2025-2026学年人教A版数学必修第二册课时达标：8.6.2.1直线与平面垂直的判定定理（含解析）

8.6.2.1　直线与平面垂直的判定定理
一．选择题
1.若两条不同的直线与同一平面所成的角相等,则这两条直线(　　)
A.平行 B.相交
C.异面 D.以上都有可能
2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若G为CC1的中点,则直线AG与侧面BCC1B1所成角的正弦值是(　　)
A.　　　　 B.
C. D.
3.(多选题)如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,则下列结论正确的是(　　)
A.CD∥平面PAF
B.DF⊥平面PAF
C.CF∥平面PAB
D.CF⊥平面PAD
4.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,下列能使A1C⊥BC1的是(　　)
A.AB=AC B.AA1=AC
C.BB1=AB D.CC1=BC
5.在三棱锥P-ABC中,点O是点P在底面ABC内的射影.若点P满足以下两种情形:①点P到△ABC三边的距离相等;②PA,PB,PC与底面ABC所成的角相等.则点O分别是△ABC的(　　)
A.重心,垂心 B.内心,外心
C.内心,垂心 D.垂心,外心
6.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,正方形ABCD的面积为16,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为(　　)
A.64 B.64
C.48 D.64
7.如图①,在正方形ABCD中,E,F分别为BC,CD的中点,G为EF的中点,现在沿AE,AF及EF,把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,如图②所示,则下列结论正确的是(　　)
A.AH⊥平面EFH B.AG⊥平面EFH
C.HF⊥平面AEF D.HG⊥平面AEF
8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,并且总保持AP⊥BD1,则动点P一定(　　)
A.在线段B1C上
B.在线段BC1上
C.在BB1的中点与CC1的中点连成的线段上
D.在BC的中点与B1C1的中点连成的线段上
二．填空题
9.如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,PA⊥平面ABC,此图形中有　　　　　个直角三角形.
10.已知三棱锥P-ABC中,AC⊥BC,PC=2,点P到AC,BC的距离均为,那么P到底面ABC的距离为　　　　　,直线PC与平面ABC所成的角为　 .
11.如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB∶BB1=∶1,则AB1与平面BB1C1C所成角的大小为　
三．解答题
12.如图,已知在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,AB=5,BC=4, AA1=4,点D是AB的中点.求证:
(1)AC⊥BC1;
(2)AC1∥平面CDB1.
13.如图,已知AB∥CD,CD∥EF,AB=DE=EF=CF=2,CD=4,AD=BC=, AE=2,M为CD的中点.
(1)证明:EM∥平面BCF;
(2)求点M到平面ADE的距离.
14.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面是边长为1的菱形,∠ADC =60°,PA=,M是PB的中点.
(1)求证:PD∥平面ACM;
(2)求直线CM与平面PAB所成角的正弦值.
15.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,且PA=AB=BC,E是PC的中点.
求证:(1)CD⊥AE;
(2)PD⊥平面ABE.
16.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠ADC=45°,AD=AC=1, O为AC的中点,PO⊥平面ABCD,PO=2,M为PD的中点.
(1)求证:PB∥平面ACM;
(2)求证:AD⊥平面PAC;
(3)求直线AM与平面ABCD所成的角的正切值.
8.6.2　直线与平面垂直
第1课时　直线与平面垂直的判定定理
一．选择题
1.D
2.A
连接AC,BG(图略),设正方体棱长为2,由正方体的性质知AB⊥平面BCC1B1,则∠AGB是直线AG与侧面BCC1B1所成的角,由AG2=AC2+CG2=AB2+BC2+CG2=9,
所以sin∠AGB=.
故选A.
3.ABC
在正六边形ABCDEF中,易知CD∥AF,DF⊥AF,CF∥AB,由线面平行的判定定理,可知CD∥平面PAF,CF∥平面PAB,故A,C正确.因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥DF,又DF⊥AF,PA∩AF=A,所以DF⊥平面 PAF,故B正确.易知CF与AD不垂直,故D错误.故选ABC.
4.B
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,即AB⊥AC,
又AA1⊥AB,AA1∩AC=A,所以AB⊥平面AA1C1C.又A1C 平面AA1C1C,所以AB⊥A1C.如图,连接AC1,
若AA1=AC,则矩形AA1C1C为正方形,所以A1C⊥AC1.又AB∩AC1=A,所以A1C⊥平面ABC1.又BC1 平面ABC1,所以A1C⊥BC1.故选B.
5.B
若点P到△ABC三边的距离相等,则点O到△ABC三边的距离相等,故点O是△ABC的内心;若PA,PB,PC与底面ABC所成的角相等,则点O到点A,B,C的距离相等,故点O是△ABC的外心.
6.B
因为正方形ABCD的面积为16,所以AB=BC=4.如图,连接BC1,
因为AB⊥平面BB1C1C,所以∠AC1B为AC1与平面BB1C1C所成的角,
所以∠AC1B=30°,
所以BC1=4,所以CC1==4.
所以该长方体的体积V=16×4=64.
7.A
依题意,AH⊥HF,AH⊥HE,
所以AH⊥平面EFH.
8.A
如图,易知BD1⊥平面AB1C,故点P一定在线段B1C上.
二．填空题
9.4
∵PA⊥平面ABC,
∴PA⊥AC,PA⊥AB,PA⊥BC,
∵AC⊥BC,且PA∩AC=A,
∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥PC.
综上知△ABC,△PAC,△PAB,△PBC都是直角三角形,共有4个.
10.
如图,作PD,PE分别垂直于AC,BC于D,E,PO⊥平面ABC于O.
连接CO,OD,OE,知CD⊥PD,CE⊥PE,CD⊥PO,PD∩PO=P,
∴CD⊥平面PDO,
又OD 平面PDO,∴CD⊥OD.
同理CE⊥OE,∵PD=PE=,PC=2,
∴CD=CE=1,又∠CDO=∠CEO=,AC⊥BC,
∴四边形CDOE为正方形.
∴OC=,又PC=2,∴PO=,
∴sin∠PCO=,∴∠PCO=.
11.45°
如图,取BC的中点D,连接AD,B1D,
由题意知,△ABC为正三角形,AD⊥BC且AD⊥BB1,BC∩BB1=B,BC,BB1 平面BCC1B1,
∴AD⊥平面BCC1B1,∴∠AB1D即为AB1与平面BB1C1C所成的角.
设AB=,则AA1=1,AD=,AB1=,
∴sin∠AB1D=,∴∠AB1D=45°.
即AB1与平面BB1C1C所成的角为45°.
三．解答题
12.
证明:(1)∵AC=3,AB=5,BC=4,
∴在△ABC中,AC2+BC2=AB2,
∴AC⊥BC.
又CC1⊥平面ABC,AC 平面ABC,
∴AC⊥CC1.
又BC∩CC1=C,∴AC⊥平面BCC1B1.
∵BC1 平面BCC1B1,∴AC⊥BC1.
(2)设B1C交BC1于点E,则点E为BC1的中点,连接DE(图略),
又D是AB中点,则在△ABC1中,DE∥AC1.又DE 平面CDB1,AC1 平面CDB1,
∴AC1∥平面CDB1.
13.
(1)证明∵CD∥EF,且M为CD的中点,∴EF∥CM,且EF=CM,则四边形EMCF为平行四边形,∴EM∥CF.又CF 平面BCF,EM 平面BCF,∴EM∥平面BCF.
(2)解:由题得,AB∥CD,且AB=CD=CM,
∴四边形ABCM为平行四边形,
∴AM=BC=.取DM的中点O,连接AO,OE.
∵EM=FC=DM=DE=2,AM=BC=AD=,则AO⊥DM,EO⊥DM,
则AO==3,OE=,∴AE2=AO2+OE2,∴AO⊥OE.
又AO⊥DM,OE,DM 平面DME,AO 平面DME,∴AO⊥平面DME.
在△ADE中,cos∠AED=,
∴sin∠AED=,则S△ADE=×2×2.
由VA-DEM=VM-ADE,设点M到平面ADE的距离为d.
·S△DEM·AO=·S△ADE·d,则×2××3=d,解得d=.
14.
(1)证明如图,连接BD,交AC于点O,连接OM.
因为底面ABCD是菱形,所以O是BD的中点.
又M是PB的中点,所以OM∥PD.又OM 平面ACM,PD 平面ACM,所以PD∥平面ACM.
(2)解如图,取AB的中点E,连接ME,CE,由题意可知,△ACB是等边三角形,
所以CE⊥AB.
因为M是PB的中点,E是AB的中点,所以ME∥PA,ME=PA.
又PA⊥平面ABCD,所以ME⊥平面ABCD,
所以ME⊥CE.
又AB∩ME=E,所以CE⊥平面PAB,
所以∠CME是直线CM与平面PAB所成的角.
因为ME=PA=,CE=,
所以CM=,
所以sin∠CME=.
15.
证明:(1)因为PA⊥平面ABCD,CD 平面ABCD,所以PA⊥CD.
又AC⊥CD,PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.
又AE 平面PAC,所以CD⊥AE.
(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.
因为E是PC的中点,所以AE⊥PC.
由(1)知AE⊥CD,且PC∩CD=C,
所以AE⊥平面PCD.
又PD 平面PCD,所以AE⊥PD.
因为PA⊥平面ABCD,AB 平面ABCD,
所以PA⊥AB.
又AB⊥AD,PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD.
又PD 平面PAD,所以AB⊥PD.
又AE∩AB=A,所以PD⊥平面ABE.
16.
(1)证明如图,连接BD,MO.
在平行四边形ABCD中,
∵O为AC的中点,
∴O为BD的中点,又M为PD的中点,
∴PB∥MO.
又PB 平面ACM,MO 平面ACM,
∴PB∥平面ACM.
(2)证明∵∠ADC=45°,AD=AC=1,
∴∠DAC=90°,即AD⊥AC.
又PO⊥平面ABCD,AD 平面ABCD,
∴PO⊥AD.
又AC∩PO=O,∴AD⊥平面PAC.
(3)解如图,取DO的中点N,连接MN,AN.
∵M为PD的中点,
∴MN∥PO,MN=PO=1.
又PO⊥平面ABCD,
∴MN⊥平面ABCD,
∴∠MAN为直线AM与平面ABCD所成的角.
在Rt△DAO中,AD=1,AO=,
∴DO=,∴AN=DO=.
在Rt△ANM中,tan∠MAN=.
故直线AM与平面ABCD所成的角的正切值为.