河北衡水市第二中学等校 2025- 2026学年高三下学期一模
数学试题
★祝大家学习生活愉快★
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，每小题只有一个选项符合要求
1. a
已知两个单位向量 , b互相垂直，则 a - 2b =
A. 3 B. 2 C. 5 D. 3
【答案】A
2 2 2
【解析】依题意得 a- 2b = a - 2 2a b+ 2 b = 12- 0+ 2× 12= 3 , 则 a- 2b = 3 .
2. A= y∣y= lg 4-x 2设集合 , B= y y= x + ,则 A∩ B= x
A. 2 2 ,+∞ B. 2 2 ,4 C. 3,+∞ D. 3,4
【答案】A
【解析】因为 A= R , B= 2 2 ,+∞ ,所以 A∩ B= 2 2 ,+∞ .
3.若 z2=-3+ 4i ,则 z的虚部与实部的比值为
A. 1 B. 3 C. 13 2 D. 2
【答案】D
2 2
【解析】设 z= a+ bi a,b∈R ,则 z2= a2- b2+ 2abi=-3+ 4i , a -b =-3, a=1, a=-1,则 2ab=4, 解得 b=2 或 b=-2,
故 z b的虚部与实部的比值为 a = 2.
4.在正四面体 ABCD中, E为棱 BC的中点,CF= 3FD ,CG= 3GA ,则 cos∠GEF=
A. 27 B.
5 C. 3 D. 3 714 7 14
【答案】B
【解析】连接GF ,设正四面体 ABCD的棱长为 4,
则CE= 2 ,CF=CG= 3 , ∠BCA=∠ACD=∠BCD= π3 ,
则△CFG为正三角形,所以 FG=CF= 3 ,由余弦定理得 EF= EG= 7 ,
cos∠GEF= 7+7-9 5故 2×7 = 14 .
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5.某市为了鼓励市民节约用水，计划实施阶梯水价政策.现随机抽取 1000户居民，统计其月用水量 (单位:
吨)，并绘制出如图所示的频率分布直方图.若用这 1000户居民的月用水量的 80%分位数作为月用水量
的临界值 (精确到 0.1)，使得月用水量不超过该值的用户不受水价上调的影响，则该市月用水量的临界值
为
A. 26.8吨 B. 27.7吨 C. 28.3吨 D. 29.2吨
【答案】C
【解析】由频率分布直方图可知,前五组的频率之和为 5× 0.01+0.02+0.03+0.05+0.03 = 0.7,前六组
的频率之和为 5× 0.03+ 0.7= 0.85 ,设该市月用水量的临界值为 x0吨,则 x0∈ [25, 30),
由 x0-25 × 0.03= 0.1 ,得 x0≈ 28.3 ,故该市月用水量的临界值为 28.3吨.
6.若 3sin α2 + cos
α > 1 5π2 2 ,则 cos α- 3 的取值范围是
A. -1, 7 8 B.
7
8 ,1
C.
3
-1, 4 D.
3
4 ,1
【答案】A
【解析】因为 3sin α2 + cos
α
2 = 2sin
α
2 +
π 1
6 > 2 , sin
α + π所以 2 6 >
1
4 ,
cos α- 5π
2
所以 3 = cos α+
π = 1- 2sin2 α + π3 2 6 < 1- 2×
1 7
4 = 8 ,
cos α- 5π又 3 ∈ -1,1 ,所以 cos α-
5π
3 的取值范围是 -1,
7
8 .
7.函数 f x = 32 55 x - 6x
4+ x2- 2的极值点的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】由 f x = 32x4- 24x3+ 2x= 2x 16x3-12x2+1 = 2x 2x-1 8x2-2x-1 = 2x(4x+ 1) 2x-1 2
= 0 ,得 x=- 14 或 0
1
或 2 .
当 x∈ -∞,- 14 时, f x > 0 , f x
1
单调递增;当 x∈ - 4 ,0 时, f x < 0 , f x 单调递减;当 x∈
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0, 12 时, f x > 0 , f x 单调递增; x∈
1
当 2 ,+∞ 时, f x > 0 , f x 单调调递增.
所以 f x 在 x=- 14 处取得极大值,在 x= 0处取得极小值,故 f x 的极值点的个数为 2.
8.若非负数 x , y满足 y2- 2 x= 6 y2-x ,则 y的最大值为
A. 42 B. 42 C. 2 10 D. 40
【答案】C
【解析】令 x= a≥ 0 , y2-x= b≥ 0 ,所以 a2+ b2= y2 ,则 a2+b2= y.
因为 y2- 2 x= 6 y2-x ,所以 a2+ b2- 2a= 6b,
则 a-1 2 + b-3 2 = 10 a≥0,b≥0 ,则点 a,b 的轨迹为圆 (a- 1)2+ b-3 2 = 10不在第二、四象限
的部分,则 a2+b2 表示点 (a, b)到坐标原点O的距离，由图可知，该距离的最大值为 2 10，此时 x= a
= 2 , y2-x= b= 6 ,即 x= 4 , y= 2 10 ,所以 y的最大值为 2 10 .
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9.若函数 f x =-1- sinωx ω>0 在 0,π 内存在唯一的 x0 ,使得 f x0 =-2 ,则ω的取值可能为
A. 12 B. 1 C.
5
2 D. 3
【答案】BC
【解析】由 f x0 =-2 ,得-1- sinωx0=-2 ,即 sinωx0= 1在 0,π 内存在唯一的解.当 x∈ 0,π 时,ωx
∈ 0,ωπ , π 5π 1 5 则 2 <ωπ≤ 2 ,即 2 <ω≤ 2 .
10.已知函数 f x 的定义域为 R，且对任意实数 x，y，f x+y + f x-y + f y-x + f 1+y = 3x+ 6y- 5
恒成立，则
A. f 1 = 1 B. xf 1 x 的最小值为- 3
C. f 2 < 4 D. f x 2 的图象关于点 3 ,0 对称
【答案】ABD
【解析】令 y= 0 ,得 2 f x + f -x + f 1 = 3x- 5 ,以-x替代 x ,得 2 f -x + f x + f 1 =-3x- 5 ,
消去 f -x ,得 3 f x + f 1 = 9x- 5.
再令 x= 1 ,得 4 f 1 = 4 ,即 f 1 = 1 ,所以 3 f x = 9x- 6 ,即 f x = 3x- 2 ,则 f 1 = 1, f 2 = 4, A正
2
确,C错误. xf x = 3x2- 2x= 3 x- 13 -
1
3 ,
1 1
当 x= 3 时, xf x 取得最小值,且最小值为- 3 , B正确.
2 2
因为 f 3 = 0 ,所以 f x 的图象关于点 3 ,0 对称,D正确.
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11.已知正方形 ABCD的边长为 2 , PA⊥平面 ABCD ,QB⊥平面 ABCD , P ,Q在平面 ABCD的同一侧,且
PA=QB= 2 ,则
A. 点Q在四棱锥 P- ABCD外接球的球面上
B. 四棱锥Q- ABCD内切球的表面积为 26-16 2 π
C. 四棱锥 P- ABCD与四棱锥Q- ABCD 5公共部分的体积为 3
D. 四棱锥Q- ABCD的四个侧面所在平面将空间分成 14个部分
【答案】ACD
【解析】将四棱锥 P- ABCD补成一个正方体 (图略) ,则四棱锥 P- ABCD的外接球为该正方体的外接
球,因为点Q是该正方体的一个顶点,所以点Q在四棱锥 P- ABCD外接球的球面上, A正确.
四棱锥Q- ABCD的体积V= 13 × 2
2× 2= 83 ，侧面积 S1= S△QAB+ S△QBC+ S△QCD+ S△QDA= 2+ 2+ 2 2
+ 2 2= 4+ 4 2 ,表面积 S= S1+ 4= 8+ 4 2 ,则四棱锥Q- ABCD R= 3V = 8内切球的半径 S 8+4 2
= 2- 2 ,则该内切球的表面积为 4πR2= 24-16 2 π, B错误.
连接 PQ ,易证 PQ AB CD , PQ= AB=CD ,则四边形CDPQ和四边形 ABQP均为平行四边形,设
PB∩ AQ= E , PC∩DQ= F ,则 E , F分别为 PB , PC的中点,设 AD , BC的中点分别为G,H ,连接 EF ,
GH , FG , FH ,则四棱锥 P- ABCD和四棱锥Q- ABCD的公共部分为几何体 ABCDFE ,其体积为四棱
锥 F-CDGH和三棱柱 ABE-GHF 1 1 5的体积之和,即 3 × 2× 1× 1+ 2 × 2 × 2 × 1= 3 ,C正确.
三个过同一点的平面将空间分成 8个部分,一个过该点的且不与这三个平面重合的平面将穿过其中的 6
个部分，则四棱锥Q- ABCD(图中黑色的四条粗线所在直线可以视为这个四棱锥的四条侧棱所在直线)
的四个侧面所在平面将空间分成 8+ 6= 14个部分，D正确.
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分
12.设 x 表示不超过 x的最大整数，则不等式 1≤ 2 x ≤ 4的解集为 .
【答案】 0,3
【解析】因为 1≤ 2 x ≤ 4，所以 0≤ x ≤ 2，则 x∈ 0,3 .
13. P C : x
2
+ y
2
已知 是椭圆 9 5 = 1上一点，点 A -2,0 ，B 2,0 ，若 PA = 2 PB ，过点 A作 PB的垂线，垂足
为H，则 AH = ，点H到 y轴的距离为 .
7
【答案】 15 ; 4
【解析】因为 A -2,0 ，B 2,0 分别为C的左、右焦点，所以 PA + PB = 2a= 6，又 PA = 2 PB ,所以
2
PA = 4 , PB = 2 ,因为 AB = 4 ,所以 AH = 42- 22 = 15 .
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设点H在 x轴上的射影为G ,O为坐标原点,则 BG = BH cos∠ABH= 1× 1 = 14 4 ,则点H到 y轴的距
OG = OB - BG = 7离为 4 .
14.来自某校高二年级的 4名男生和 3名女生组成的 7人团队参加数学建模竞赛.该竞赛包含方案设计、模型
构建、编程实现、成果展示四个环节，分配规则如下:①每个环节至少安排 1名选手，每人只参加 1个环
节;②方案设计环节人数多于模型构建环节人数;③编程实现环节至少安排 2人，且至少有 1名女生；④
成果展示环节人数不超过方案设计环节人数.根据分配规则，该团队参赛的不同的人员分配方案共有
种.
【答案】1122
【解析】环节一的人数大于环节二的人数，环节一的人数大于或等于环节四的人数，故环节一至少有 2个
人，环节一、环节二和环节四至少共有 4个人，因此环节三最多有 3个人.
当环节三有 3个人时，则有可能是 3个女生，或者 2个女生和 1个男生，或者 1个女生和
2个男生，则安排好环节三有C3+C2C1+C13 3 4 3C24= 31种方案.剩余 4个人,环节一必然有 2个人，环节二和
环节四各有 1个人，则安排好环节一、环节二和环节四有C24C12= 12种方案.所以安排好四个环节共有 31
× 12= 372种方案.
当环节三只有 2个人时，则有可能是 2个女生，或者 1个女生和 1个男生，则安排好环节三有C2+C1C13 3 4=
15种方案.剩余 5个人,当环节一有 2个人时,环节四有 2个人,环节二有 1个人,此时有C25C23= 30种方
案;当环节一有 3个人时,环节四有 1个人,环节二有 1个人,此时有C35C12= 20种方案.所以安排好四个环
节共有 15× 30+20 = 750种方案.
综上,满足条件的安排方案共有 372+ 750= 1122种.
四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.如图，在正三棱柱 ABC- A1B1C1中，D，E，F分别为棱 BB1，AA1，CC1的中点，G为线段 EF上的动点.
(1)证明: B1G 平面 ACD.
(2)若G为线段 EF的中点，且 AB= 4 , AA1= 2 2，求 AG与平面 ACD所成角的正弦值.
【解析】(1)证明:连接 B1E，B1F. 1分
因为 AE CF , AE=CF，所以四边形 ACFE为平行四边形，则 EF AC，2分
又 EF 平面 ACD , AC 平面 ACD ,所以 EF 平面 ACD. 3分
同理可得 B1F 平面 ACD. 4分
因为 B1F∩ EF= F ,所以平面 B1EF 平面 ACD. 5分
又 B1G 平面 B1EF，所以 B1G 平面 ACD. 6分
(2)解:取 AC的中点O，连接OB ,OG，在正三棱柱 ABC- A1B1C1中，OB⊥ AC，易证OB ,OC ,OG两两
垂直. 7分
以O为坐标原点,OC ,OB ,OG所在直线分别为 x , y , z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
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则 A -2,0,0 ,C 2,0,0 ,D 0,2 3 , 2 ,G 0,0, 2 , 8分
所以 AC= 4,0,0 , AD= 2,2 3 , 2 , AG= 2,0, 2 . 9分
设平面 ACD的法向量为 n= x,y,z ,则 n AC= 4x= 0 , n AD= 2x+ 2 3 y+ 2 z= 0, 10分
令 y= 1 ,得 n = 0,1,- 6 . 11分
由 cos< AG , n >= AG n = -2 3 =- 14 , 12分
AG n 6× 7 7
AG 14得 与平面 ACD所成角的正弦值为 7 . 13分
(2)法二：连接DG ,取 AC的中点O ,连接OD ,OG, 7分
易知OG BD ,OG= BD，则四边形OBDG为平行四边形，则DG BO. 8分
因为O为 AC的中点,所以 BO⊥ AC.因为 BD⊥平面 ABC ,所以 BD⊥ AC.
又 BD∩ BO= B ,所以 AC⊥平面OBDG. 9分
过G作OD的垂线,垂足为H ,因为GH 平面OBDG ,所以 AC⊥GH10分
2 3
又 AC∩OD=O ,所以GH⊥平面 ACD. 11分= ,
7
3
在矩形OBDG中,OG= BD= 2 ,DG= BO= 4× 2 = 2 3 , GH=
OG DG = 2×2 3则 OD 12分2+12
2 3
连接 AH，则 AG与平面 ACD所成的角为∠GAH，则 sin∠GAH= GH = 7 = 14AG 6 7
16.某工厂某设备每日出现故障的概率为 0.2，工厂采用一种自动化检测系统，若设备正常，检测结果为“正
常”的概率为 0.9,若设备故障,检测结果为“故障”的概率为 0.9,已知每日的检测结果相互独立.
(1)求某日检测结果与设备实际状态不符的概率.
(2)若该工厂对该设备进行连续 4天的检测，求恰有 2天的检测结果与实际不符的概率.
(3)使用自动化检测系统时，每日固定检测费为 100元，若检测结果为“故障”，则需花费 400元检修费 (检
修后无损失)，若检测结果为“正常”，但设备实际故障，则当日损失 2000元.若不使用自动化检测系统，每
日故障损失的期望为 280元，试问是否应该引进该自动化检测系统 说明你的理由.
【解析】(1)设某日检测结果与设备实际状态不符为事件 A，
则由全概率公式可得 P A = 1-0.2 × 1-0.9 + 0.2× 1-0.9 = 0.1,
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故某日检测结果与设备实际状态不符的概率为 0.1. 3分
(2)设恰有 2天检测结果与实际不符为事件 B，
则 P B =C2 2 24× 0.1 × 1-0.1 = 0.0486,
故恰有 2天检测结果与实际不符的概率为 0.0486. 7分
(3)应该引进该自动化检测系统，理由如下: 8分
设使用自动化检测系统时每日总支出 (即总损失)为 X元.
设备故障且被判为故障的概率为 0.2× 0.9= 0.18, 9分
设备正常却被判为故障的概率为 1-0.2 × 1-0.9 = 0.08, 10分
设备故障却被判为正常的概率为 0.2× 1-0.9 = 0.02, 11分
则 E X = 0.18+0.08 × 400+ 0.02× 2000+ 100= 244. 14分
因为 244< 280 ,所以应该引进该系统. 15分
17.已知集合 {x∈ Z ∣ an< x< bn , n∈N *)中元素的个数为 cn.
(1)若 an=-n , bn= 3n，求 c2.
(2)若 an ， bn 均为等差数列且 an< bn , an , bn∈ Z，证明: cn 也为等差数列.
(3)若 a = 2n- 2n n , bn+1= 2bn+ 2，且 b1= 10，求数列 cn 的前 n项和 Sn.
【解析】
(1)解:若 an=-n , bn= 3n，则 a2=-2 , b2= 9，
则满足-2< x< 9的整数为-1 , 0 , 1, , 8, 1分
共有 10个,故 c2= 10. 2分
(2)证明:因为 an , bn∈ Z，所以 cn= bn- an- 1，4分
所以 cn+1- cn= bn+1-an+1-1 - bn-an-1 = bn+1-bn - an+1-an . 5分
因为 an , bn 均为等差数列,所以可设 an+1- an= d1 , bn+1- bn= d2,
则 bn+1-bn - an+1-an = d2- d1为常数,故 cn 也为等差数列. 6分
(3)解:由 bn+1= 2bn+ 2，得 bn+1+ 2= 2bn+ 4，即 bn+1+ 2= 2 bn+2 ，7分
则数列 bn+2 是首项为 b1+ 2= 12，公比为 2的等比数列，
则 b + 2= 12 2n-1 ,即 b = 3 2n+1n n - 2> an. 8分
当 n= 1时，a1= 0，b1= 10，c1= 10- 0- 1= 9.
当 n= 2时, a2= 3 , b2= 22 , c2= 22- 3- 1= 18. 9分
当 n≥ 3时，0< 2n < 1，cn= 3 2
n+1- 2n- 2= 5 2n- 2. 11分
当 n= 2时, 5× 22- 2= 18= c , c = 9,n=1,2 则 n 5 2n-2,n≥2.
当 n≥ 2时，Sn= 9+ 5× 22+23+ +2n - 2 n-1 13分
22× 1-2n-1= 9+ 5× 1-2 - 2 n-1 = 5 2
n+1- 2n- 9, 14分
又 5× 21+1- 2- 9= 9= S1 ,所以 Sn= 5 2n+1- 2n- 9. 15分
18.已知函数 f x =-ax3+ 2xex.
(1)证明:存在m∈ R，使得曲线 y= f x 在点 m, f m 处切线的斜率为定值.
(2)当 a> 0时，讨论 f x 零点的个数.
(3)当 f x 的零点个数最多时，证明: f x 的零点之和大于 3.
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【解析】(1)证明: f x =-3ax2+ 2ex+ 2xex，1分
由-3x2= 0 ,得 x= 0 , f 0 = 2, 2分
则存在m= 0，使得曲线 y= f x 在点 m, f m 处切线的斜率为定值. 3分
x
(2)解:当 a> 0时，由 f x = x 2e -ax2+2ex = 0，得 x= 0或 a= 2 . 4分x
g x = 2e
x 2ex x-2
设函数 2 ,则 g
x =
x x3
,
令 g x < 0 ,得 0< x< 2 ,则 g x 在 0,2 上单调递减,令 g x > 0 ,得 x< 0或 x> 2 ,则 g x 在
-∞,0 上单调递增,在 2,+∞ 上单调递增. 5分
2
当 x> 0时, g x min= g 2 =
e
2 ,若 x→ 0 ,则 g x →+∞ ,若 x→+∞ ,则 g x →+∞. 6分
当 x< 0时, g x > 0 ,若 x→-∞ ,则 g x → 0 ,若 x→ 0 ,则 g x →+∞. 7分
e2 2ex
当 0< a< 2 时,方程 a= 2 只有一个非零实数解,则 f x 有两个零点; 8分x
2
a= e , a= 2e
x
当 2 时 方程 2 有两个非零实数解,则 f x 有三个零点; 9分x
2
a> e , a= 2e
x
当 2 时 方程 2 有三个非零实数解,则 f x 有四个零点. 10分x
2
(3)证明:由 (2)知，当 a> e2 时，f x 的零点个数最多，且 0为其中一个零点，
不妨设 x3< 0< x1< 2< x2, 11分
且 2ex1= ax21 , 2ex2= ax22 ,等式两边同时取对数并整理得 x1- 2lnx1= lna- ln2 , x2- 2lnx2= lna- ln2.
设函数 h x = x- 2lnx ,则 h x1 = h x2 = lna- ln2 , h 2 x-2 x = 1- x = x ,则 h x 在 2,+∞ 上单调
递增. 12分
2
因为 g x 在 -∞,0 2 e 上单调递增,且 g -1 = e < 2 ,所以-1< x3< 0. 13分
要证 x1+ x2+ x3+ 0> 3 ,只需证 x1+ x2> 4 ,即证 x2> 4- x1 ,因为 4- x1> 2 ,且 h x 在 2,+∞ 上单调
递增,所以只需证 h x2 > h 4-x1 ,即 h x1 > h 4-x1 , 14分
令函数 F x = h x - h 4-x , 0< x< 2,
2 x-2 2
则 F x = h x x-2 2-x
+ h 4-x = x + 4-x =- < 0, 15分x 4-x
所以 F x 在 0,2 上单调递减，则 F x > F 2 = 0，即 h x > h 4-x ，故 x1+ x2> 4. 16分
故当 f x 的零点个数最多时, f x 的零点之和大于 3. 17分
p
19.设抛物线Ω的顶点为坐标原点O ,焦点为 F ,且线段OF的中点为 4 ,0 p>0 .
(1)当 p= 8 7时，求Ω的准线方程.
(2)点 A为Ω上一动点，过 A作Ω的准线 l的垂线，垂足为H，设过 A，F，H三点可作双曲线C ,且C的两
个焦点均在 x轴上.
(1)若C过点O，求C的方程；
(ii)求C的离心率的取值范围.
【解析】(1)当 p= 8 7时，依题意得 F的坐标为 4 7 ,0 ，1分
所以Ω的准线方程为 x=-4 7 . 2分
(2) ( j)因为C的两个焦点均在 x轴上，且C经过 A，H，F，O，所以由对称性可知，C的中心为线段OF的
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p p中点，即O 4 ,0 ，实半轴长为 4 , 4分
2
x- p4 - y2设C的方程为 p 2 b2 = 1 b>0 . 5分 4
p p p
H的横坐标为- 2 , A ,H均在C上，则 A的横坐标为 4 × 2- - 2 = p，6分
p 2 p-
, 4
2p2 p2
设 A p y0 ,又 A在Ω上,所以 y2= 2p20 ,代入C的方程,得 p 2 - 2 = 1 ,解得 b
2=
b 4
. 8分
4
p 2 x- 4 y2
C的方程为 2 - 2 = 1. 9分p p
16 4
(ii) p p由题知, F 22 ,0 ,设 A x0,y0 ,则 y0= 2px0 ,H - 2 ,y0 .
p
当 x0≤ 2 时,过 A ,H , F三点不能作双曲线. 10分
当 x0=
3p
2 时,线段 AH中点的横坐标与 F的横坐标相等,过 A ,H , F三点不能作双曲线,
则 x0>
p
2 且 x0≠
3p
2 . 11分
x-h 2 2
因为C的两个焦点均在 x轴上, y所以可设C的方程为 2 - 2 = 1 a>0,b>0a b
,
2
p 2 h+
p
2 y20 x0-h 2F ,H , A y20将 的坐标代入C的方程,得 2 -h = a2①, 2 - 2 = 1②,a b a2 - 2 = 1③, 12b
分
p 2 p 2x0-p
②一③得 h+ = x -h 22 0 ，因为 x0> 2 ，所以 h= 4 ，13分
p 2 p 2x0-p 22 3p-2x
2
, a = -h = - = 0 由①得 2 2 4 16 ,
y20 =
x 20-h - - = 2x0+p y
2 2x +p 2
1 x h 0 = 0
8p 2x
- 1= 0
-p
由③得，
b2 a2
，而 0 4 ，则 ，b2 3p-2x 20 3p-2x 20
x 3p-2x 2
代入 y20= 2px
0 0
0 ,得 b2= , 15分4 2x0-p
e2= 1+ b
2
= 1+ 16x0 = 6x0-p 2p
a2 4 2x0-p 2x -p
= 3+
0 2x
, 16分
0-p
> p 3p由 x0 2 且 x0≠ 2 ,得 e
2> 3且 e2≠ 4.
故C的离心率的取值范围为 3 ,2 ∪ 2,+∞ . 17分
数学试题 第 9 页 共 9 页河北衡水市第二中学等校 2025- 2026学年高三下学期一模
数学试题
★祝大家学习生活愉快★
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，每小题只有一个选项符合要求
1.已知两个单位向量 a , b 互相垂直，则 a- 2b =
A. 3 B. 2 C. 5 D. 3
2.设集合 A= y∣y= lg 4-x 2 , B= y y= x + ,则 A∩ B= x
A. 2 2 ,+∞ B. 2 2 ,4 C. 3,+∞ D. 3,4
3.若 z2=-3+ 4i ,则 z的虚部与实部的比值为
A. 13 B. 3 C.
1
2 D. 2
4.在正四面体 ABCD中, E为棱 BC的中点,CF= 3FD ,CG= 3GA ,则 cos∠GEF=
A. 2 B. 5 C. 3 D. 3 77 14 7 14
5.某市为了鼓励市民节约用水，计划实施阶梯水价政策.现随机抽取
1000户居民，统计其月用水量 (单位:吨)，并绘制出如图所示的频
率分布直方图.若用这 1000户居民的月用水量的 80%分位数作为
月用水量的临界值 (精确到 0.1)，使得月用水量不超过该值的用户
不受水价上调的影响，则该市月用水量的临界值为
A. 26.8吨 B. 27.7吨
C. 28.3吨 D. 29.2吨
6. 3 sin α + cos α若 2 2 >
1
2 ,则 cos α-
5π
3 的取值范围是
A. -1,
7
8 B.
7
8 ,1 C. -1,
3 D. 3 ,1 4 4
7.函数 f 32 x = x55 - 6x
4+ x2- 2的极值点的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
数学试题 第 1 页 共 4 页
8.若非负数 x , y满足 y2- 2 x= 6 y2-x ,则 y的最大值为
A. 42 B. 42 C. 2 10 D. 40
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9.若函数 f x =-1- sinωx ω>0 在 0,π 内存在唯一的 x0 ,使得 f x0 =-2 ,则ω的取值可能为
A. 12 B. 1 C.
5
2 D. 3
10.已知函数 f x 的定义域为 R，且对任意实数 x，y，f x+y + f x-y + f y-x + f 1+y = 3x+ 6y- 5
恒成立，则
A. f 1 = 1 B. xf 1 x 的最小值为- 3
C. f 2 < 4 D. f 2 x 的图象关于点 3 ,0 对称
11.已知正方形 ABCD的边长为 2 , PA⊥平面 ABCD ,QB⊥平面 ABCD , P ,Q在平面 ABCD的同一侧,且
PA=QB= 2 ,则
A. 点Q在四棱锥 P- ABCD外接球的球面上
B. 四棱锥Q- ABCD内切球的表面积为 26-16 2 π
C. 四棱锥 P- ABCD 5与四棱锥Q- ABCD公共部分的体积为 3
D. 四棱锥Q- ABCD的四个侧面所在平面将空间分成 14个部分
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分
12.设 x 表示不超过 x的最大整数，则不等式 1≤ 2 x ≤ 4的解集为 .
2 y2
13. x已知 P是椭圆 C : 9 + 5 = 1上一点，点 A -2,0 ，B 2,0 ，若 PA = 2 PB ，过点 A作 PB的垂线，垂足
为H，则 AH = ，点H到 y轴的距离为 .
14.来自某校高二年级的 4名男生和 3名女生组成的 7人团队参加数学建模竞赛.该竞赛包含方案设计、模型
构建、编程实现、成果展示四个环节，分配规则如下:①每个环节至少安排 1名选手，每人只参加 1个环
节;②方案设计环节人数多于模型构建环节人数;③编程实现环节至少安排 2人，且至少有 1名女生；④
成果展示环节人数不超过方案设计环节人数.根据分配规则，该团队参赛的不同的人员分配方案共有
种.
四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.如图，在正三棱柱 ABC- A1B1C1中，D，E，F分别为棱 BB1，AA1，CC1的中点，G为线段 EF上的动点.
(1)证明: B1G 平面 ACD.
(2)若G为线段 EF的中点，且 AB= 4 , AA1= 2 2，求 AG与平面 ACD所成角的正
弦值.
数学试题 第 2 页 共 4 页
16.某工厂某设备每日出现故障的概率为 0.2，工厂采用一种自动化检测系统，若设备正常，检测结果为“正
常”的概率为 0.9,若设备故障,检测结果为“故障”的概率为 0.9,已知每日的检测结果相互独立.
(1)求某日检测结果与设备实际状态不符的概率.
(2)若该工厂对该设备进行连续 4天的检测，求恰有 2天的检测结果与实际不符的概率.
(3)使用自动化检测系统时，每日固定检测费为 100元，若检测结果为“故障”，则需花费 400元检修费 (检
修后无损失)，若检测结果为“正常”，但设备实际故障，则当日损失 2000元.若不使用自动化检测系统，每
日故障损失的期望为 280元，试问是否应该引进该自动化检测系统 说明你的理由.
17.已知集合 {x∈ Z ∣ an< x< bn , n∈N *)中元素的个数为 cn.
(1)若 an=-n , b = 3nn ，求 c2.
(2)若 an ， bn 均为等差数列且 an< bn , an , bn∈ Z，证明: cn 也为等差数列.
(3)若 an= 2n- 2n , bn+1= 2bn+ 2，且 b1= 10，求数列 cn 的前 n项和 Sn.
数学试题 第 3 页 共 4 页
18.已知函数 f x =-ax3+ 2xex.
(1)证明:存在m∈ R，使得曲线 y= f x 在点 m, f m 处切线的斜率为定值.
(2)当 a> 0时，讨论 f x 零点的个数.
(3)当 f x 的零点个数最多时，证明: f x 的零点之和大于 3.
p
19.设抛物线Ω的顶点为坐标原点O ,焦点为 F ,且线段OF的中点为 4 ,0 p>0 .
(1)当 p= 8 7时，求Ω的准线方程.
(2)点 A为Ω上一动点，过 A作Ω的准线 l的垂线，垂足为H，设过 A，F，H三点可作双曲线C ,且C的两
个焦点均在 x轴上.
(1)若C过点O，求C的方程；
(ii)求C的离心率的取值范围.
数学试题 第 4 页 共 4 页
参考答案
1. A
2 2 2
【解析】依题意得 a- 2b = a - 2 2a b+ 2 b = 12- 0+ 2× 12= 3 , 则 a- 2b = 3.
2. A
【解析】因为 A= R , B= 2 2 ,+∞ ,所以 A∩ B= 2 2 ,+∞ .
3. D
a2-b2=-3, a=1,
【解析】设 z= a+ bi a,b∈R ,则 z2= a2- b2+ 2abi=-3+ 4i ,则 解得 或2ab=4, b=2
a=-1, 故 z
b
的虚部与实部的比值为 a = 2.b=-2,
4. B
【解析】连接GF ,设正四面体 ABCD的棱长为 4,
则CE= 2 ,CF=CG= 3 , ∠BCA=∠ACD=∠BCD= π3 ,
则△CFG为正三角形,所以 FG=CF= 3 ,由余弦定理得 EF= EG= 7,
故 cos∠GEF= 7+7-92×7 =
5
14 .
5. C
【解析】由频率分布直方图可知,前五组的频率之和为 5× 0.01+0.02+0.03+0.05+0.03 = 0.7,前六组
的频率之和为 5× 0.03+ 0.7= 0.85 ,设该市月用水量的临界值为 x0吨,则 x0∈ [25, 30),
由 x0-25 × 0.03= 0.1 ,得 x0≈ 28.3 ,故该市月用水量的临界值为 28.3吨.
6. A
【解析】因为 3sin α + cos α α π 1 α π 12 2 = 2sin 2 + 6 > 2 ,所以 sin 2 + 6 > 4 ,
2
所以 cos α- 5π3 = cos α+
π
3 = 1- 2sin2
α π
2 + 6 < 1- 2×
1
4 =
7
8 ,
cos α- 5π又 3 ∈ -1,1 ,所以 cos α-
5π -1, 73 的取值范围是 8 .
7. B
【解析】由 f x = 32x4- 24x3+ 2x= 2x 16x3-12x2+1 = 2x 2x-1 8x2-2x-1 = 2x(4x+ 1) 2x-1 2
= 0 ,得 x=- 1 0 14 或 或 2 .
当 x∈ -∞,- 14 时, f x > 0 , f x 单调递增;当 x∈ -
1
4 ,0 时, f x < 0 , f x 单调递减;当 x∈
0, 12 时, f
1
x > 0 , f x 单调递增;当 x∈ 2 ,+∞ 时, f x > 0 , f x 单调调递增.
所以 f 1 x 在 x=- 4 处取得极大值,在 x= 0处取得极小值,故 f x 的极值点的个数为 2.
参考答案 1 页 共 7 页
8. C
【解析】令 x= a≥ 0 , y2-x= b≥ 0 ,所以 a2+ b2= y2 ,则 a2+b2= y.
因为 y2- 2 x= 6 y2-x ,所以 a2+ b2- 2a= 6b,
则 a-1 2 + b-3 2 = 10 a≥0,b≥0 ,则点 a,b 的轨迹为圆 (a- 1)2+ b-3 2 = 10不在第二、四象限
的部分,则 a2+b2 表示点 (a, b)到坐标原点O的距离，由图可知，该距离的最大值为 2 10，此时 x=
a= 2 , y2-x= b= 6 ,即 x= 4 , y= 2 10 ,所以 y的最大值为 2 10.
9. BC
【解析】由 f x0 =-2 ,得-1- sinωx0=-2 ,即 sinωx0= 1在 0,π 内存在唯一的解.当 x∈ 0,π 时,ωx
∈ 0,ωπ , π 则 2 <ωπ≤
5π
2 ,
1
即 2 <ω≤
5
2 .
10. ABD
【解析】令 y= 0 ,得 2 f x + f -x + f 1 = 3x- 5 ,以-x替代 x ,得 2 f -x + f x + f 1 =-3x- 5 ,
消去 f -x ,得 3 f x + f 1 = 9x- 5.
再令 x= 1 ,得 4 f 1 = 4 ,即 f 1 = 1 ,所以 3 f x = 9x- 6 ,即 f x = 3x- 2 ,则 f 1 = 1, f 2 = 4, A
2
正确,C错误. xf x = 3x2- 2x= 3 x- 1 1 1 13 - 3 ,当 x= 3 时, xf x 取得最小值,且最小值为- 3 , B
2 2
正确.因为 f 3 = 0 ,所以 f x 的图象关于点 3 ,0 对称,D正确.
11. ACD
【解析】将四棱锥 P- ABCD补成一个正方体 (图略) ,则四棱锥 P- ABCD的外接球为该正方体的外接
球,因为点Q是该正方体的一个顶点,所以点Q在四棱锥 P- ABCD外接球的球面上, A正确.
Q- ABCD V= 1四棱锥 的体积 23 × 2 × 2=
8
3 ，侧面积 S1= S△QAB+ S△QBC+ S△QCD+ S△QDA= 2+ 2+ 2 2
+ 2 2= 4+ 4 2 , 3V 8表面积 S= S1+ 4= 8+ 4 2 ,则四棱锥Q- ABCD内切球的半径 R= S = 8+4 2
= 2- 2 ,则该内切球的表面积为 4πR2= 24-16 2 π, B错误.
连接 PQ ,易证 PQ AB CD , PQ= AB=CD ,则四边形CDPQ和四边形 ABQP均为平行四边形,设
PB∩ AQ= E , PC∩DQ= F ,则 E , F分别为 PB , PC的中点,设 AD , BC的中点分别为G,H ,连接 EF ,
GH , FG , FH ,则四棱锥 P- ABCD和四棱锥Q- ABCD的公共部分为几何体 ABCDFE ,其体积为四棱
锥 F-CDGH和三棱柱 ABE-GHF 1 1的体积之和,即 3 × 2× 1× 1+ 2 × 2 × 2 × 1=
5
3 ,C正确.
三个过同一点的平面将空间分成 8个部分,一个过该点的且不与这三个平面重合的平面将穿过其中的 6
个部分，则四棱锥Q- ABCD(图中黑色的四条粗线所在直线可以视为这个四棱锥的四条侧棱所在直线)
的四个侧面所在平面将空间分成 8+ 6= 14个部分，D正确.
参考答案 2 页 共 7 页
12. 0,3
【解析】因为 1≤ 2 x ≤ 4，所以 0≤ x ≤ 2，则 x∈ 0,3 .
13. 15 ; 74
【解析】因为 A -2,0 ，B 2,0 分别为C的左、右焦点，所以 PA + PB = 2a= 6，又 PA = 2 PB ,所以
2
PA = 4 , PB = 2 ,因为 AB = 4 ,所以 AH = 42- 22 = 15.
设点H在 x轴上的射影为G ,O为坐标原点,则 BG = BH cos∠ABH= 1× 14 =
1
4 ,则点H到 y轴的距
离为 OG = OB - BG = 7 4 .
14. 1122
【解析】环节一的人数大于环节二的人数，环节一的人数大于或等于环节四的人数，故环节一至少有 2个
人，环节一、环节二和环节四至少共有 4个人，因此环节三最多有 3个人.
当环节三有 3个人时，则有可能是 3个女生，或者 2个女生和 1个男生，或者 1个女生和
2个男生，则安排好环节三有C33+C23C1+C1C24 3 4= 31种方案.剩余 4个人,环节一必然有 2个人，环节二和
环节四各有 1个人，则安排好环节一、环节二和环节四有C2 14C2= 12种方案.所以安排好四个环节共有 31
× 12= 372种方案.
当环节三只有 2个人时，则有可能是 2个女生，或者 1个女生和 1个男生，则安排好环节三有C2 1 13+C3C4=
15种方案.剩余 5个人,当环节一有 2个人时,环节四有 2个人,环节二有 1个人,此时有C2 25C3= 30种方
案;当环节一有 3个人时,环节四有 1个人,环节二有 1个人,此时有C3 15C2= 20种方案.所以安排好四个
环节共有 15× 30+20 = 750种方案.
综上,满足条件的安排方案共有 372+ 750= 1122种.
15. (1)证明:连接 B1E，B1F. 1分
因为 AE CF , AE=CF，所以四边形 ACFE为平行四边形，则 EF AC，2分
又 EF 平面 ACD , AC 平面 ACD ,所以 EF 平面 ACD. 3分
同理可得 B1F 平面 ACD. 4分
因为 B1F∩ EF= F ,所以平面 B1EF 平面 ACD. 5分
又 B1G 平面 B1EF，所以 B1G 平面 ACD. 6分
(2)解:取 AC的中点O，连接OB ,OG，在正三棱柱 ABC- A1B1C1中，OB⊥ AC，易证OB ,OC ,OG两两
垂直. 7分
以O为坐标原点,OC ,OB ,OG所在直线分别为 x , y , z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
参考答案 3 页 共 7 页
则 A -2,0,0 ,C 2,0,0 ,D 0,2 3 , 2 ,G 0,0, 2 , 8分
所以 AC= 4,0,0 , AD= 2,2 3 , 2 , AG= 2,0, 2 . 9分
设平面 ACD的法向量为 n = x,y,z ,则 n AC= 4x= 0 , n AD= 2x+ 2 3 y+ 2 z= 0, 10分
令 y= 1 , n 得 = 0,1,- 6 . 11分
< , >= AG n
由 cos AG n = -2 3 =- 14
AG n 6× 7 7
, 12分
得 AG与平面 ACD 14所成角的正弦值为 7 . 13分
(2)法二：连接DG ,取 AC的中点O ,连接OD ,OG, 7分
易知OG BD ,OG= BD，则四边形OBDG为平行四边形，则DG BO. 8分
因为O为 AC的中点,所以 BO⊥ AC.因为 BD⊥平面 ABC ,所以 BD⊥ AC.
又 BD∩ BO= B ,所以 AC⊥平面OBDG. 9分
过G作OD的垂线,垂足为H ,因为GH 平面OBDG ,所以 AC⊥GH10分
又 AC∩OD=O ,所以GH⊥平面 ACD 11 = 2 3. 分 ,
7
在矩形OBDG中,OG= BD= 2 ,DG= BO= 4× 3 = 2 3 , GH= OG DG = 2×2 32 则 OD 12分2+12
2 3
连接 AH，则 AG与平面 ACD所成的角为∠GAH，则 sin∠GAH= GH 7 14AG = =6 7
16. (1)设某日检测结果与设备实际状态不符为事件 A，
则由全概率公式可得 P A = 1-0.2 × 1-0.9 + 0.2× 1-0.9 = 0.1,
故某日检测结果与设备实际状态不符的概率为 0.1. 3分
(2)设恰有 2天检测结果与实际不符为事件 B，
则 P B =C2 24× 0.1 × 1-0.1 2 = 0.0486,
故恰有 2天检测结果与实际不符的概率为 0.0486. 7分
(3)应该引进该自动化检测系统，理由如下: 8分
设使用自动化检测系统时每日总支出 (即总损失)为 X元.
设备故障且被判为故障的概率为 0.2× 0.9= 0.18, 9分
设备正常却被判为故障的概率为 1-0.2 × 1-0.9 = 0.08, 10分
参考答案 4 页 共 7 页
设备故障却被判为正常的概率为 0.2× 1-0.9 = 0.02, 11分
则 E X = 0.18+0.08 × 400+ 0.02× 2000+ 100= 244. 14分
因为 244< 280 ,所以应该引进该系统. 15分
17. (1)解:若 an=-n , bn= 3n，则 a2=-2 , b2= 9，
则满足-2< x< 9的整数为-1 , 0 , 1, , 8, 1分
共有 10个,故 c2= 10. 2分
(2)证明:因为 an , bn∈ Z，所以 cn= bn- an- 1，4分
所以 cn+1- cn= bn+1-an+1-1 - bn-an-1 = bn+1-bn - an+1-an . 5分
因为 an , bn 均为等差数列,所以可设 an+1- an= d1 , bn+1- bn= d2,
则 bn+1-bn - an+1-an = d2- d1为常数,故 cn 也为等差数列. 6分
(3)解:由 bn+1= 2bn+ 2，得 bn+1+ 2= 2bn+ 4，即 bn+1+ 2= 2 bn+2 ，7分
则数列 bn+2 是首项为 b1+ 2= 12，公比为 2的等比数列，
则 bn+ 2= 12 2n-1 ,即 bn= 3 2n+1- 2> an. 8分
当 n= 1时，a1= 0，b1= 10，c1= 10- 0- 1= 9.
当 n= 2时, a2= 3 , b2= 22 , c2= 22- 3- 1= 18. 9分
当 n≥ 3时，0< 2n < 1，c = 3 2
n+1
n - 2n- 2= 5 2n- 2. 11分
当 n= 2时, 5× 22- 2= 18= c , c = 9,n=1,2 则 n 5 2n-2,n≥2.
当 n≥ 2时，Sn= 9+ 5× 22+23+ +2n - 2 n-1 13分
22× 1-2n-1= 9+ 5× 1-2 - 2 n-1 = 5 2
n+1- 2n- 9, 14分
又 5× 21+1- 2- 9= 9= S1 ,所以 Sn= 5 2n+1- 2n- 9. 15分
18. (1)证明: f x =-3ax2+ 2ex+ 2xex，1分
由-3x2= 0 ,得 x= 0 , f 0 = 2, 2分
则存在m= 0，使得曲线 y= f x 在点 m, f m 处切线的斜率为定值. 3分
x
(2)解:当 a> 0时，由 f x = x -ax2+2ex = 0，得 x= 0 2e或 a= 2 . 4分x
x 2ex x-2
设函数 g x = 2e , g x =
则 ,x2 x3
令 g x < 0 ,得 0< x< 2 ,则 g x 在 0,2 上单调递减,令 g x > 0 ,得 x< 0或 x> 2 ,则 g x 在
-∞,0 上单调递增,在 2,+∞ 上单调递增. 5分
2
当 x> 0时, g x min= g 2 =
e
2 ,若 x→ 0 ,则 g x →+∞ ,若 x→+∞ ,则 g x →+∞. 6分
当 x< 0时, g x > 0 ,若 x→-∞ ,则 g x → 0 ,若 x→ 0 ,则 g x →+∞. 7分
2
0< a< e , a= 2e
x
当 2 时 方程 2 只有一个非零实数解,则 f x 有两个零点; 8分x
2 x
当 a= e2 时,方程 a=
2e
2 有两个非零实数解,则 f xx
有三个零点; 9分
2 x
当 a> e2 时,方程 a=
2e
2 有三个非零实数解,则 f x 有四个零点. 10分x
2
(3)证明:由 (2) e知，当 a> 2 时，f x 的零点个数最多，且 0为其中一个零点，
不妨设 x3< 0< x1< 2< x2, 11分
参考答案 5 页 共 7 页
且 2ex1= ax21 , 2ex2= ax22 ,等式两边同时取对数并整理得 x1- 2lnx1= lna- ln2 , x2- 2lnx2= lna- ln2.
设函数 h x = x- 2lnx ,则 h x1 = h x2 = lna- ln2 , h x = 1- 2 = x-2x x ,则 h x 在 2,+∞ 上单调
递增. 12分
2 e2
因为 g x 在 -∞,0 上单调递增,且 g -1 = e < 2 ,所以-1< x3< 0. 13分
要证 x1+ x2+ x3+ 0> 3 ,只需证 x1+ x2> 4 ,即证 x2> 4- x1 ,因为 4- x1> 2 ,且 h x 在 2,+∞ 上单调
递增,所以只需证 h x2 > h 4-x1 ,即 h x1 > h 4-x1 , 14分
令函数 F x = h x - h 4-x , 0< x< 2,
2 x-2 2
则 F x = h x + h 4-x = x-2 + 2-x
x 4-x =- < 0, 15分x 4-x
所以 F x 在 0,2 上单调递减，则 F x > F 2 = 0，即 h x > h 4-x ，故 x1+ x2> 4. 16分
故当 f x 的零点个数最多时, f x 的零点之和大于 3. 17分
19. (1)当 p= 8 7时，依题意得 F的坐标为 4 7 ,0 ，1分
所以Ω的准线方程为 x=-4 7. 2分
(2) ( j)因为C的两个焦点均在 x轴上，且C经过 A，H，F，O，所以由对称性可知，C的中心为线段OF的
p p
中点，即O 4 ,0 ，实半轴长为 4 , 4分
2
x- p4 y2
设C的方程为 2 - 2 = 1 b>0 . 5分
p b4
p
H的横坐标为- 2 , A ,
p p
H均在C上，则 A的横坐标为 4 × 2- - 2 = p，6分
p 2 p- 2 2
设 A p,
4 2p p
y0 ,又 A在Ω上,所以 y20= 2p2 ,代入C的方程,得 2p 2 - 2 = 1 ,解得 b = 4 . 8分 b4
x- p
2
4 y2
C的方程为 2 - 2 = 1. 9分p p
16 4
( p pii)由题知, F 22 ,0 ,设 A x0,y0 ,则 y0= 2px0 ,H - 2 ,y0 .
p
当 x0≤ 2 时,过 A ,H , F三点不能作双曲线. 10分
当 x0=
3p
2 时,线段 AH中点的横坐标与 F的横坐标相等,过 A ,H , F三点不能作双曲线,
p 3p
则 x0> 2 且 x0≠ 2 . 11分
x-h 2 y2
因为C的两个焦点均在 x轴上,所以可设C的方程为 2 - 2 = 1 a>0,b>0 ,a b
h+ p
2
2
, , p 2
y2 x -h 2 y2
将 F H A的坐标代入C的方程,得 2 -h = a2 - 0 = 1
0 0
①, ②,
a2 b2 a2
- 2 = 1③, 12b
分
p 2 p 2x -p
②一③得 h+ = x -h 2 02 0 ，因为 x0> 2 ，所以 h= 4 ，13分
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2 2
2 p p 2x0-p 3p-2x
2
0
由①得, a = 2 -h = 2 - 4 = 16 ,
y2 20 x= 0
-h - - = 2x0+p y
2 2
1 x h 0
2x0+p 8p 2x -p
由③得， 2 2 ，而 0 4 ，则 2 = 2 - 1=
0
b a b 3p-2x 3p-2x 2
，
0 0
2
代入 y2
x 3p-2x
0= 2px0 ,得 b2=
0 0
, 15分
4 2x0-p
2
e2= 6x -p 2p1+ b2 = 1+
16x0 = 02x -p = 3+ 2x -p , 16分a 4 2x0-p 0 0
由 x0>
p 3p
2 且 x0≠ 2 ,得 e
2> 3且 e2≠ 4.
故C的离心率的取值范围为 3 ,2 ∪ 2,+∞ . 17分
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