安徽省2026届九年级下学期第四次学情调研数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 安徽省2026届九年级下学期第四次学情调研数学试卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1005.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-16 00:00:00 | ||
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文档简介
安徽省2025_2026学年下学期九年级第四次学情数学调研试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
3.将抛物线向右平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
4.在中，若，则（ ）
A. B. C. D.
5.关于反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A. 它与直线y=x没有交点 B. y随着x的增大而增大
C. 图象位于第一、三象限 D. 图象经过点（a,a+4），则a=-1
6.如图是一款带有提梁的茶壶，提梁与壶盖CD的平面图可近似看作半圆，为了防止烫伤和保护提梁，常在提梁上缠绕一层隔热布，已知隔热布两端点A与点B关于直线L对称，直线于点O，O为中点，测得直径为，，则提梁的长为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，已知，补充下列条件仍不能判断与相似的是（ ）
A. 平分 B. C. D.
8.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABO∽△CDO，且，若，则点C的坐标为（ ）
A. B. C. D.
9.如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，轴于点，点在第一象限．为斜边上一点，且，过点作（点在直线的右侧），已知，点在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点．结合．下列结论不正确是（ ）
A. B. 点C是的中点
C. 四边形是平行四边形 D. k的值是2
10.如图，边长为4的正方形中，对角线，交于点，在上，连接，作交于点，连接交于点，则的值是（ ）
A. 12 B. 15 C. 16 D. 18
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
11.某市政府2024年投入3亿元资金用于基础设施建设，并规划投入资金逐年增加，2026年将投入8亿元资金．设2024年至2026年的投入资金的年平均增长率为，根据题意可列方程为 ．
12.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的正弦值是 ．
13.如图，在正方形网格上建立直角坐标系，x轴、y轴都在网格线上，其中1格代表1个单位长度.反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点M、N在格点上，则k= .
14.如图，在菱形中，点在边上，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接．
(1) 若，，则 ；
(2) 若，，则 ．
三、解答题：本题共9小题，共94分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题9分)
物理变化与化学变化存在于我们生活中的方方面面，小明将常见的4种生活现象：A．光合作用，B．葡萄酿酒，C．冰雪融化，D．衣服晾干，分别写在四张不透明的卡片正面，卡片除字母和内容外，其余完全相同，现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．（注：生成新物质的变化叫做化学变化，为化学变化，没有生成新物质的变化叫做物理变化，为物理变化）
(1) 小明从中随机抽取一张卡片是化学变化的概率是 ；（直接写结果）
(2) 小明从中随机抽取一张卡片（不放回），再从剩余的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求两张卡片均为物理变化的概率．
16.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．
(1) 以O点为旋转中心，将逆时针旋转得到，请在图中画出；
(2) 以O点为位似中心，在第三象限内画出的位似图形，使得与的位似比为．
17.(本小题10分)
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E．
(1) 若AB＝AC，求证：∠ADB＝∠ADE；
(2) 若BC＝3，⊙O的半径为2，求sin∠BAC．
18.(本小题10分)
(1) 【实践探究】如图1，在中，，，，求的值．小南构造了包含的直角三角形：延长到点，使，连接．可得，问题即转化为求的正切值，请按小南的思路求的值．
(2) 【拓展延伸】如图2，在中，，，，求的值．
19.(本小题10分)
人类免疫缺陷病毒（）是造成人类免疫系统缺陷的一种逆转录病毒．这一病毒会攻击并逐渐破坏人类的免疫系统，致使宿主在被感染时得不到保护．攻陷人体免疫系统的原理是吸附于靶细胞（主要是T细胞）表面，通过受体进入细胞，破坏靶细胞的免疫防御功能．下图是某机体被侵入后，宿主体内T细胞相对浓度变化量随时间的变化情况．已知将侵入机体的时刻设为0时刻，在内T细胞的相对浓度变化量为二次函数，内T细胞的相对浓度变化量为反比例函数，且时，T细胞的相对浓度为．
(1) 写出C关于t的函数解析式；
(2) 若T细胞相对浓度变化量在以上时从生物学角度认为该机体患病，则求该机体患病的时间段．
20.(本小题10分)
如图，AB是⊙O的直径，点E在AB的延长线上，AC平分∠DAE交⊙O于点C，AD⊥DE于点D．
(1) 求证：直线DE是⊙O的切线．
(2) 如果BE=2，CE=4，求线段AD的长．
21.(本小题12分)
如图所示，已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A（m，－2）．
(1) 求反比例函数的表达式.
(2) 观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围.
(3) 若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状并证明你的结论．
22.(本小题12分)
如图，在平行四边形ABCD中，过点C分别作AD、AB的垂线，交边AD、AB的延长线于点E、F．
(1) 求证：△CDE∽△CBF；
(2) 求证：AD·DE=AB·BF；
(3) 连结AC，如果，求证．
23.(本小题12分)
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＜0）的图象经过（m＋1，a），（m，b）两点.
(1) 若m＝1，a＝－1，求该二次函数的解析式；
(2) 求证：am＋b＝0；
(3) 若该二次函数的最大值为，当x＝1时，y≥3a，求a的取值范围.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】4
14.【答案】【小题1】
【小题2】
15.【答案】【小题1】
【小题2】
解：画树状图如下：
由图可知，共有12个等可能的结果，抽到的两张卡片均为物理变化的结果有2个，
∴抽到的两张卡片均为物理变化的概率为．
16.【答案】【小题1】
解：如图所示，即为所求；
【小题2】
解：由题意得，
如图所示，即为所求．
．
17.【答案】【小题1】
∵圆内接四边形外角等于内对角，四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠ABC＝∠ADE，
∵AB=AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠ADB＝∠ADE．
【小题2】
如图，作直径BF，连接FC，
则∠BCF=90°，
∵圆的半径为2，BC=3，
∴BF=4，BC=3，∠BAC= ∠BFC，
∴sin∠BAC= sin∠BFC=．
18.【答案】【小题1】
解：在中，，，，
，
，
，
，，
，
【小题2】
如图，在上取一点，连接，使得，
∴
∴，
∵在中，，，，
∴，
设，则，
在中，
∴
解得：
∴
∴
19.【答案】【小题1】
解：当时，设，
抛物线经过，，
代入得：，
解得：，
，
当时，
反比例函数经过，设，
代入得：，
；
【小题2】
解：当时，函数随着的增大而增大，
此时令，解得，
当时，随着的增大而减小，
令，则，
解得，
该机体患病的时间段为．
20.【答案】【小题1】
证明：如图，连接OC.
∵OA=OC，AD⊥DE，
∴∠OAC=∠OCA，∠D=90°，
∵AC平分∠DAE，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠OCA=∠DAC，
∴OC // AD，
∴∠OCE=∠D=90°，
∴OC⊥DE，
∴直线DE是⊙O的切线.
【小题2】
解：如图，连接BC.
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO＋∠OCB=90°，
∵OC⊥DE，
∴∠BCE＋∠OCB=90°，
∴∠BCE=∠ACO，
∵∠OAC=∠OCA，
∴∠BCE=∠CAE，
∵∠E=∠E，
∴△BCE∽△CAE，
∴，即，
解得：AE=8，
∴AB=AE－BE=6，
∴OC=OB==3，
∴OE=OB＋BE=5，
∵OC // AD，
∴△EOC∽△EAD，
∴，即，
解得：AD=．
21.【答案】【小题1】
设反比例函数的表达式为y= （k＞0）.
∵A（m，－2）在y=2x上，∴－2=2m，解得m=－1.∴A（－1，－2），
又∵点A在y= 上，∴k=（－1）×（－2）=2．∴反比例函数的表达式为y= ．
【小题2】－1＜x＜0或x＞1.
【小题3】
四边形OABC是菱形．
证明：∵A（－1，－2），∴OA= ．
由题意得CB // OA且CB= ，∴CB OA.∴四边形OABC是平行四边形.
∵C（2，n）在y= 上，∴n=1．∴C（2，1）.
∴OC= ．∴OC=OA．∴四边形OABC是菱形．
22.【答案】【小题1】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD// AB，AD// BC，∠CDE=∠DAB，∠CBF=∠DAB，
∴∠CDE=∠CBF，
∵CE⊥AE，CF⊥AF，
∴∠CED=∠CFB=90°，
∴△CDE∽△CBF .
【小题2】
证明：∵△CDE∽△CBF，
∴
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD、CD=AB，
即，
∴AD·DE=AB·BF.
【小题3】
证明：如图，连接.
∵，∠CDE=∠CFB=90°，
∴△ACF∽△CDE，
又∵△CBF∽△CDE，
△ACF∽△CBF，
，
∵△ACF与△CBF等高，则，
∴.
23.【答案】【小题1】
解：若m＝1，a＝-1，则抛物线y＝－x2＋bx＋c过(2，-1)，(1，b) 两点，
∴
解得
∴这个二次函数的解析式为y＝-x2＋x＋1．
【小题2】
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过（m＋1，a），（m，b）两点，
∴
①-②，得 2am＋a＋b＝a-b．
整理，得am＋b＝0；
【小题3】
由（2）得，b＝-am，代入②，得c＝b＝-am．
∴y＝ax2-amx-am．
∵当x＝1时，y≥3a，
∴a-am-am≥3a，即-2am≥2a，
∵a＜0，
∴m≥-1．
∵该二次函数的最大值为，
∴，即．③
将c＝b＝-am代入③，得，
∴＝＝．
∵m≥-1，
∴≥-3，
∵a＜0
∴a≤．
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一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
3.将抛物线向右平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
4.在中，若，则（ ）
A. B. C. D.
5.关于反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A. 它与直线y=x没有交点 B. y随着x的增大而增大
C. 图象位于第一、三象限 D. 图象经过点（a,a+4），则a=-1
6.如图是一款带有提梁的茶壶，提梁与壶盖CD的平面图可近似看作半圆，为了防止烫伤和保护提梁，常在提梁上缠绕一层隔热布，已知隔热布两端点A与点B关于直线L对称，直线于点O，O为中点，测得直径为，，则提梁的长为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，已知，补充下列条件仍不能判断与相似的是（ ）
A. 平分 B. C. D.
8.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABO∽△CDO，且，若，则点C的坐标为（ ）
A. B. C. D.
9.如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，轴于点，点在第一象限．为斜边上一点，且，过点作（点在直线的右侧），已知，点在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点．结合．下列结论不正确是（ ）
A. B. 点C是的中点
C. 四边形是平行四边形 D. k的值是2
10.如图，边长为4的正方形中，对角线，交于点，在上，连接，作交于点，连接交于点，则的值是（ ）
A. 12 B. 15 C. 16 D. 18
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
11.某市政府2024年投入3亿元资金用于基础设施建设，并规划投入资金逐年增加，2026年将投入8亿元资金．设2024年至2026年的投入资金的年平均增长率为，根据题意可列方程为 ．
12.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的正弦值是 ．
13.如图，在正方形网格上建立直角坐标系，x轴、y轴都在网格线上，其中1格代表1个单位长度.反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点M、N在格点上，则k= .
14.如图，在菱形中，点在边上，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接．
(1) 若，，则 ；
(2) 若，，则 ．
三、解答题：本题共9小题，共94分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题9分)
物理变化与化学变化存在于我们生活中的方方面面，小明将常见的4种生活现象：A．光合作用，B．葡萄酿酒，C．冰雪融化，D．衣服晾干，分别写在四张不透明的卡片正面，卡片除字母和内容外，其余完全相同，现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．（注：生成新物质的变化叫做化学变化，为化学变化，没有生成新物质的变化叫做物理变化，为物理变化）
(1) 小明从中随机抽取一张卡片是化学变化的概率是 ；（直接写结果）
(2) 小明从中随机抽取一张卡片（不放回），再从剩余的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求两张卡片均为物理变化的概率．
16.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．
(1) 以O点为旋转中心，将逆时针旋转得到，请在图中画出；
(2) 以O点为位似中心，在第三象限内画出的位似图形，使得与的位似比为．
17.(本小题10分)
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E．
(1) 若AB＝AC，求证：∠ADB＝∠ADE；
(2) 若BC＝3，⊙O的半径为2，求sin∠BAC．
18.(本小题10分)
(1) 【实践探究】如图1，在中，，，，求的值．小南构造了包含的直角三角形：延长到点，使，连接．可得，问题即转化为求的正切值，请按小南的思路求的值．
(2) 【拓展延伸】如图2，在中，，，，求的值．
19.(本小题10分)
人类免疫缺陷病毒（）是造成人类免疫系统缺陷的一种逆转录病毒．这一病毒会攻击并逐渐破坏人类的免疫系统，致使宿主在被感染时得不到保护．攻陷人体免疫系统的原理是吸附于靶细胞（主要是T细胞）表面，通过受体进入细胞，破坏靶细胞的免疫防御功能．下图是某机体被侵入后，宿主体内T细胞相对浓度变化量随时间的变化情况．已知将侵入机体的时刻设为0时刻，在内T细胞的相对浓度变化量为二次函数，内T细胞的相对浓度变化量为反比例函数，且时，T细胞的相对浓度为．
(1) 写出C关于t的函数解析式；
(2) 若T细胞相对浓度变化量在以上时从生物学角度认为该机体患病，则求该机体患病的时间段．
20.(本小题10分)
如图，AB是⊙O的直径，点E在AB的延长线上，AC平分∠DAE交⊙O于点C，AD⊥DE于点D．
(1) 求证：直线DE是⊙O的切线．
(2) 如果BE=2，CE=4，求线段AD的长．
21.(本小题12分)
如图所示，已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A（m，－2）．
(1) 求反比例函数的表达式.
(2) 观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围.
(3) 若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状并证明你的结论．
22.(本小题12分)
如图，在平行四边形ABCD中，过点C分别作AD、AB的垂线，交边AD、AB的延长线于点E、F．
(1) 求证：△CDE∽△CBF；
(2) 求证：AD·DE=AB·BF；
(3) 连结AC，如果，求证．
23.(本小题12分)
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＜0）的图象经过（m＋1，a），（m，b）两点.
(1) 若m＝1，a＝－1，求该二次函数的解析式；
(2) 求证：am＋b＝0；
(3) 若该二次函数的最大值为，当x＝1时，y≥3a，求a的取值范围.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】4
14.【答案】【小题1】
【小题2】
15.【答案】【小题1】
【小题2】
解：画树状图如下：
由图可知，共有12个等可能的结果，抽到的两张卡片均为物理变化的结果有2个，
∴抽到的两张卡片均为物理变化的概率为．
16.【答案】【小题1】
解：如图所示，即为所求；
【小题2】
解：由题意得，
如图所示，即为所求．
．
17.【答案】【小题1】
∵圆内接四边形外角等于内对角，四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠ABC＝∠ADE，
∵AB=AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠ADB＝∠ADE．
【小题2】
如图，作直径BF，连接FC，
则∠BCF=90°，
∵圆的半径为2，BC=3，
∴BF=4，BC=3，∠BAC= ∠BFC，
∴sin∠BAC= sin∠BFC=．
18.【答案】【小题1】
解：在中，，，，
，
，
，
，，
，
【小题2】
如图，在上取一点，连接，使得，
∴
∴，
∵在中，，，，
∴，
设，则，
在中，
∴
解得：
∴
∴
19.【答案】【小题1】
解：当时，设，
抛物线经过，，
代入得：，
解得：，
，
当时，
反比例函数经过，设，
代入得：，
；
【小题2】
解：当时，函数随着的增大而增大，
此时令，解得，
当时，随着的增大而减小，
令，则，
解得，
该机体患病的时间段为．
20.【答案】【小题1】
证明：如图，连接OC.
∵OA=OC，AD⊥DE，
∴∠OAC=∠OCA，∠D=90°，
∵AC平分∠DAE，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠OCA=∠DAC，
∴OC // AD，
∴∠OCE=∠D=90°，
∴OC⊥DE，
∴直线DE是⊙O的切线.
【小题2】
解：如图，连接BC.
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO＋∠OCB=90°，
∵OC⊥DE，
∴∠BCE＋∠OCB=90°，
∴∠BCE=∠ACO，
∵∠OAC=∠OCA，
∴∠BCE=∠CAE，
∵∠E=∠E，
∴△BCE∽△CAE，
∴，即，
解得：AE=8，
∴AB=AE－BE=6，
∴OC=OB==3，
∴OE=OB＋BE=5，
∵OC // AD，
∴△EOC∽△EAD，
∴，即，
解得：AD=．
21.【答案】【小题1】
设反比例函数的表达式为y= （k＞0）.
∵A（m，－2）在y=2x上，∴－2=2m，解得m=－1.∴A（－1，－2），
又∵点A在y= 上，∴k=（－1）×（－2）=2．∴反比例函数的表达式为y= ．
【小题2】－1＜x＜0或x＞1.
【小题3】
四边形OABC是菱形．
证明：∵A（－1，－2），∴OA= ．
由题意得CB // OA且CB= ，∴CB OA.∴四边形OABC是平行四边形.
∵C（2，n）在y= 上，∴n=1．∴C（2，1）.
∴OC= ．∴OC=OA．∴四边形OABC是菱形．
22.【答案】【小题1】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD// AB，AD// BC，∠CDE=∠DAB，∠CBF=∠DAB，
∴∠CDE=∠CBF，
∵CE⊥AE，CF⊥AF，
∴∠CED=∠CFB=90°，
∴△CDE∽△CBF .
【小题2】
证明：∵△CDE∽△CBF，
∴
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD、CD=AB，
即，
∴AD·DE=AB·BF.
【小题3】
证明：如图，连接.
∵，∠CDE=∠CFB=90°，
∴△ACF∽△CDE，
又∵△CBF∽△CDE，
△ACF∽△CBF，
，
∵△ACF与△CBF等高，则，
∴.
23.【答案】【小题1】
解：若m＝1，a＝-1，则抛物线y＝－x2＋bx＋c过(2，-1)，(1，b) 两点，
∴
解得
∴这个二次函数的解析式为y＝-x2＋x＋1．
【小题2】
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过（m＋1，a），（m，b）两点，
∴
①-②，得 2am＋a＋b＝a-b．
整理，得am＋b＝0；
【小题3】
由（2）得，b＝-am，代入②，得c＝b＝-am．
∴y＝ax2-amx-am．
∵当x＝1时，y≥3a，
∴a-am-am≥3a，即-2am≥2a，
∵a＜0，
∴m≥-1．
∵该二次函数的最大值为，
∴，即．③
将c＝b＝-am代入③，得，
∴＝＝．
∵m≥-1，
∴≥-3，
∵a＜0
∴a≤．
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