2025-2026学年人教A版数学必修第二册课时达标：8.6.3.1平面与平面垂直的判定定理（含解析）

8.6.3.1平面与平面垂直的判定定理
一．选择题
1.从空间一点P向二面角α-l-β的两个半平面α,β所在的平面分别作垂线PE,PF,E,F为垂足,若∠EPF=60°,则该二面角的平面角的大小为(　　)
A.60° B.120°
C.60°或120° D.不确定
2.如图,AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C是圆上一点(不同于点A,B),PA=AC,则二面角P-BC-A的大小为(　　)
A.60° B.30°
C.45° D.15°
3.如图,P是正方形ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是(　　)
A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直
B.它们两两垂直
C.平面PAB与平面PBC垂直,与平面PAD不垂直
D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直
4.(多选题)如图,在四面体P-ABC中,PA=PB=PC,△ABC为等腰直角三角形, AC=BC,O为AB的中点.下列说法正确的是(　　)
A.平面PAB⊥平面ABC
B.平面PAB⊥平面POC
C.平面POC⊥平面ABC
D.平面PCA⊥平面PCB
5.如图,AB为圆O的直径,点C在圆周上(异于点A,B),PA垂直于圆O所在的平面,点M为PB的中点,下列结论正确的是(　　)
A.PA∥平面MOB
B.平面MOC⊥平面PAB
C.OC⊥平面PAC
D.平面PAC⊥平面PBC
6.(多选题)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=1,AD⊥AB,∠BCD=45°,E是BD的中点,将△ABD沿对角线BD折起,设折起后点A的位置为A',并且A'E⊥平面BCD.下列说法正确的是(　　)
A.A'D⊥BC
B.三棱锥A'-BCD的体积为
C.CD⊥平面A'BD
D.平面A'BC⊥平面A'DC
二．填空题
7.如图,将等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折起,形成一个二面角,此时∠B'AC=60°,则这个二面角大小是　　　　　
8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1-BD-A的正切值为　　　　　.
9.如图,平面角为锐角的二面角α-EF-β,A∈EF,AG α,∠GAE=45°,若AG与β所成的角为30°,则二面角α-EF-β的大小为　　　　　.
三．解答题
10.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=.
(1)证明:平面PBE⊥平面PAB;
(2)求二面角A-BE-P的平面角的大小.
11.图①是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折叠使得BE与BF重合,连接DG,如图②所示.
图①
图②
(1)证明:图②中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE;
(2)求图②中的四边形ACGD的面积.
12.已知四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD,M,N分别是AB,PC的中点.求证:平面MND⊥平面PCD.
13.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,∠ABC=∠BAD=90°, AD=2PA=2AB=2BC=2.
(1)求证:平面PCD⊥平面PAC.
(2)在线段PC上是否存在点E,使得平面AED⊥平面PCD 若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
8.6.3　平面与平面垂直
第1课时　平面与平面垂直的判定定理
一．选择题
1.C
2.C
由题意,易知∠PCA是二面角P-BC-A的平面角.
在Rt△PAC中,PA=AC,所以∠PCA=45°.
3.A
因为BC⊥AB,BC⊥PA,PA∩AB=A,
所以BC⊥平面PAB,
同理AD⊥平面PAB,
又BC 平面PBC,AD 平面PAD,
所以平面PBC⊥平面PAB,平面PAD⊥平面PAB.
故选A.
4.ABC
因为PA=PB,AC=BC,O为AB的中点,所以PO⊥AB,CO⊥AB.
又PO∩CO=O,所以AB⊥平面POC.
又AB 平面PAB,AB 平面ABC,所以平面PAB⊥平面POC,平面POC⊥平面ABC.故B,C正确.
因为△ABC为等腰直角三角形,O为AB的中点,所以AO=CO.
又PA=PC,所以△PAO≌△PCO,所以∠POA=∠POC=90°,即PO⊥CO.
又PO⊥AB,AB∩CO=O,所以PO⊥平面ABC,又PO 平面PAB,所以平面PAB⊥平面ABC.故A正确.D不正确.故选ABC.
5.D
PA 平面MOB,故A错误;当点C在圆周上运动时,平面MOC与平面PAB不一定垂直,故B错误;因为AB为圆O的直径,所以BC⊥AC,又PA⊥平面ABC,BC 平面ABC,所以PA⊥BC,又PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,所以OC与平面PAC不垂直,故C错误;又BC 平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC,故D正确.
6.CD
在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=1,AD⊥AB,则∠DBC=∠ADB=45°.
又∠BCD=45°,
故△BCD为等腰直角三角形,BD⊥CD.
如图,因为A'E⊥平面BCD,CD 平面BCD,
所以A'E⊥CD,又A'E∩BD=E,所以CD⊥平面A'BD,故C正确.
由A'E⊥平面BCD,得A'E⊥BC.
如果A'D⊥BC,则可得到BC⊥平面A'BD,故BC⊥BD,与已知矛盾.故A错误.
三棱锥A'-BCD的体积为V=.故B错误.
在直角三角形A'CD中,A'C2=CD2+A'D2,
所以A'C=.
在三角形A'BC中,A'B=1,BC=2,A'C=,满足BC2=A'B2+A'C2,所以BA'⊥CA'.
又BA'⊥DA',且CA'∩DA'=A',所以BA'⊥平面A'DC,所以平面A'BC⊥平面A'DC,故D正确.
二．填空题
7. 90°
如图,连接B'C,则△AB'C为等边三角形.
由题意可知,∠B'DC为所求二面角的平面角.
设AD=a,则B'C=AC=a,B'D=DC=a,
所以B'C2=B'D2+DC2,
所以∠B'DC=90°.故选D.
8.
如图所示,连接AC,交BD于点O,连接A1O.
因为AA1⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,
所以AA1⊥BD.
因为底面ABCD为正方形,所以AC⊥BD.
又AA1∩AC=A,所以BD⊥平面A1AO.
因为AO 平面A1AO,A1O 平面A1AO,
所以BD⊥AO,BD⊥A1O,
所以∠A1OA即为二面角A1-BD-A的平面角.
在△A1OA中,设AA1=a,则AO=a,
所以二面角A1-BD-A的正切值为.
9.45°
如图,作GH⊥β于点H,作HB⊥EF于点B,连接AH,GB,则GB⊥EF,
故∠GAH为AG与β所成的角,
∠GAH=30°,∠GBH为二面角α-EF-β的平面角.
设AG=a,则GB=a,GH=a,
故sin∠GBH=.
由题意知∠GBH为锐角,所以∠GBH=45°,故二面角α -EF-β的大小为45°.
三．解答题
10.
(1)证明连接BD(图略),因为四边形ABCD是菱形,∠BCD=60°,所以△BCD是等边三角形.
因为E是CD的中点,所以BE⊥CD.
又AB∥CD,所以BE⊥AB.
因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BE.
又PA∩AB=A,所以BE⊥平面PAB.
又BE 平面PBE,
所以平面PBE⊥平面PAB.
(2)解由(1)知,BE⊥平面PAB,
所以BE⊥PB.
又AB⊥BE,
所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角.
在Rt△PAB中,tan∠PBA=,
所以∠PBA=60°.
故二面角A-BE-P的平面角的大小是60°.
11.
(1)证明由已知得AD∥BE,CG∥BE,
所以AD∥CG,故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面.
由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,且BE∩BC=B,
所以AB⊥平面BCGE.
又因为AB 平面ABC,
所以平面ABC⊥平面BCGE.
(2)解如图,取CG的中点M,连接EM,DM.
因为AB∥DE,AB⊥平面BCGE,
所以DE⊥平面BCGE,
故DE⊥CG,DE⊥EM.
由已知,四边形BCGE是菱形,且∠EBC=60°,得EM⊥CG,
又DE∩EM=E,所以CG⊥平面DEM.
因此DM⊥CG.
在Rt△DEM中,DE=1,EM=,故DM=2.
所以四边形ACGD的面积为4.
12.
证明:如图,取PD的中点E,连接AE,NE,MN.
∵E,N分别是PD,PC的中点,
∴EN∥CD,EN=CD.
又ABCD,AM=AB,
∴ENAM,
∴四边形AMNE是平行四边形,
∴MN∥AE.
∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥CD.
又CD⊥AD,PA∩AD=A,
∴CD⊥平面PAD,∴CD⊥AE.
∵PA=AD,E是PD的中点,
∴AE⊥PD.
又CD∩PD=D,∴AE⊥平面PCD.
又MN∥AE,∴MN⊥平面PCD.
又MN 平面MND,
∴平面MND⊥平面PCD.
13.
(1)证明因为PA⊥平面ABCD,
所以PA⊥CD.
由题意可知,AB=BC=1,又∠ABC=90°,
所以∠BAC=45°,AC=.
又∠BAD=90°,所以∠CAD=45°.
在△ACD中,由余弦定理,得CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos∠CAD=2,
所以AC2+CD2=AD2,
所以AC⊥CD.
又PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.
又CD 平面PCD,
所以平面PCD⊥平面PAC.
(2)解存在.如图,过点A作AE⊥PC于点E,连接ED.
由(1)知,CD⊥平面PAC,则CD⊥AE.
又PC∩CD=C,则AE⊥平面PCD.
又AE 平面AED,
故平面AED⊥平面PCD.
在Rt△PAC中,因为PA=1,AC=,
所以PC=,AE=.
又AE⊥PC,所以PE=,EC=,
所以.
故线段PC上存在点E,使得平面AED⊥平面PCD,此时.