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第19章 二次根式 单元培优
一．选择题（共10小题）
1．（2025秋 平桥区期末）下列是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025秋 合江县期末）使式子有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≤3 B．x≤3且x≠﹣2 C．x≠﹣2 D．x＜3且x≠﹣2
3．（2025秋 沙坪坝区校级期末）若a＜0，b＞0，下列选项正确的是（ ）
A．a B．b
C．a D．
4．（2025秋 北仑区期末）下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025秋 隆德县校级期末）如图，正方形M的边长为m，面积为8；正方形N的边长为n，面积为32．计算的结果为（ ）
A．1 B．﹣2 C． D．
6．（2025秋 杨浦区期中）甲、乙两位同学将二次根式变形的过程如下，
即：
乙：
由此，两位同学共同得到“任何实数a都等于它的相反数﹣a”的结论．
两位同学关于的变形过程，首次出现共同错误的地方是（ ）
A．第一个等号后 B．第二个等号后
C．第三个等号后 D．两位同学都没错
7．（2025秋 宣化区期末）我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（ ）
A．型无理数 B．型无理数
C．型无理数 D．型无理数
8．（2025 四川校级自主招生）已知0＜a＜b，x，y，则x，y的大小关系是（ ）
A．x＞y B．x＝y
C．x＜y D．与a、b的取值有关
9．（2025秋 桃源县期末）按照如图所示的程序框图运算，若输入﹣2，则输出的值（ ）
A． B． C．2 D．﹣2
10．（2023秋 肥城市期末）对于有理数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a，例如：min{1，﹣2}＝﹣2．已知min{，a}＝a，min{，b}，且a和b为两个连续正整数，则ab﹣（）2的立方根为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
二．填空题（共6小题）
11．（2025春 吉林期中）如果是最简二次根式，则x的值可能是 .（填一个正确的即可）
12．（2025春 滨城区校级月考）实数a和b在数轴上如图所示，化简的结果是 ．
13．（2025秋 抚州月考）若x，y都是实数，且，则xy的值为 ．
14．（2025 哈尔滨校级四模）观察下列等式：，，第10个式子可表示为 ．
15．（2025 重庆自主招生）已知a，b是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a，b）共有 对．
16．（2025秋 武昌区月考）阅读下列材料：我们知道，因此将的分子分母同时乘以“”，分母就变成了4，即，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：若，则代数式m3+2m2﹣2025m+2026的值是 ．
三．解答题（共8小题）
17．（2025秋 启东市期末）计算：
（1）；
（2）．
18．（2025秋 河南校级月考）求下列各式中x的取值范围．
（1）二次根式在实数范围内有意义．
（2）在实数范围内成立．
19．（2025秋 巴中期末）先化简，再求值：，其中．
20．（2025春 信阳期中）（1）若x，y都是实数，且，求5x+13y+6的立方根；
（2）已知与互为相反数，求的值．
21．（2025秋 薛城区期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间t（单位：s）和下落高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑阻力的影响）．
（1）物体从20m的高空落到地面的时间为 s．
（2）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）＝10×物体质量（kg）×高度（m）．一个质量为0.05kg的鸡蛋经过6s落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？会对无防护人体造成伤害吗？（注：伤害无防护人体只需要的能量）
22．（2025秋 朝阳区校级期末）我们知道：π＝3.1415926…，它是无限不循环小数，它的整数部分是3，可以用π﹣3来表示它的小数部分，请根据上述方法解答：
（1）的整数部分 ；
（2）a为的整数部分，b为的小数部分，求的值；
（3）已知，其中x是正整数，0＜y＜1，则的值是 ．
23．（2025春 大石桥市期中）阅读下列例题．
在学习二次根式性质时我们知道．
例题：求的值．
解：设，
两边平方得：，
即：，x2＝10，
∴，
∵，
∴．
（1）则的值是 ；
（2）请利用上述方法，求的值；
（3）若，求n的值．
24．（2025秋 青山湖区校级期末）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究：
材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）．
材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S．
（1）利用材料1解决下面的问题：
当a＝3，b＝5，c＝6时，求这个三角形的面积；
（2）利用材料2解决下面的问题：
已知△ABC三条边的长度分别是，记△ABC的周长为C△ABC．
①当x＝2时，请直接写出△ABC中最长边的长度 ；
②若x是满足0＜x≤4的整数，当C△ABC取得最大值时，请用秦九韶公式求出△ABC的面积．中小学教育资源及组卷应用平台
第19章 二次根式 单元培优
一．选择题（共10小题）
1．（2025秋 平桥区期末）下列是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的被开方数必是非负数逐项判定即可．
【解答】解：根据二次根式的被开方数必是非负数逐项分析判断如下：
A、无意义，不符合题意；
B、，当a＜0时，无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意；
C、，当a＜﹣1时，无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意；
D、，a为任意实数，a2+1＞0，是二次根式，故此选项符合题意．
故选：D．
2．（2025秋 合江县期末）使式子有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≤3 B．x≤3且x≠﹣2 C．x≠﹣2 D．x＜3且x≠﹣2
【答案】B
【分析】根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数大于或等于0列出式子求解即可．
【解答】解：由条件可知3﹣x≥0，且2+x≠0，
解得：x≤3且x≠﹣2，
故选：B．
3．（2025秋 沙坪坝区校级期末）若a＜0，b＞0，下列选项正确的是（ ）
A．a B．b
C．a D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质分别化简即可．
【解答】解：A、若a＜0，则|a|＝﹣a，故此选项不符合题意；
B、若b＞0，则，故此选项不符合题意；
C、若a＜0，b＞0，则，故此选项符合题意；
D、若a＜0，b＞0，则，故此选项不符合题意；
故选：C．
4．（2025秋 北仑区期末）下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的加法、减法、除法分别进行计算即可得到答案．
【解答】解：根据二次根式的运算法则，逐项分析判断如下：
A． 与不是同类二次根式，不能合并，故选项错误，不符合题意；
B． ，故选项错误，不符合题意；
C． ，故选项错误，不符合题意；
D． ，故选项正确，符合题意；
故选：D．
5．（2025秋 隆德县校级期末）如图，正方形M的边长为m，面积为8；正方形N的边长为n，面积为32．计算的结果为（ ）
A．1 B．﹣2 C． D．
【答案】B
【分析】根据正方形的面积求出m，n的值，再进行计算即可．
【解答】解：由题意，得：，
∴，
故选：B．
6．（2025秋 杨浦区期中）甲、乙两位同学将二次根式变形的过程如下，
即：
乙：
由此，两位同学共同得到“任何实数a都等于它的相反数﹣a”的结论．
两位同学关于的变形过程，首次出现共同错误的地方是（ ）
A．第一个等号后 B．第二个等号后
C．第三个等号后 D．两位同学都没错
【答案】B
【分析】 要求 a≥0 且 b≥0．甲和乙在第二个等号后应用此性质时，未考虑a和﹣a的非负性，导致错误．
【解答】解：根据二次根式的性质可知：，而非简单等于a或﹣a．
甲的过程：（正确），但 仅当 a≥0 时成立；
乙的过程：（正确），但 仅当﹣a≥0（即 a≤0）时成立．
∴两位同学在第二个等号后应用根式性质时，均未确保a或﹣a非负．
∴首次共同错误出现在第二个等号后．
故选：B．
7．（2025秋 宣化区期末）我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（ ）
A．型无理数 B．型无理数
C．型无理数 D．型无理数
【答案】B
【分析】先利用完全平方公式展开，再化简二次根式，得到结果的形式后判断类型．
【解答】解：原式
，
故为型无理数．
故选：B．
8．（2025 四川校级自主招生）已知0＜a＜b，x，y，则x，y的大小关系是（ ）
A．x＞y B．x＝y
C．x＜y D．与a、b的取值有关
【答案】C
【分析】首先求x﹣y，然后比较比较与的绝对值大小即可求解．
【解答】解：x﹣y，
∵0＜a＜b，
∴2b+24b
∴0，
∴x﹣y＜0．
故选：C．
9．（2025秋 桃源县期末）按照如图所示的程序框图运算，若输入﹣2，则输出的值（ ）
A． B． C．2 D．﹣2
【答案】C
【分析】先判断﹣20，然后利用平方差公式计算（﹣2）（2）即可．
【解答】解：∵﹣20，
∴（﹣2）（2）＝6﹣4＝2，
∴输出的值为2．
故选：C．
10．（2023秋 肥城市期末）对于有理数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a，例如：min{1，﹣2}＝﹣2．已知min{，a}＝a，min{，b}，且a和b为两个连续正整数，则ab﹣（）2的立方根为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【答案】A
【分析】根据min{a，b}的含义得到：ab，由a和b为两个连续正整数求得它们的值，然后代入求值．
【解答】解：∵min{，a}＝a，min{，b}，
∴ab，
∵56，且a和b为两个连续正整数，
∴a＝5，b＝6，
∴ab﹣（）2＝5×6﹣31＝﹣1，
∴ab﹣（）2的立方根为﹣1．
故选：A．
二．填空题（共6小题）
11．（2025春 吉林期中）如果是最简二次根式，则x的值可能是 2（答案不唯一） .（填一个正确的即可）
【答案】2（答案不唯一）
【分析】根据最简二次根式的概念解答即可．
【解答】解：∵是最简二次根式，
∴当x+3＝5，即x＝2时，是最简二次根式，
故答案为：2（答案不唯一）．
12．（2025春 滨城区校级月考）实数a和b在数轴上如图所示，化简的结果是 ﹣b﹣1 ．
【答案】﹣b﹣1．
【分析】根据数轴可知，b＜0＜a＜1，|b|＞|a|，再根据化简，最后合并同类项即可得答案，
【解答】解：由数轴可知，b＜0＜a＜1，|b|＞|a|，
∴a+b＜0，a﹣1＜0，
∴原式＝|a+b|﹣|a﹣1|
＝﹣（a+b）﹣[﹣（a﹣1）]
＝﹣a﹣b+a﹣1
＝﹣b﹣1．
故答案为：﹣b﹣1．
13．（2025秋 抚州月考）若x，y都是实数，且，则xy的值为 4 ．
【答案】4．
【分析】由题意得：x﹣1≥0，1﹣x≥0，从而得出x＝1代入式子求得y＝4，即可得出答案．
【解答】解：由题意得：x﹣1≥0，1﹣x≥0，
解得：x＝1，
将x＝1代入等式得：y＝4，
∴xy＝1×4＝4，
故答案为：4．
14．（2025 哈尔滨校级四模）观察下列等式：，，第10个式子可表示为 ．
【答案】．
【分析】观察所给的等式，得到第n个式子为，然后利用规律解答即可．
【解答】解：根据所给的等式可知：
第n个式子为，
∴第10个式子为，
故答案为：．
15．（2025 重庆自主招生）已知a，b是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a，b）共有 7 对．
【答案】7
【分析】A，B只能是15n2，然后分别讨论及的取值，最终可确定有序数对的个数．
【解答】解：15只能约分成3，5
那么A，B只能是15n2
先考虑A这边：
①，那么B可以这边可以是1或者，
此时有：（15，60），（15，15），（60，15），
②，只能B这边也是，
此时有：（60，60），
③，那么B这边也只能是，
∴2×（）＝1，
此时有：（240，240）
④的话，那么B这边只能是，那么2（）＝1，
此时有：（135，540），（540，135）．
综上可得共有7对．
故答案为：7．
16．（2025秋 武昌区月考）阅读下列材料：我们知道，因此将的分子分母同时乘以“”，分母就变成了4，即，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：若，则代数式m3+2m2﹣2025m+2026的值是 2026 ．
【答案】2026．
【分析】首先对m进行分母有理化，再利用等式的性质计算出m2+2m+1的值，最后整体代入得结论．
【解答】解：∵m，
∴m+1．
∴（m+1）2＝2026，即m2+2m+1＝2026．
∴m3+2m2﹣2025m+2026
＝m3+2m2+m﹣2026m+2026
＝m（m2+2m+1）﹣2026m+2026
＝2026m﹣2026m+2026
＝2026．
故答案为：2026．
三．解答题（共8小题）
17．（2025秋 启东市期末）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先计算乘除法，再计算加法即可；
（2）先化简二次根式，计算除法和乘法，再计算加减法即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）
．
18．（2025秋 河南校级月考）求下列各式中x的取值范围．
（1）二次根式在实数范围内有意义．
（2）在实数范围内成立．
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，据此列不等式求解．
（2）依据二次根式乘法法则成立的条件，两个被开方数都为非负数，从而列不等式组求解．
【解答】解：（1）要使有意义，则，
，
；
（2）要使原式成立，则
，
由25﹣x≥0得x≤25，
由x﹣20≥0得x≥20，
所以20≤x≤25．
19．（2025秋 巴中期末）先化简，再求值：，其中．
【分析】根据二次根式有意义的条件求出x，y的值，再进行二次根式混合运算即可．
【解答】解：∵，
∴，
∴x＝4，
∴y＝2；
原式
＝x
，
当x＝4，y＝2时，原式．
20．（2025春 信阳期中）（1）若x，y都是实数，且，求5x+13y+6的立方根；
（2）已知与互为相反数，求的值．
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件，可以得到x的值，进而得到y的值，最后代入求解即可；
（2）根据题意得到3y﹣1+1﹣2x＝0，进一步计算即可求解．
【解答】解：（1）由题意解得x＝3，
所以，
所以；
（2）∵与互为相反数，
∴3y﹣1+1﹣2x＝0，
∴．
21．（2025秋 薛城区期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间t（单位：s）和下落高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑阻力的影响）．
（1）物体从20m的高空落到地面的时间为 2 s．
（2）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）＝10×物体质量（kg）×高度（m）．一个质量为0.05kg的鸡蛋经过6s落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？会对无防护人体造成伤害吗？（注：伤害无防护人体只需要的能量）
【分析】（1）根据公式，代入计算即可；
（2）先根据公式，求得高度，再根据公式E＝10×物体质量（kg）×高度（m），计算能量即可．
【解答】解：（1）根据公式，代入计算可得：
．
故答案为：2；
（2）根据公式，求得高度为：
h＝5t2＝180（m），
∴E＝10×0.05×180＝90（J），而，
∴，
故，会对无防护人体造成伤害．
22．（2025秋 朝阳区校级期末）我们知道：π＝3.1415926…，它是无限不循环小数，它的整数部分是3，可以用π﹣3来表示它的小数部分，请根据上述方法解答：
（1）的整数部分 2 ；
（2）a为的整数部分，b为的小数部分，求的值；
（3）已知，其中x是正整数，0＜y＜1，则的值是 8 ．
【分析】（1）估算出的取值范围，进而可得出结论；
（2）估算出的取值范围，然后求出a，b的值，再代入即可得出答案；
（3）由（1）和已知条件可得出x，y的值，然后代入即可得出答案．
【解答】解：（1）∵4＜5＜9，
∴，
∴的整数部分为2．
故答案为：2．
（2）∵9＜10＜16，
∴，
∴的整数部分3，
∴的小数部分，
∴a＝3，，
∴；
（3）∵，
∴，
∵，其中x是正整数，0＜y＜1，
∴x＝5+2＝7，，
∴
＝7+1
＝8，
故答案为：8．
23．（2025春 大石桥市期中）阅读下列例题．
在学习二次根式性质时我们知道．
例题：求的值．
解：设，
两边平方得：，
即：，x2＝10，
∴，
∵，
∴．
（1）则的值是 ；
（2）请利用上述方法，求的值；
（3）若，求n的值．
【分析】（1）利用二次根式的性质求解即可；
（2）仿照题干方法，利用二次根式的运算法则和性质求解即可；
（3）仿照题干方法，给等式两边乘方，再利用二次根式的运算法则和性质求解即可．
【解答】解：（1）∵，
∴．
故答案为：；
（2）根据题意，设，
两边平方得：，
即，
x2＝14，
∴，
∵，
∴；
（3）根据题意可知，两边平方，
得，
∴，
，
81﹣n＝49，
解得：n＝32．
24．（2025秋 青山湖区校级期末）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究：
材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）．
材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S．
（1）利用材料1解决下面的问题：
当a＝3，b＝5，c＝6时，求这个三角形的面积；
（2）利用材料2解决下面的问题：
已知△ABC三条边的长度分别是，记△ABC的周长为C△ABC．
①当x＝2时，请直接写出△ABC中最长边的长度 3 ；
②若x是满足0＜x≤4的整数，当C△ABC取得最大值时，请用秦九韶公式求出△ABC的面积．
【分析】（1）求出p，把a、b、c、p的值代入海伦公式计算即可求解；
（2）①把x＝2代入计算即可求解；②根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围，进而化简C△ABC，根据C△ABC取最大值且x为整数，确定出a、b、c的值，进而求出的值，代入秦九韶公式计算即可求解．
【解答】解：（1）∵a＝3，b＝5，c＝6，
∴，
∴；
（2）①当x＝2时，
，，，
∴△ABC中最长边的长度为3．
②∵0＜x≤4，
∴，，
∴
，
∵，0＜x≤4，x为整数，
∴当x＝4时，三边为，1，4，
∵，
∴x＝4不合题意，舍去，
当x＝3时，三边为2，2，3，符合题意，此时C△ABC取最大值，
∴a＝2，b＝2，c＝3，
∴
．
