2026年高考数学模拟冲刺卷1（北京卷）（含答案）

2026年高考数学模拟冲刺卷1（北京卷）
考试须知：本试卷共21个题目，满分150分，考试时间120分钟
一、单选题(每题4分，共40分，每个小题只有一个正确选项)
1．已知全集，，则集合（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（ ）
A． B．3 C． D．1
3．设为单位向量，且，则（ ）
A．1 B． C． D．2
4．把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．设椭圆的左右焦点为，右顶点为，已知点在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知点在抛物线上，则点到抛物线的焦点的距离为（ ）
A．2 B． C．4 D．6
8．已知函数，则“”是“在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．历史上，在5月27日曾有多次地震记录．例如：2006年5月27日，印尼爪哇发生里氏6.3级地震，2024年5月27日，四川木里县发生里氏5.0级地震，经过科学家的研究发现，地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．印尼爪哇地震所释放出来的能量约是四川木里地震的（ ）倍．（精确到1．参考数据：）
A．87 B．88 C．89 D．90
10．中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧（法号：一行）为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法——二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年）：函数在，，处的函数值分别为，，，则在区间上可以用二次函数来近似代替：，其中，，，若令，，，请依据上述算法，估算是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，共25分）
11．已知，则_______.
12．设是函数的导函数，若，则______．
13．设，若，则______.
14．在平面直角坐标系中，双曲线的左 右焦点分别为，点是上任意一点，且，则的渐近线方程为__________.
15．已知函数．若函数有零点，则实数的取值范围是__________．
三、解答题(本部分6个小题，共85分)
16．（14分）在中，．
(1)求；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求和的值．
条件①:，边上中线的长为；
条件②:，的面积为6；
条件③:，边上的高的长为2．
注:如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
17（13分）．如图，在直四棱柱中，，．
(1)求线段的长；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
18（13分）．高一高二两个年级举行围棋团体赛，两年级各出3人，编号为1，2，3号，进行三场比赛，三场比赛同时进行，赛制按三局两胜.下表中，第行第列的数据表示高一的第号战胜高二第号的概率.
0.4 0.6 0.8
0.4 0.5 0.6
0.3 0.4 0.5
(1)若高一1，2，3号与高二1，2，3号同号进行比赛，求高一获胜的概率；
(2)若两个年级重新抽签定对手，在高一1号对弈高二3号的前提下，求最后高一胜出的概率.
19（15分）．已知椭圆的离心率为，且椭圆经过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知，过椭圆的左焦点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，求的面积.
20（15分）．已知函数，．
(1)求函数的极值；
(2)若函数为偶函数．
①求的值；
②证明：不等式恒成立．
21（15分）．数列的前n项组成集合，从集合中任取个数，其所有可能的k个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），例如：对于数列，当时，时，；
(1)若集合，求当时，的值；
(2)若集合，证明：时集合的与时集合的（为了以示区别，用表示）有关系式，其中；
(3)对于（2）中集合．定义，求（用n表示）．
试卷第1页，共3页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B D D D C A C
11．
12．2
13．
14．
15．
16．【详解】（1）在中，因为，
再由
可得.
所以，即.
因为，所以，，
所以.
（2）选择条件①：设点为的中点，则，，
中，根据余弦定理,
解得：或，
这样或，则不唯一确定；
选择条件②： 在中，，
解得.
所以.
解得.
在中，因为，所以.
选择条件③：在中，因为，，
所以，
在中，
在中，可得；
17．【详解】（1）如图，因为，，所以，即.
又四棱柱为直四棱柱，所以平面，
平面，所以，.
所以，可以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
设，则．
，，
因为，所以，即，
解得，所以.
（2）由（1）得，，，，则
因为，
设平面的一个法向量是，
则，即，令，解得，即.
因为，设平面的一个法向量是，
则，即，令，解得，即.
则．
故平面与平面夹角的余弦值为.
18．【详解】（1）高一胜出可分为3个互斥事件：1号，2号，3号负，另外两人胜；
概率为：;
（2）高一胜出分为两个互斥事件：
高一2号对战高二1号、高一2号对战高二2号
故
故高一最后胜出的概率为：0.547
19．【详解】（1）由题意有：，
所以椭圆的方程为：；
（2）由题意有：左焦点，所以过且倾斜角为的直线的方程为：，
所以，
设，
所以，
所以，
又点到直线的距离为：
，
所以.
20．【详解】（1），定义域为，
，
当时，，在上单调递增，无极值.
当时，令，解得，所以在上单调递减，
令，解得，所以在上单调递增，
则有极小值，无极大值.
综上，当时，无极值；当时，有极小值，无极大值.
（2）①，
因为为偶函数，则，即，
化简得，此式对均成立，则，即,
所以的值为.
②可化为，
即证，
令，，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以，即，当且仅当时，等号成立，
则，
只需证对恒成立，
令，，
令，，
因为，，当且仅当时，等号成立，故，所以，即在上单调递增，
则，则在上单调递增，
则，则对恒成立，
故不等式恒成立.
21．【详解】（1）时，，
∴，，．
（2）时，集合的中各乘积由两部分构成，
一部分是乘积中含因数，乘积的其他因数来自集合，故诸乘积和为；
另一部分不含，乘积的所有因数来自集合，故诸乘积的和为．
故．
（3）我们先证明一个性质：
所有非空子集中各元素的乘积和为．
证明：考虑的展开式，该展开式共有项，
每一项均为各因式中选取或后的乘积（除去各项均选1）．
对于的任意非空子集，
该集合中各元素的乘积为的展开式中的某一项：即第个因式选择， ，其余的因式选择1，
注意到非空子集的个数为，
故的所有非空子集中各元素的乘积均在的展开式中恰好出现一次，
∴所有非空子集中各元素的乘积和为．
故对于，
.
答案第1页，共2页
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