2025-2026学年北京市海淀区清华附中九年级（下）开学数学试卷（含答案）

2025-2026学年北京市海淀区清华附中九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.榫卯（sǔnmǎo）是中国古代建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯.如图是某个部件“榫”的实物图，它的主视图是（　　）
A.
B.
C.
D.
2.“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开.”若苔花的花粉直径约为0.00000838米.则数据0.00000838用科学记数法表示为（　　）
A. 8.38×10-7 B. 8.38×10-6 C. -8.38×106 D. -8.38×107
3.如图，数轴上的点A，B表示的数分别是a,b.如果ab＜0，那么下列结论中正确的是（　　）
A. a+b＞0 B. a-b＞0 C. a+1＞b D. b＞a-1
4.用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE，则∠BAC的度数是（　　）
A. 36° B. 30° C. 45° D. 40°
5.已知关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则m的值可能为（　　）
A. 1 B. 0 C. -1 D. 2
6.奇奇的智能门锁有一个两位密码，每位密码从{A，B，C，D}四个字母中选取，且两位字母不能相同.为了提高安全性，系统自动排除以A开头或以D结尾的密码.齐齐随机设置一个密码，那么他设置的密码不会被系统排除的概率是（　　）
A. B. C. D.
7.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=36°，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别交AC，BC于点F，G.以G为圆心，GC长为半径画弧，交BC于点H，连接AG、AH.则下列说法错误的是（　　）
A. AG=CG B. ∠B=2∠HAB C. ∠AGH=2∠C D. GH=2BH
8.在平面直角坐标系xOy中，，，点C为平面内的动点，若点C满足∠ACB=120°，则点C为线段AB的“好点”，则下列说法正确的有（　　）
①（0，1）是“好点”；
②所有“好点”围成的区域面积为；
③当且t≠±1时，直线上有两个“好点”.
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.要使代数式有意义，则x的取值范围是 .
10.分解因式：2x3-8x= ．
11.分式方程的解为 .
12.如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，∠B+∠E=154°，则所对的圆周角度数为 .
13.如图，已知反比例函数y1=（x＜0）和y1=-（x＜0）的图象分别为C1，C2，A是C1上一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，AB与C2交于点D.若△AOD的面积为2，则k的值为 .
14.学校举办校园十大歌手比赛，评委从唱功、舞台表现、音色、创意四个维度对选手进行评分（百分制）.最终得分由唱功和舞台表现各占30%，音色和创意各占20%组成.已知小兰、小竹两位选手的评分如下：
唱功 舞台表现 音色 创意
小兰 90 k 88 85
小竹 92 86 90 89
若小兰的评分更高，则表中k（k为整数）的最小值为 .
15.如图，点E是边长为4的正方形ABCD内一点，且∠E=90°，将线段DE以点D为中心逆时针旋转90°得到线段DF，点G是BC的中点，连接FG，则FG的最大值为 .
16.小云被邀请玩一个拍灯挑战，规则如下：桌面上有30盏无差别的小灯，每个灯只有两种状态：亮或者暗，玩家可以通过拍灯来切换一盏灯的亮暗状态，但是每一盏灯只能拍一次.现30盏小灯中，已知有10盏灯亮，其余都是暗的.要求玩家蒙上双眼，将30盏小灯分成2组，如果玩家可以只通过拍灯的方式，使两组中亮着的小灯数一样多，即算挑战成功.
（1）将灯平均分成两组，经检查第一组里有4盏灯亮.如果只拍第一组的灯，则最少需要拍 盏，挑战成功.
（2）小云的做法是：从30盏灯中任意选出n盏作为一组，然后将这n盏灯逐一拍一下.他挑战成功了，那么n= .
三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
计算：.
18.(本小题5分)
解不等式组：.
19.(本小题5分)
已知a-b-3=0，求代数式的值.
20.(本小题5分)
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD⊥CD，过点A作AF⊥BD于点E，交BC于点F.
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）连接DF，若点F是BC的中点，DF=5，tan∠ADB=，求AE的长.
21.(本小题5分)
为了解新能源汽车的能耗情况，某测评公司推出了“真实路况能耗挑战”测试.测试路线由市区道路和高速道路两部分组成.如果挑战结束后车辆的百公里平均能耗不高于17kWh,则视为挑战成功.一款新能源汽车在测试路线的市区道路中百公里平均能耗为15kWh,在高速道路中百公里平均能耗为20kWh,此次测试的总能耗为32kWh.若本次测试道路中市区道路的长度是高速道路长度的4倍，请通过计算判断该车是否能挑战成功.
22.(本小题5分)
在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A（4，5）和B（0，-1），与过点（2，0）且平行于y轴的直线交于点C.
（1）求该函数的表达式及点C的坐标；
（2）当x＜2时，对于x的每一个值，函数的值大于函数y=kx+b（k≠0）的值且小于3，直接写出n的取值范围.
23.(本小题6分)
在二次函数y=ax2+bx-2中，x与y的几组对应值如表所示.
x … -2 0 1 …
y … -2 -2 1 …
（1）求二次函数的表达式.
（2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象.
（3）将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值.
24.(本小题6分)
如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O一点，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D.连接AC，OC，过点A作OC的垂线，交OC，BC于点G，E，交⊙O于另一点F.
（1）求证：AE=AD；
（2）若，，求AD的长.
25.(本小题6分)
某食品厂研究两种天然防腐剂（添加剂A和添加剂B）对面包保质期的影响.
添加剂A的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于副作用等原因，保质期反而下降.添加剂B的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内（0-120mg/kg），其保质期与浓度之间近似满足稳定的线性增长关系：dB=0.05c+3.
在固定工艺下，改变添加剂A的添加浓度（单位：mg/kg），测得面包的保质期（单位：天）数据如下：
添加剂浓度c（mg/kg） 0 20 40 60 80 100 120
保质期d（天） 3 5 8 10 9 7 4
（1）以添加剂浓度c为横坐标，保质期d为纵坐标，在给定的坐标系中描出表中各点，并用平滑曲线连接.
（2）①工厂分析发现，每增加10mg/kg添加剂，成本增加2元；而每延长1天/kg保质期，可减少5元的损失.若增加10mg/kg添加剂能使保质期延长超过______天，则增加浓度是有利的（保留一位小数）.
②若1kg面包从生产到售出的时间为10天，若保质期不足10天，则每短缺1天会造成5元的损失（不足1天的部分按比例计算）.当添加剂A浓度为40mg/kg时，总成本（添加剂成本与损失之和）为______元.
（3）①若要求面包保质期至少为8天，且希望使用添加剂的浓度尽可能低，则选择添加剂A比选择添加剂B可以节省______mg/kg的添加剂（保留整数）.
②当浓度c在______≤c≤______范围内时，添加剂A的保质期至少比添加剂B的保质期多1天（保留整数）.
26.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx（a＞0）过点A（-3a,m）和点B（a,m）.
（1）用含a的式子表示b；
（2）点C（t-1，n）在抛物线上，且m＞n.过点D（t,0）作x轴的垂线，交抛物线于点P，交直线y=-ax于点Q，PQ的长随着t的增大而增大，求a的取值范围.
27.(本小题7分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边BC上一点，∠CAD=α.
（1）如图1，若CD=1，AD=2，BD=3，求点B到直线AD的距离；
（2）如图2，点E为线段AB中点，点F为线段AE上一点，将线段EF绕点E顺时针旋转2α得到线段EP，若点P恰好在线段AD上，连接CF，与线段AB交于点G，连接EG，判断线段EG，BD的数量关系，并证明.
28.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，对于封闭图形M，若存在两条平行直线l1和l2使得图形M被分为面积相等的三个部分，则称直线l1和l2为图形M的一组“三分平行线”，且称直线l1和l2间的距离为图形M的一个“三分距离”，记为d（M，l1-l2）.
如图，点A（0，3），B（6，3）.
（1）若图形M为正方形ABCD，其中点C在第四象限.
①已知直线l1：y=kx和l2：y=kx+b（b＜0）是正方形ABCD的一组“三分平行线”，则k=______，b=______，此时对应的“三分距离”d（正方形ABCD，l1-l2）=______；
②直接写出正方形ABCD的“三分距离”d的取值范围______；
（2）若图形M为菱形ABEF（EF在AB上方），点P为其边上的一点，若直线AP和直线l3为菱形ABEF的一组“三分平行线”，且其对应的“三分距离”d（菱形ABEF，AP-l3）≥1，直接写出点P纵坐标yP取值范围.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】x≥-2且x≠1
10.【答案】2x（x+2）（x-2）
11.【答案】x=-3
12.【答案】26°
13.【答案】-5
14.【答案】93
15.【答案】2+2
16.【答案】2
10

17.【答案】．
18.【答案】2＜x≤4．
19.【答案】．
20.【答案】证明见解析；
．
21.【答案】解：该车能挑战成功，理由如下：
设本次测试道路中高速道路的长度是x百公里，则本次测试道路中市区道路的长度是4x百公里，
根据题意得：15×4x+20x=32，
解得：x=0.4，
∴==16（kWh），
∵16＜17，
∴该车能挑战成功．
22.【答案】解：（1）把点A（4，5）和B（0，-1）代入y=kx+b,
得，
解得，
∴该函数的表达式为y=x-1；
当x=2时，y=×2-1=2，
∴点C坐标为（2，2）；
（2）在平面直角坐标系中画出直线y=x-1和满足条件的直线y=x+n的图象，如图所示：
由（1）知：当x=2时，y=x-1=2，
当x＜2时，函数y=x+n的值大于函数y=x-1的函数值，
∴当y=x+n过点（2，2）时满足题意，
∴2×+n=2，
解得n=1；
当x＜2时，函数y=x+n的值小于3，
∴当y=x+n过点（2，3）时满足题意，
∴2×+n=3，
解得n=2；
∴n的取值范围为1≤n≤2．
23.【答案】解：（1）由题意，结合表格数据可得，二次函数的对称轴是直线x==-1．
∴可设二次函数的表达式为y=a（x+1）2+k.
又∵图象过（0，-2），（1，1），
∴-2=a×（0+1）2+k,且1=a×（1+1）2+k.
∴a=1，k=-3．
∴二次函数的表达式为y=（x+1）2-3，即y=x2+2x-2．
（2）由题意，结合（1）y=（x+1）2-3，
∴顶点坐标为（-1，-3）．
作图如下．
（3）由题意，∵二次函数的图象向右平移n个单位长度后，
∴新函数为y=（x+1-n）2-3．
∴此时对称轴是直线x=n-1，函数图象开口向上．
∴①当3≤n-1时，即n≥4，
∴当x=0时，y取最大值为（1-n）2-3；当x=3时，y取最小值为（4-n）2-3．
又∵最大值与最小值的差为5，
∴（1-n）2-3-（4-n）2+3=5．
∴n=＜4，不合题意．
②当0＜n-1＜3时，即1＜n＜4，
∴当x=0或x=3时，y取最大值为（1-n）2-3或（4-n）2-3；当x=n-1时，y取最小值为-3．
又∵最大值与最小值的差为5，
∴（1-n）2-3+3=5或（4-n）2-3+3=5．
∴n=1+或n=1-（不合题意，舍去）或n=4+（不合题意，舍去）或n=4-．
③当n-1≤0时，即n≤1，
∴当x=0时，y取最小值为（1-n）2-3；当x=3时，y取最大值为（4-n）2-3．
又∵最大值与最小值的差为5，
∴（4-n）2-3-（1-n）2+3=5．
∴n=＞1，不合题意．
综上，n=1+或n=4-．
24.【答案】AB是⊙O的直径，点C为⊙O一点，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．
∵AD是切线，AB是直径，
∴AD⊥AB，即∠BAD=90°，
∴∠D+∠ABD=90°，
∵AF⊥OC，
∴∠CGF=90°，
∴∠GCE+∠GEC=90°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OBC+∠AEC=90°，
∴∠D=∠AEC，
∴AD=AE
25.【答案】描点并连线为：
0.4;18 60;20;80
26.【答案】b=2a2
27.【答案】 BD=2EG；理由如下：
如图2，连接CE，交AD于点K，
设∠B=β，
∵∠ACB=90°，点E为线段AB中点，
∴CE=AE=BE，
∴∠ACE=∠CAE=90°-∠B=90°-β，∠BCE=∠B=β，
∴∠AEC=∠BCE+∠B=2β，
∵∠CAD=α，∠B=β，
∴∠DAB=180°-∠ACB-∠CAD-∠B=90°-α-β，
∵将线段EF绕点E顺时针旋转2α得到线段EP，
∴∠AEP=2α，EF=EP，
∴∠PKE=∠DAB+∠AEC=90°-α-β+2β=90°-α+β，
∠KPE=180°-∠DAB-∠PEA=180°-（90°-α-β）-2α=90°-α+β，
∴∠PKE=∠KPE，
∴KE=PE，
∴KE=EF，
在△AKE与△CFE中，
，
∴△AKE≌△CFE（SAS），
∴∠EAK=∠ECF=90°-α-β，
∴∠GCA=∠ACE-∠ECF=90°-β-（90°-α-β）=α，
∴∠GCA=∠CAD，
∴GC=GA，
∵∠ACB=90°，
∴90°-∠GCA=90°-∠CAD，即∠GCD=∠GDC，
∴GC=GD，
∴GA=GD，
∵点E为线段AB中点，
∴BD=2EG
28.【答案】;-2;; 点P纵坐标yP取值范围为
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