杭州学军中学 2025学年高二下周末练 (2)
数学试题
★祝大家学习生活愉快★
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，每小题只有一个选项符合要求
1.若函数 f 1 x = x2+ x 的图象在点 1,2 处的切线也是函数 g x = e
x+m的图象的切线，则实数m=
A. - 2 B. - 1 C. 0 D. 1
【答案】C
【解析】由题意得 f x = 2x- 1 ，则 f 2 1 = 1，所以 f x 的图象在点 1,2 处的切线方程为 y- 2= x-x
1，即 y= x+ 1．设直线 y= x+ 1与 g x 的图象相切于点 x0,y0 ，又 g x = ex , g x0 = ex0，则 ex0= 1，解
得 x x00= 0，所以 y0= x0+ 1= e +m，即 1= 1+m，则m= 0.
2.有 6位身高不同的同学站成前后两排拍照，每排 3人，若后排每位同学比他正前面的同学身高高，则不同
的站法种数为
A. 90 B. 120 C. 270 D. 720
【答案】A
【解析】先给第 1列选 2人，从 6人中选 2人后，仅需把矮的放前排、高的放后排，只有 1种符合要求的排
法，共C26种选法，
再给第 2列从剩余 4人中选 2人，同理也只有 1种排法，共C24种选法，
最后剩余 2人自动为第 3列，仅 1种排法，即C22，
即总站法数为：C26×C24×C22= 15× 6× 1= 90.
e-x, x≥0
3.已知函数 f (x) = ，则不等式 f (2- x)< [ f (x)]
3的解集为
ex, x<0
A. (-∞ , 1) B. (1 ,+∞) C. (- 12 , 1) D. (-1 ,
1
2 )
【答案】D
【解析】当 x> 0时，-x< 0，f (-x) = e-x= f (x)；当 x< 0时，-x> 0，f (-x) = ex= f (x)；
f 0 = 1，则当 x∈ R时，f (-x) = f (x)，即函数 f (x)是 R上的偶函数，
不等式 f (2- x)< [ f (x)]3 f (|2- x|)< [ f (|x|)]3 e-|2-x|< e-3|x| |2- x| > 3|x|，
整理得 2x2+ x- 1< 0，解得-1< x< 1 12 ，所以原不等式的解集为 (-1 , 2 ).
2 y2
4. x已知双曲线 9 - 72 = 1的左右焦点分别是 F1，F2，Q是双曲线右支上的动点，过 F1作∠F1QF2平分线的
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垂线，垂足为M，则点M的轨迹方程为
A. x2+ y2= 9(-1< x≤ 3) B. x2+ y2= 9 -1≤x≤3
C. x2+ y2= 3(-1< x≤ 3) D. x2+ y2= 3 -1≤x≤3
【答案】A
【解析】设点M的坐标为 x,y ，延长QF2与 F1M交于点 T，连接OM，
因为QM平分∠F1QF2，且QM⊥ F1M，所以 QF1 = QT ， F1M = MT ，
又因点Q是双曲线右支上的动点，所以 QF1 - QF2 = QT - QF2 = 2a，
所以 F2T = 2a，所以 OM = a，即点M在以O为圆心，a= 3为半径的圆上，
因为当点Q沿双曲线右支运动到无穷远处时，QM趋近于双曲线的渐近线，
所以点M的轨迹是圆弧CBD，除去点C -1,-2 2 和D -1,2 2 ，
所以方程为 x2+ y2= 9(-1< x≤ 3).
5.将 1，2，3， ，10这 10个数平均分成甲、乙两组，若乙组的第 75百分位数恰为甲组的中位数的 2倍，则
不同的分组个数为
A. 18 B. 20 C. 22 D. 24
【答案】A
【解析】甲、乙两组各 5个数，各按从小到大排列，甲组的中位数是甲组的第 3个数，设为 a，乙组的第 75
百分位数是乙组的第 4个数，设为 b.
由题意，b= 2a，3≤ a≤ 4，故 b= 6或 b= 8，
当 b= 8时，a= 4，该分组个数为C2C1C13 3 2= 18(在 1，2，3中选 2个数，5，6，7中选 1个数，9，10中选 1个
数，与 a= 4组成甲组)，
当 b= 6时，a= 3，则甲组的中位数为 3，甲组必须包含 1和 2；乙组的第 75百分位数为 6，乙组必须有 3
个小于 6的数，由于 1, 2, 3均在甲组，乙组只有 2个小于 6的数 (4 , 5)，故此情况不成立．
综上，不同的分组个数为 18.
6. 3已知数列 an 的前 n项和 Sn= n3，数列 a 的前 n项和为 Tn，若 Tn≤m对任意的 n∈ N
*恒成立，则整数
n
m的最小值为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】因为 S 3n= n ，当 n= 1时，a1= S1= 1，
当 n≥ 2时，S 3n-1= n-1 ，所以 an= Sn- S 3n-1= n - n-1 3 = 3n2- 3n+ 1 n≥2 ，
因为 a1= 1满足上式，
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所以 a = 3n2n - 3n+ 1 n∈N * ，
3 3 3 1 1 1
所以 a = 2 < = = - n≥23n -3n+1 3n2-3n n n-1 n-1 n
，
n
T < 3+ 1- 1 + 1 1所以 n 2 2 - 3 + +
1 1
n-1 - n = 4-
1
n n≥2 ，又 T1= 3= 4-
1
1 ，
所以 Tn≤ 4- 1n n∈N
* ，
所以 Tn< 4.又 T2= 3+ 37 > 3，
故当 Tn≤m m∈Z 对任意的 n∈N *恒成立时，可得m≥ 4，
所以整数m的最小值为 4.
7.在计算机科学中，八进制是一种数字表示法，它使用 0~7这八个数字来表示数值.例如，八进制数 2051换
算成十进制数是 2× 83+ 0× 82+ 5× 81+ 1× 80= 1065.那么八进制数 33 3 3换算成十进制数m，则十
20个3
进制数m的个位数字为
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】B
19
【解析】方法一：由题意知m= 3× 80+ 3× 81+ 3× 82+ +3× 819= 3×∑8k，
k=0
19
设 S=∑8k，因为 8k k=0,1, ,19 的个位数字分别为 1 , 8 , 4 , 2 , 6 , 8 , 4 , 2 , 6 , , 8 , 4 , 2，
k=0
所以 8k k=0,1, ,19 的个位数字之和为 1+ 4× 8+4+2+6 + 8+4+2 = 95，
19
所以 S=∑8k的个位数字为 5，
k=0
19
所以m= 3×∑8k的个位数字为 5.
k=0
1-8200 3× 8
20-1
方法二：由题意知m= 3× 8 + 3× 81+ 3× 82+ +3× 819= 3× 1-8 = 7 =
(10-7)× 820-1 10× 820-1= 7 7 - 8
20-1 ，
又由二项式定理知 820- 1= (7+ 1)20- 1=C0 20207 +C120719+ +C19207+C2020- 1=C020720+C120719+ +C19207
是 7的倍数，
10× 820-1
所以 7 是 10的倍数.
又由二项式定理知 820- 1= (10- 2)20- 1=C0 20 1 19 19 19 20 202010 +C2010 × -2 + +C2010× -2 +C20 -2 -
1，
所以 820- 1的个位数字与 220- 1的个位数字相同，
同理，220- 1= 4× 218- 1= 4× (10- 2)6- 1，
所以 220- 1的个位数字与 4× 26- 1= 255的个位数字相同，
可得 820- 1的个位数字为 5.
10×
m=
820-1 20 10× 8
20-1
7 - 8 -1
，且 7 是 10的倍数，其个位数字为 0，
所以m的个位数字与 0- 5的个位数字相同，即为 5.
综上，十进制数m的个位数字为 5.
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n
8. A = 2,4,6, ,2n a A S = k-2设集合 n ， n是集合 n的所有三元子集的元素和之和，令 n a n≥3 ，则 Sn=k=3 k
n n+1 2n+1 n2 n+1 2 n-2 n+3 n-1 n+2
A. 6 B. 2 C. D.6n n+1 2n n+1
【答案】C
【解析】集合 An中共 n个元素，每个元素在所有三元子集中出现的次数均为C2n-1次，
2 n 2+2n n-1 n-2 n n+1 n-1 n-2所以 an= 2+4+6+ +2n Cn-1= 2 =
2 2 ，
k-2 k-2 2 1 2
当 k≥ 3时， a = = = k k k+1 k-1 k-2 k k-1 k+1 k k-1 k+1
2
= 1 1 - 1 = 1 1k k-1 k+1 - ，k k-1 k k+1
n
S = k-2 1所以 n a = 2×3 -
1
3×4 +
1 1
3×4 - 4×5 + +
1
-
1
k=3 k n n-
1 n n+1
1 1 n2= - = +n-6
n-2 n+3
6 =
.
n n+1 6n n+1 6n n+1
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9.若 3x+1 x-2 n = a + a x+ a x2+ +a x60 1 2 6 a6≠0 ，则
A. n= 5 B. a4= 130
C. a1+ a2+ +a6= 28 D. a1+ 2a2+ 3a3+ +6a6= 23
【答案】AC
【解析】A：因为 a6≠ 0，
所以多项式 a0+ a1x+ a2x2+ +a 66x 最高次项的次数为 6，
所以 n= 5，因此本选项说法正确；
B：因为 a 3 2 4 14= 3×C5× -2 + 1×C5× -2 = 110，所以本选项说法不正确；
C：在 3x+1 x-2 5 = a0+ a1x+ a x22 + +a x66 中，
令 x= 0，得 1× -2 5 = a0 a0=-32，
令 x= 1，得 4× -1 5 = a0+ a1+ a2+ +a6 a1+ a2+ +a6=-4- -32 = 28，
所以本选项说法正确；
D：对 3x+1 x-2 5 = a0+ a1x+ a x22 + +a6x6两边同时求导，
得 3 x-2 5 + 5 3x+1 x-2 4 = a + 2a x+ 3a x21 2 3 + +6a 56x ，
令 x= 1，得
3× -1 5 + 5× 4× -1 4 = a1+ 2a2+ 3a3+ +6a6 a1+ 2a2+ 3a3+ +6a6= 17，所以本选项说法不正
确.
10.如图，在棱长为 2的正方体 ABCD- A1B1C1D1中，M，N分别是线段 A1B，AC上的动点 (不含端点)，且
A1M= AN= a，则下列结论正确的是
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A. 若 a= 2，则直线MN与直线 B1D π1的夹角为 3
B. 三棱锥M- ABN 1体积的最大值为 3
C. 存在 a∈ 0,2 2 ，使得MN 平面 B1CD1
D. 若 a= 2，则三棱锥M- ABN外接球的表面积为 8π
【答案】ABC
【解析】对 A，因为 A1B= AC= 2 2，所以
当 a= 2时，M ,N分别为 A1B , AC的中点，所以N也是 BD的中点.
过M作MQ⊥ AB于Q，连接NQ，则MQ=NQ= 1，所以 MN = 2 .
因为 B1D1 BD，所以直线MN与直线 B1D1的夹角等于直线MN与直线 BD的夹角，即∠BNM .
又因为 BM = π BN = 2= MN ，所以∠BNM= 3 ，故 A正确.
对 B，过M作MQ⊥ AB于Q，
因为平面 A1ABB1⊥平面 ABCD，平面 A1ABB1∩平面 ABCD= AB，MQ 平面 A1ABB1，
所以MQ⊥平面 ABCD，即三棱锥M- ABN的高为MQ，
又MQ=MBsin45° = 22 × 2 2-a
2
= 2- 2 a，
所以三棱锥M- ABN 1 1 2 1体积VM-ABN= 3 MQ S△ABN= 3 × 2- 2 a × 2 AB ANsin45°
= 16 2 2a-a
2 1 =- 6 a- 2
2 + 13 ，
当 a= 2 1时， VM-ABN max= 3 ，故 B正确.
对C，当 a= 2时，N是 AC的中点，所以N也是 BD的中点.
因为M是 A1B的中点，所以MN A1D B1C.
又MN 平面 B1CD1，B1C 平面 B1CD1，所以MN 平面 B1CD1，故C正确.
对D，当 a= 2时，MQ=MBsin45° = 1，故Q为 AB的中点，
又N为 AC的中点，所以 BN= AN，BN⊥ AN，
所以Q到 A，B，M，N的距离都为 1，
即三棱锥M- ABN外接球的球心为Q，球半径为 1，所以外接球表面积 S= 4π，故D错误.
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11.如图“四角花瓣”图形可以看作由抛物线C : x2= 2py π 3π p>0 绕坐标原点分别旋转 2 , π , 2 后所得三条
曲线与C共同围成的区域 (阴影区域)，A , B分别为C与另外两条曲线在第一象限、第二象限的交点，若
AB = 8，阴影部分的面积为 S，则
A. P= 2 B. △AOB的面积为 32
C. S的值比 32小 D. 直线 y= x+ b截第二象限“花瓣”的弦长可能为 1.4
【答案】ACD
π 3π
【解析】设抛物线C绕原点顺时针旋转 2 ，π，2 后得到的三条曲线分别为C1，C2，C3.
p p p p
抛物线C的焦点为 0, 2 ，故C1的焦点为 2 ,0 ，C2的焦点为 0,- 2 ，C3的焦点为 - 2 ,0 .
故C : y21 = 2px，C 22 : x =-2py，C : y23 =-2px，p> 0.
x2=2py x=2p
对于 A：A为曲线C与C1交点，联立方程 y2=2px，解得 y=2p，即 A 2p,2p .
2
B C C x =2py x=-2p为曲线 与 3交点，联立方程 y2=-2px，解得 y=2p ，即 B -2p,2p .
又因为 AB = 8= 2p- -2p = 4p，故 p= 2.故 A正确；
对于 B 1：由上述过程可得，A 4,4 ，B -4,4 ，△ABO的面积为 8× 4× 2 = 16.故 B正确.
对于C：由于对称性，阴影部分在四个象限的图形全等，故只讨论第一象限部分.
第一象限部分依然根据对称性，可分为两份，以下只讨论曲线C与直线 y= x围成的部分.
设该阴影部分面积为 S ，显然 S= 8S .
设函数 f x = 1 x24 ，则 f
1 x = 2 x.故过 A点的切线斜率为 2.
因此过 A点的切线方程为 y= 2x- 4.该切线与 x轴交于M，故M 2,0 .
S < S 1△AOM= 2 × 2× 4= 4.故 S< 8S△AOB= 32.故C正确；
对于D：第二象限的“花瓣”图形由曲线C和曲线C3围成，两者关于 y=-x对称.
直线 y= x+ b与曲线C相交，联立方程化简得 x2- 4x- 4b= 0，且交点在第二象限，
所以 x< 0，故 x= 2- 2 1+b，所以交点坐标 2-2 1+b ,2-2 1+b+b .
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由于“花瓣”图形仅限阴影部分区域，故-4≤ 2- 2 1+b≤ 0，即 1≤ 1+b≤ 3.
由于C3与C关于直线 y=-x对称，直线 y= x+ b亦关于直线 y=-x对称，
所以直线 y= x+ b与C3的交点坐标为 2 1+b-2-b,2 1+b-2 .
故弦长 l= 2 4+b-4 1+b
设 1+b=m，则 1≤m≤ 3，故 l= 2 m2-4m+3 = 2 m-2 2 -1 .
因此当m= 1或 3时，即 b= 0或 8时，直线 y= x+ b与两曲线交于一点，弦长为 0；
当m= 2时，即 b= 3时，弦长最长，此时 l= 2> 1.4.故弦长的取值可能为 1.4，故D正确.
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分
12.已知函数 f (x) = 2ax+ cos 2x- π4 在区间
π
- 2 ,0 上单调递增，则实数 a的最小值为 .
2
【答案】 2
【解析】f '(x) = 2a- 2sin 2x- π4 ，
因为函数 f (x) π在区间 - 2 ,0
上单调递增，
所以 f '(x) = 2a- 2sin 2x- π4 ≥ 0
π
在区间 - 2 ,0 上恒成立．
即 a≥ sin 2x- π π在区间 - ,0 4 2 上恒成立．
π π
因为 x∈ - 2 ,0 ，所以 2x- 4 ∈
5π π π
- 4 ,- 4 ，所以
sin 2x- 4 =
2
max 2 ，
所以 a≥ 22 ，即实数 a
2
的最小值为 2 .
13.已知 1+2x 6 0+ 4-x 6 0= a0+ a x+ a x21 2 + +a60x60，若存在 k∈ 0,1,2, ,60 使得 ak< 0，则 k的最大
值为 .
【答案】39
【解析】二项式 (1+ 2x)60的通项为 T =Cr (2x)r=Cr 2r rr+1 60 60 x , r∈ 0,1,2, ,60 ，
二项式 4-x 6 0的通项为 T =Cm 60-mm+1 604 (-x)m=Cm60 460-m (-1)m xm ,m∈ 0,1,2, ,60 ，
∴ ak=Ck60 2k+Ck 460-k60 (-1)k=Ck60 2k+460-k (-1)k ，k∈ 0,1,2, ,60 ，
若 ak< 0，则 k为奇数，
此时 a =Ckk 60 2k-460-k ,∴ 2k- 460-k< 0，
得 2k< 22 60-k ，
∴ k< 120- 2k ,∴ k< 40，又∵ k为奇数，∴ k的最大值为 39.
14.下图是由七个圆和八条线段构成的图形 (该图形不能旋转和翻转)，其中由同一条线段连通的两个圆称
作“相邻的圆”.若将 1，2，3，4，5，6，7这七个数字分别填入这七个圆中，且满足带有阴影的圆中的数字
大于其所有相邻的圆中的数字，则符合要求的填法共有 种.
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【答案】200
【解析】将有阴影的圆分别标为 a , b , c，
由于带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字，
当阴影的圆中的数字为 7 , 6 , 5时，则将 7 , 6 , 5填在 a , b , c中有 A33种方法，接着剩下的 4个数字填到圆
中有 A4种方法，所以共有 A3A44 3 4= 144种方法；
当阴影的圆中的数字为 7 , 6 , 4时，若将 4填到 c，则接着安排 7 , 6有 A22种方法，与 c相邻的两个圆只能
从 1 , 2 , 3中选两个有 A23种方法，剩下两个数有 A22种填法，所以共有 A2 2 22A3A2= 24种方法；
若将 4填到 a或 b，有 2种方法，则接着安排 7 , 6有 A22种方法，与 4相邻的三个圆只能填 1 , 2 , 3有 A33种
方法，剩下一个数有 1种填法，所以共有 2A33A22= 24种方法；
当阴影的圆中的数字为 7 , 6 , 3时，则 3只能填到 c，则接着安排 7 , 6有 A22种方法，与 c相邻的两个圆只能
安排 1 , 2有 A2种方法，剩下两个数有 A2种填法，所以共有 A2A2 22 2 2 2A2= 8种方法；
所以总共有 144+ 24+ 24+ 8= 200种填法.
四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知函数 f x = xlnx-mx+ 1 m∈R ．
(1)当m= 1时，讨论 f x 的单调性；
(2)若 x∈ 0,+∞ , f x ≥ 0，求m的取值范围.
【解析】(1)当m= 1时，f x = xlnx- x+ 1，x> 0，则 f x = lnx，
令 f x < 0，得 0< x< 1，令 f x > 0，得 x> 1，
所以函数 f x 在 0,1 上单调递减，在 1,+∞ 上单调递增.
(2)由 f x = xlnx-mx+ 1≥ 0，则 lnx+ 1x ≥m对于 x∈ 0,+∞ 恒成立，
g x = lnx+ 1 x∈ 0,+∞ g x = 1 - 1 = x-1设 x ， ，则 x 2 2 ，x x
令 g x < 0，得 0< x< 1，令 g x > 0，得 x> 1，
所以函数 g x 在 0,1 上单调递减，在 1,+∞ 上单调递增，
则 g x min= g 1 = 1，即m≤ 1，则m的取值范围为 -∞,1 .
16.如图，在四棱锥 P- ABCD中，底面 ABCD为菱形，E，F分别为CD，PA的中点.
(1)证明：EF 平面 PBC；
(2)若平面 PAB⊥平面 ABCD，PA= PB，AB= 2，∠BAD= 60°，平面 PAE与平面 PAB夹角的余弦值为
4 31
31 ，求点 F到平面 PBC的距离.
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【解析】(1)取 PB中点G，连接 FG ,GC，
∵ E , F ,G分别为CD , PA , PB的中点，
∴ FG AB且 FG= 12 AB，CE AB且CE=
1
2 AB，
∴ FG CE，且 FG=CE，则四边形CEFG为平行四边形，
∴ EF CG，∵ EF 平面 PBC ,CG 平面 PBC，
∴ EF 平面 PBC.
(2)取 AB中点O，连接OP，OD，BD
因为 PA= PB，所以 PO⊥ AB，
∵平面 PAB⊥平面 ABCD，PO 面 PAB，AB为交线，
∴ PO⊥平面 ABCD，∵∠BAD= 60°，
∴△ABD为正三角形，∴OD⊥ AB，
以O为原点，分别以OB，OD，OP为 x，y，z轴建系，如图，
设OP= t，t> 0
则 P(0 , 0 , t)，A(-1 , 0 , 0)，B(1 , 0 , 0)，E(1 , 3 , 0)，C(2 , 3 , 0)，
所以 AP= (1 , 0 , t) , AE= (2 , 3 , 0) , BC= 1, 3 ,0 ，
易知平面 PAB的法向量可取m= (0 , 1 , 0)，
设平面 PAE的法向量为 n= (x , y , z)，
n A E =2x+ 3 y=0 3因为 ，令 x= \sqrt3，可取 n= 3 ,-2,- t ，n AP=x+ tz=0
所以 cos m , n = |m n| 2 4 31 = = 31 ，解得 t= 2，|m||n| 7+ 3t2
1 3
所以 F - 2 ,0,1 ，BF= - 2 ,0,1 ，PB= 1,0,-2 ，
设平面 PBC的法向量为 l = (a , b , c)，
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l P B =a-2c=0 2因为 ，令 a= 2，可得 l = 2,- ,1l BC=a+ 3b=0 3 ，
BF l -3+1 2 2 57
所以 d= = = =
l 4+ 4 +1 19 19
.
3 3
a -2,n=2k-1
17.已知 an 和 bn 是各项均为整数的数列，若 an 为等差数列， bn 满足 bn=
n
,k∈ N *2a ，n,n=2k
记 Sn，Tn分别为数列 an ， bn 的前 n项和，且 S4= 16，T3= 10．
(1)求 an 的通项公式；
(2)求数列 bn 的前 n项和 Tn.
【解析】
(1)设等差数列 an 的首项为 a1= 2，公差为 d，
4×3
由 S4= 16，得 4a1+ 2 d= 16，
化简得 2a1+ 3d= 8，
又 T3= b1+ b2+ b3= a -2 + 2a21 + a3-2 ，
因为 an 为等差数列，故 a1+ a3= 2a2，代入得 T3= 2a2+ 2a2- 4= 10，
即 2a2+ 2a2= 14①
结合 an 各项为整数，则 a2= 3为满足题意的一个解，
又函数 f x = 2x+ 2x- 14在 R上单调递增，所以 2a2+ 2a2= 14，当且仅当 a2= 3，即 a1+ d= 3②
联立 2a1+ 3d= 8和 a1+ d= 3，解得 a1= 1 , d= 2，
所以 an 的通项公式为 an= 2n- 1．
(2) 2n-3, n为奇数由 (1)得 an= 2n- 1 , bn= 22n-1 ，, n为偶数
情形 1：当 n= 2k , k∈N *，
设 bn 前 2k项和 T2k分为奇数项和与偶数项和，
奇数项和 (共 k项)：首项 b1=-1，末项 b2k-1= 4k- 5，公差为 4的等差数列，
k -1+4k-5
其和为 = 2k22 - 3k，
8
( k ) b = 8 16
16k-1 8 16k-1= 偶数项和 共 项 ：首项 2 ，公比为 的等比数列，其和为 16-1 15 ，
n
n 2 8 16 2-1 2k= T = 2 n - 3 n + = n -3n
8 4n-1
将 2 代入，化简得 n 2 2 15 2 + 15 ；
情形 2：当 n= 2k- 1 , k∈N *时，设 bn 前 2k- 1项和 T 4k-12k-1= T2k- b2k，其中 b2k= 2 ．
8 16k-1 8 16k-1
由情形 1得 T 22k= 2k - 3k+ 15 ，代入得 T2k-1= 2k
2- 3k+ 15 - 2
4k-1，
n+1
n+1 2 8 16 2 -1 n+1 2 n
将 k= 2 代入，化简得 2
n+1 - 3 n+1 + - 24 2 -1= n -n-2 + 2 4 -82 2 15 2 15 ，
n2-n-2 2 4nT = + -8即 n 2 15 ，
n
2-n-2 n 2 2n+1
2 +
2 4 -8
15 ,n为奇数
n -n-2 + 2 -8 ,n为奇数
综上所述 Tn= 2 8 4n-1 ( T =
2 15
或
n -3n n n2-3n 22n+3 + ,n + -8
).
2 15 为偶数 2 15 ,n为偶数
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2 2
18.已知点 3 , 6 x 在离心率为 2的双曲线C： 2 -
y
2 = 1 a>0,b>0 上，直线 l：y= kx+m交双曲线Ca b
的右支于M，N两点．
(1)求双曲线C的方程．
(2)线段MN的垂直平分线过点 T 0,4 ．
①探究并写出m与 k的关系式；
②求 cos∠MTN的取值范围.
(1) C x
2 y2 2- = 1 a +b
2
【解析】 由双曲线 ： 的离心率为 2，得 = 4，解得 b2= 3a2．
a2 b2 a2
x2, - y
2
又因为点 3 6 在双曲线C 3 6： 22 2 = 1上，则 2 - 2 = 1，解得 a = 1，b
2= 3，
a b a b
y2
所以双曲线C的方程为 x2- 3 = 1．
(2)①设M x1,y1 ，N x2,y2 ，
y=kx+m联立 2 消去 y得 3-k2 x2- 2kmx-m2- 3= 0，x2- y3 =1,
所以Δ= 4k2m2+ 4 3-k2 m2+3 > 0，即m2+ 3> k2，
2
且 x + x = 2km m +31 2 2 ，x1x2=-
2
2 ，由 x1x2> 0，得 k > 3，所以m≠ 0．3-k 3-k
则 y1+ y2= kx1+m+ kx2+m= k x1+x2 + 2m=
6m
．
3-k2
x +x
因为线段MN的中点为D 1 2
y1+y2 km 3m
2 , 2 ，所以D 2 , 2 ．3-k 3-k
因为线段MN的垂直平分线过点 T 0,4 ，
4- 3m3-k2
则 km k=-1，整理得m= 3- k
2．
0- 3-k2
结合m2+ 3> k2，得 k2> 4，所以m= 3- k2，k2> 4．
②由①知，m= 3- k2，
m2x + x = 2k x x =- +3则 1 2 ，1 2 m ，D k,3 ．
因为点M，N是直线 l与双曲线C的右支的交点，所以 x1+ x2> 0，x1x2> 0，则 k> 0，m< 0，
则m2+ 3> k2= 3-m，解得m<-1．
2
因为 MN = k2+1 x 21+x2 -4x 2 21x2= k +1 4k +4 m +3m
2
= k2+1 4 3-m +4 m +3m = 2 k
2+1 3+ 3m ，
所以 MD 1 = 2 MN = k
2+1 3+ 3m ．
又因为 TD = k-0 2 + 4-3 2 = k2+1，
MD
所以 tan∠MTD= = 3+ 3m ∈ 0, 3 ∠MTD∈ 0,
π
，即 ．
TD 3
因为∠MTN= 2∠MTD，
所以∠MTN的取值范围为 0, 2π3 ，即 cos∠MTN
1
的取值范围为 - 2 ,1 .
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19.拿破仑排兵布阵是十分厉害的，有一次他让士兵站成一排，解散以后马上再重新站成一排，并要求这些
士兵不能站在自己原来的位置上．
(1)如果只有 3个士兵，那么重新站成一排有多少种站法？ 4个呢？
(2)假设原来有 n个士兵，解散以后不能站在自己原来位置上的站法为Dn种，写出Dn+1和Dn ,Dn-1(n≥
2)之间的递推关系，并证明：数列 Dn-nDn-1 n≥2 是等比数列；
(3)假设让站好的一排 n个士兵解散后立即随机站成一排，记这些士兵都没有站到原位的概率为 Pn，证
1 x2 x3n P ( ex= 1+ x+ + + + x
n
明：当 无穷大时， n趋近于 e ． 参考公式： 2! 3! n! + ).
【解析】(1)当有 3个士兵时，重新站成一排有 2种站法；
当有 4个士兵时，假设先安排甲，有 3种站法，若甲站到乙的位置，那就再安排乙，也有 3种站法，
剩下的两个人都只有 1种站法，由分步乘法计数原理可得有 3× 3× 1× 1= 9种站法．
(2)易知D1= 0，D2= 1．
如果有 n+ 1个人，解散后都不站原来的位置可以分两个步骤：
第一步：先让其中一个士兵甲去选位置，有 n种选法；
第二步：重排其余 n个人，根据第一步，可以分为两类：
第一类：若甲站到乙的位置上，但乙没有站到甲的位置，这样的站法有Dn种；
第二类：若甲站到乙的位置上，乙同时站到甲的位置，这样的站法有Dn-1种．
所以Dn+1= n Dn+Dn-1 ，n≥ 2，又D2- 2D1= 1，
Dn+1- n+1 Dn n Dn+D= n-1
- n+1 Dn -Dn+nD
所以 n-1Dn-nDn-1 Dn-nD
=
n-1 Dn-nD
=-1．
n-1
所以数列 Dn-nDn-1 ，n≥ 2是首项为 1，公比为-1的等比数列
(3)由题意可知 P = Dnn n! ，
-1 n
由 (2)可得：Dn- nD = -1 n
D D
n-1 ，则
n n-1
n! - = n-1 ! n!
．
D D -1 n -1 D n-2
对 n进行赋值，依次得： n-1 - n-2 = ， n-2 - Dn-3
-1
= D， ， 2 - D1
n-1 ! n-2 ! n-1 ! n-2 ! n-3 ! n-2 ! 2! 1!
= 12!
D D 1 1 1 1 -1 n
将以上各式左右分别相加，得： n 1n! - 1! = 2! - 3! + 4! - 5! + + n! ，因D1= 0，
Dn 1 -1 n则 n! = 2! -
1 + 1 - 13! 4! 5! + +
n! ．
-1 n -1 n
P = Dn = 1 - 1 + 1 - 1 + + = 1- 1+ 1 - 1 + 1 - 1 + + 即得 n n! 2! 3! 4! 5! n! 2! 3! 4! 5! n! ，
-1 n
当 n无穷大时，Pn= 1- 1+ 12! -
1 1 1 -1 1
3! + 4! - 5! + + n! + = e = e ，得证.
数学试题 第 12 页 共 12 页杭州学军中学2025学年高二（下）数学周末练(2)
班级：
姓名：
一单选恩
1.若函数()=x2+的图象在点（仙，2）处的切线也是函数g()=e+m的图象的切线，则实数m=（)
A.2
B、-1
C.0
D.1
2、有6位身商不同的同学站成前后两排拍照，每排3人，若后排每位同学比他正前面的同学身高高，则不同的站
法种数为()
A、90
B.120
C.270
D2720
已灰医煮/闲-低”，不带0-对台都袋为(
:
A.（9,1)
B.1t∞)
c.←i0
D.-12
4.己知双曲线云_二-1的左右焦点分别是F,乃，2是双曲线右支上的动点，过R作∠R2平分线的垂线，
972
垂足为M,则点M的轨迹方程为（)
A.x+y2=9(-1B.+y2=9(-1≤xs3)
C.x2+y2=3-1D.x2+y2=3(-15x≤3)
5.将1,2,3，，10这10个数平均分成年、乙两组，若乙组的第，75行分位数恰为甲组的中位数的2倍，则不
同的分组个数为（)
A.18
B.20
('22
)24
6.已知数列{a}的前n项和S,=,数列{
得
的前n项和为T,若Tn≤m对任意的neN恒成立，则整数m的最
小值为()
A,2
B.3
C.4
D,5
7.在计算机科学中，八进制是一种数字表示法，它使用0-7这八个数字来表示数值例如，八进制数2051换算成
十进制数是2x8+0×82+5×8+1×8°=1065，那么八进制数333,3换算成十进制数m,则十进制数m的个位数字为
20个1
()
A.4
B.5
C.6
D,7
8.设集合4=么46，，2小，4，是樂合4的所有三元子架的元素和之和，令8=之二（≥3），则3=（)
后a
A.aa+2+B.a+c.a-2+3D.a=a+2
6(n+1)
2n(n+1)
0000000
多选题
9.若(3x+1)(x-2°=a+ax+ax2+…+a,x(a。≠0)，则()
A.n=5
B.44=130
C.4+42++a6=28
D.q+2a2+3a+…+6a6=23
10.如图，在棱长为2的正方休ABCD-AB,CD中，M,N分别是线段AB,AC上的动点（不含端点），且
AM=AW=a,则下列结论正萌的是（)
A.若a=V万，则直线Mw与直线A的夹角为号
C
B。三棱锥M-ABN体积的故大值为兮
C.存在a∈0,22)，使得MN/I平面B,CD,
D.若a=√互，则三棱锥M-ABW外接球的表面积为8π
1、如图“四角花瓣图形可以看作由抛物线C:×=2p(口>0)绕坐标原点分别旋转受后所得三条曲线与C共
同围成的区域（阴影区域），AB分别为C与另外两条曲线在第一象限、第二象限的交点，若B=8,阴影部分的
面积为$，则()
A.P=2
B.△AOB的面积为32
C.s的值比32小
D.直线y=x+b截第.二象限“花瓣"的弦长可能为1.4
三、填空理
12。已知函数/()=2m+c02x-引在区间-受0上单调递端，则实数a的最小值为
13.已知(1+2x)°+(4-x)=a+4x+a22++ax°，若存在∈{0,12，…，60}使得a<0,则k的最大值为
14,由七个圆和八条线铰构成的图形（图形不能旋转和翻转），其中由同一条线段连通的两
个圆称作相邻的圆”若将1,2,3,4,5,6,7这七个数学分别填入这七个圆中，且满足
带有阴影的圆中的数字大于其所有扣邻的圆中的数字，则符合要求的填法共有
种
四、解答冠
15.已知函数∫(x)=x-mx+1(meR)
()当m=1时，讨论∫(x)的单调性
②)若x∈(0，+四)，∫(x)20,求m的取值范围；
0000000
