的条件是（添加一个即可） .
12.如图，是公元三世纪初我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，赵爽据此图指出：四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形ABCD，中空的部分是一个小正方形EFGH，若AB=10，AF=6，则小正方形EFGH的面积为 .
13.如图，∠AOP=∠OPC=15°，PC∥DO，PD⊥OB，若OC=8，则PD等于______．
14.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E.若BE=8，△ABC的周长为36，则△CBD的周长为 .
15.已知a＞6，若正方形M的边长为（a-4），其面积记为SM，长方形N的长为（a-2），宽为（a-6），其面积记为SN，用等式表示SM与SN的数量关系为 .
16.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是边AB的中点，E是边AC上的动点（不与点A，C重合），连接DE，作DF⊥DE，交BC于点F，连接EF.有下列三个结论：①DE=DF；②AE2+BF2＞EF2；③设△ABC，△DEF的面积分别为S1，S2，则，其中正确的是 （填所有正确结论的序号）.
三、解答题：本题共8小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
分解因式：
（1）3a2-12ab+12b2；
（2）x2（y-2）-4（y-2）.
18.(本小题15分)
计算：
（1）（2x-y）（x+3y）；
（2）；
（3）先化简，再求值：，其中a=2.
19.(本小题7分)
解方程：.
20.(本小题8分)
如图，AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=90°
（1）证明：BC=DE；
（2）若点C，D，E共线且满足CA=CD，求∠B的度数.
21.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°.
（1）用直尺和圆规完成以下作图：作线段BC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，在直线DE上截取线段EF（点F在BC下方），使得EF=BC，连接CF；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）根据（1）中作图，若AC⊥CF，证明：BC=2AB.补全以下证明过程：
证明：∵AC⊥CF，
∴∠ACB+∠ECF=90°，
∵∠B=90°，
∴∠A+∠ACB=90°，
∴______，
∵EF垂直平分BC，
∴∠CEF=90°，______=2EC，
∴∠B=∠CEF，
在△ABC和△CEF中，
，
∴△ABC≌△CEF，
∴______，（______）
∴BC=2AB.
22.(本小题8分)
如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”.按“智慧数”从小到大的顺序逐一列举：3=22-12，5=32-22，7=42-32，8=32-12，9=52-42，11=62-52…
（1）第8个“智慧数”是______.
（2）某数学兴趣小组在上面列举的基础上发现：除1外所有的正奇数都是“智慧数”，并进行了如下证明：
设k是正整数，
∵（k+1）2-k2=（k+1+k）（k+1-k）=2k+1
又∵k是正整数，
∴2k+1为大于或等于3的奇数.
∴除1外，所有的正奇数都是“智慧数”.
他们还发现：除4外，所有能被4整除的正整数都是“智慧数”，请你参考上面的方法进行证明.
（3）用含有k的式子表示除1，2，4外的其它非“智慧数”______（k是正整数）.
23.(本小题8分)
在△ABC中，AB=BC，∠ABC=α，点D在AC上，连接BD，在BD的上方作∠BDE=α，且BD=ED，连接BE.作点A关于BC的对称点F，连接EF，交BC于点M.
（1）补全图1，连接CF，并写出∠BCF=______（用含α的式子表示）；
（2）如图2，当α=60°时.
①求证：EM=FM；
②写出BM与AD的数量关系，并证明.
24.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，对于点P和垂直于x轴的直线l,给出如下定义：若点P关于直线l的对称点P′的横坐标和纵坐标相等，则称点P是直线l的“等变换点”.
（1）已知直线l过点A（a,0）且垂直于x轴.点P（b,3）是直线l的“等变换点”，若a=2，则b=______；若b=2，则a=______.
（2）已知点B（4，1），C（4，-1），直线l过点D（k,0）且与x轴垂直，以线段BC为边向右侧作正方形，若该正方形上存在直线l的“等变换点”，则k的取值范围是______；
（3）已知直线l过点M（m,0）且垂直于x轴，过点F（2m,m+1）作FG⊥直线l于点G.若以线段FG为边向下作正方形，若该正方形上存在直线l的“等变换点”，则m的取值范围是______.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】∠A=∠C（答案不唯一）
12.【答案】4
13.【答案】4
14.【答案】20
15.【答案】SM-SN=4
16.【答案】①③
17.【答案】3（a-2b）2 （y-2）（x+2）（x-2）
18.【答案】2x2+5xy-3y2
19.【答案】．
20.【答案】∵∠BAD=∠CAE=90°，∠BAD-∠CAD=∠BAC，∠CAE-∠CAD=∠DAE，
∴∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴BC=DE 112.5°
21.【答案】作图：
∠ A=∠ECF;BC;AB=CE;全等三角形对应边相等
22.【答案】13 设n是大于1的正整数，
则（n+1）2-（n-1）2
=n2+2n+1-（n2-2n+1）
=n2+2n+1-n2+2n-1
=4n，
∵n是大于1的正整数，
∴n+1 和 n-1 都是正整数，
∴4n是“智慧数”，
又∵4n能被4整除，
∴除4外，所有能被4整除的正整数都是“智慧数” 4 k+2
23.【答案】 ①连接AM，AE，
∵AB=BC，∠ABC=60°，BD=DE，∠BDE=60°，
∴△ABC是等边三角形，△DBE是等边三角形，
∴BA=BC，BE=BD，∠ABC=∠EBD=∠ACB=60°，
∴∠ABC-∠ABD=∠EBD-∠ABD．
即∠DBC=∠EBA，
∴△DBC≌△EBA（SAS），
∴∠EAB=∠DCB=60°，
∴∠EAB=∠ABC，
∴AE∥BC，
∴∠AEM=∠FMC，∠EAM=∠AMC，
∵点A关于BC的对称点是点F，
∴AM=FM，∠AMC=∠FMC，
∴∠AEM=∠EAM，
∴EM=AM，
∴EM=FM．
②AD=2BM，如图
在MC上取点N，使MN=BM，连接FN，
由①得，EM=FM，∠DBC=∠EBA，
∵∠BME=∠FMN，
∴△BME≌△FMN（SAS）．
∴BE=NF，∠EBM=∠FNM，
∵△BDE是等边三角形，
∴BD=BE=NF，
∵∠EBM=∠EBA+∠ABC=∠EBA+60°，∠FNM=∠NFC+∠BCF=∠NFC+60°，
∴∠EBA=∠NFC，
∴∠DBC=∠NFC，
∵对称，
∴CF=AC=BC，∠NCF=∠DCB，
∴△NCF≌△DCB（ASA）．
∴CN=CD，
∵BC=AC，
∴BC-CN=AC-CD，即BN=AD．
∵MN=BM，
∴BN=2BM．
∴AD=2BM
24.【答案】1; m≥1或
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