2025-2026学年人教A版数学必修第二册课时达标：8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积（含解析）

8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
一．选择题
1.若某圆锥的高等于其底面直径,则它的底面积与侧面积之比为(　　)
A.1∶2 B.1∶
C.1∶ D.∶2
2.若轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,则圆柱的体积为(　　)
A. B.
C. D.
3.木星体积约是地球体积的240倍,则它的表面积约是地球表面积的(　　)
A.60倍 B.60倍
C.120倍 D.120倍
4.已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为7,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为(　　)
A.3 B.6
C.5 D.7
5.已知圆台的上、下底面半径分别为r,R,若有一球与圆台的上、下底面及侧面相切,则球的表面积为(　　)
A.4π(R+r)2 B.4πr2R2
C.4πRr D.π(R+r)2
6.若圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4,母线长为10,则圆台的表面积为(　　)
A.81π B.100π
C.168π D.169π
7.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水,天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸,若盆中积水深九寸,则平地降雨量是(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)(　　)
A.2寸 B.3寸
C.4寸 D.5寸
8.若正三棱柱的所有棱长均为a,且所有顶点都在一个球面上,则该球的表面积为(　　)
A.πa2 B.πa2
C.πa2 D.5πa2
9.若圆锥的高等于其内切球半径的3倍,则圆锥的侧面积与球的表面积之比是(　　)
A. B.
C. D.
10.已知Rt△ABC的三条边分别为a,b,c(a>b>c).分别以三角形的边a,b,c所在直线为轴,其余两边旋转一周形成的曲面围成三个几何体,其表面积和体积分别为S1,S2,S3和V1,V2,V3,则它们的关系为(　　)
A.S1>S2>S3,V1>V2>V3
B.S1C.S1>S2>S3,V1=V2=V3
D.S1二．填空题
11.若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且三条侧棱长分别为1,,则其外接球的表面积是　　　　　.
12.圆柱内有一个内接长方体ABCD-A1B1C1D1,长方体的体对角线长是10 cm,圆柱的侧面展开图为矩形,此矩形的面积是100π cm2,则圆柱的底面半径为　　　　　 cm,高为　　　　　 cm.
13.圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是　　　　　 cm.
14.如图,把底面半径为8 cm的圆锥放倒在平面上,使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动,当这个圆锥在平面内转回原位置时,圆锥本身滚动了2.5周,则圆锥的母线长为　　　　　,表面积为　　　　　.
三．解答题
14.已知一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球,在圆锥里又有一个内切球.求:
(1)圆锥的侧面积.
(2)圆锥内切球的体积.
15.如图,已知圆柱底面圆直径为2,高为1,将其截成一个四棱柱,用和圆柱底面平行的平面截这个四棱柱,得到的截面为矩形,设该矩形一条边长为x,截面的面积为A.
(1)求截面的面积A关于x的函数解析式;
(2)求截得棱柱的体积的最大值.
8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
一．选择题
1.C
设圆锥底面半径为r,则高h=2r,
∴圆锥的母线长l=r.
∴圆锥的侧面积S侧=πrl=πr2,
又圆锥的底面积S底=πr2,
∴S底∶S侧=1∶.
2.D
设圆柱的高为2a,因为轴截面为正方形,所以底面半径为a,则S=4πa2,解得a=,故可得圆柱体积V=πa2·2a=2π·.故选D.
3.C
4.A
设圆台较小底面半径为r,则另一底面半径为3r.由S=π(r+3r)·7=84π,解得r=3.
5.C
设圆台的一个轴截面为等腰梯形ABCD,如图,作DE⊥BC,交BC于点E.设球的半径为r1,则在Rt△CDE中,DE=2r1,CE=R-r,DC=R+r.
由勾股定理得4=(R+r)2-(R-r)2,解得r1=,故球的表面积为S球=4π=4πRr.
6.C
作出圆台的轴截面如图所示,O1,O分别为轴截面上、下底的中点,连接O1O,过点C作CE⊥AB于点E.设O1C=r,OB=r'=4r,高CE=h=4r.
则它的母线长l==5r=10,
∴r=2,r'=8.
∴S侧=π(r'+r)l=π(8+2)×10=100π,
S表=S侧+πr2+πr'2=100π+4π+64π=168π.
7.B
由题意可知,圆台形天池盆上底面半径为14寸,下底面半径为6寸,高为18寸.
因为积水深9寸,所以水面半径为×(14+6)=10(寸),所以盆中积水的体积为×9×(62+102+6×10)=588π(立方寸),又盆口面积为π×142=196π(平方寸),
所以平地降雨量为=3(寸).
8.B
设点O,O1分别为△ABC,△A1B1C1的中心,OO1的中点为D,
由题意得D为球的球心,
则AO=×a×sin 60°=a,半径R=,
故S球=4πR2=4π×a2=πa2.
9.A
设球的半径为r,圆锥底面半径为R,母线长为l.
由题意可知,×2R·3r=×(2R+2l)·r,
所以l=2R,即轴截面是等边三角形.
所以R2+(3r)2=(2R)2,
得R2=3r2,所以.
10.B
S1=π(b+c),V1=a,S2=πac+πc2,V2=πbc2,S3=πab+πb2,V3=πb2c.
因为a>b>c,
所以b2c+bc2即因此S1同理可得V1二．填空题
11.. 6π
因为三棱锥的三条侧棱两两垂直,所以可以把这个三棱锥补成一个同一顶点处三条棱长分别为1,的长方体.于是长方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R,则有(2R)2=12+()2+()2=6,即R2=.
故其外接球的表面积S=4πR2=6π.
12. 5　10
设圆柱底面半径为r cm,高为h cm,如图所示,
则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长,
则
解得
即圆柱的底面半径为5 cm,高为10 cm.
13.4
设球的半径为r cm,放入3个球后,圆柱液面高度变为6r cm,
则有πr2·6r=8πr2+3·πr3,即2r=8,解得r=4.
14.20 cm　224π cm2
设圆锥的母线长为l cm,以S为圆心,SA为半径的圆的面积为S=πl2 cm2.
又圆锥的侧面积S侧=8πl cm2,根据圆锥在平面内转到原位置时,圆锥本身滚动了2.5周,得πl2=2.5×8πl,解得l=20.
故圆锥的表面积为S侧+S底=π×8×20+π×82=224π(cm2).
三．解答题
14.
解:(1)如图,作出轴截面,
则等腰三角形SAB内接于圆O,
而圆O1内切于△SAB.
设圆O的半径为R,则有πR3=972π,
所以R=9.
所以SE=2R=18.
因为SD=16,
所以ED=2.
连接AE,因为SE是直径,
所以SA⊥AE,
所以SA2=SD·SE=16×18=288,
解得SA=12.
又因为AB⊥SD,
所以AD2=SD·DE=16×2=32,
解得AD=4.
所以S圆锥侧=π×4×12=96π.
(2)设内切球O1的半径为r,
因为△SAB的周长为2×(12+4)=32,
所以r×32×8×16,所以r=4.
所以内切球O1的体积V球=πr3=π.
15.
解:(1)横截面如图所示,由题意得A=x(0(2)截得棱柱的体积V=1·x,
因为0所以当x=时,Vmax=2.
即截得棱柱的体积的最大值为2.