2025-2026学年下学期安徽合肥高三数学3月质量检测试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年下学期安徽合肥高三数学3月质量检测试卷（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 240.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-16 00:00:00 | ||
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文档简介
高三 3 月( 二 ) 数学
注意事项:
1. 答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。回答非选择题时, 将答案写在答题卡上。
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的.
1. 已知集合
A. 或 | B. 或
C. 或 D. 或
2. 已知 在复平面内对应的点为 ,则复数
A. B. C. D.
3. 某次高三数学测试成绩 服从正态分布 ,且 ,现从参加本次数学测试的高三学生中随机抽取 1 名, 则该学生的成绩在区间 内的概率为
A. 0.78 B. 0.64 C. 0.36 D.0.22
4. 已知递增的等比数列 的前 项和为 ,若 是方程 的两个根,则
A. 126 B. 63 C. 62 D. 31
5. 在平面直角坐标系 中,已知点 为 的中点,点 满足 ,则
A. B. C. 5 D.
6. 已知函数 的图象关于点 对称,且 ,则
A. 1 B. -1
C. D.
7. 已知抛物线 的焦点为 ，过 且不与坐标轴垂直的直线 与 交于 ， 两点， 为线段 的中点，过 作 的准线的垂线，垂足为 ，若 为等腰三角形，则直线 的斜率的绝对值为
A. B. C. 1 D.
8. 已知函数 若不等式 对 恒成立,则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求,全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 在一个不透明的盒子中,放有标号分别为1,2,3,4的四个大小相同的小球,现从这个盒子中有放回地先后取两个小球,取到球的标号分别为 ,记 ,则下列说法正确的是
A. 事件“ ”与“ 且 ”是相等事件 B. 当 时, 的取值有 4 种情况
C. D.
10. 已知椭圆 的短轴长为 ，左、右焦点分别为 为 上一动点,且 的最大值为 4,则下列说法正确的是
A. 的方程为
B. 若过点 且垂直于 轴的直线交 于 两点,则
C. 若 是 上两点,且 的中点为 ,则直线 的方程为
D. 若过点 且互相垂直的两条直线与 分别交于点 和点 ,则
11. 如图，在棱长为 2 的正方体 中， 为线段 上的动点 (包括端点),则下列说法正确的是
A. 三棱锥 的体积为定值
B. 正方体的外接球球心到平面 的距离为
C. 存在点 ,使得
D. 点 到直线 的距离的最小值为
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 已知函数 ,若 的图象在点 处的切线经过点 ,则实数
13. 已知圆 经过点 ， ，且圆心 在直线 上，若直线 与圆 相交，则实数 的取值范围为_____.
14. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子,记掷出点数 1 为事件 ,抛掷 次后事件 发生奇数次的概率为 ,则 _____ (用 表示)
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 .
(1)求 的值；
(2)若 ，且 的外接圆的面积为 ，求 的周长.
16. (15 分)
某学校为了研究学生的写作水平与每周课外阅读时长的关系，在该校随机抽取了 200 名学生，统计他们每周的课外阅读时长(单位:时)，得到如下的频率分布表:
每周课外阅读时长 [4,6) [6,8) [8,10]
频率 0.1 0.2 0.3 0.25 0.15
同时, 对这 200 名学生进行写作水平测试, 根据测试成绩将学生分为 “写作水平良好” 和 “写作水平一般”两类,得到如下的 列联表:
写作水平良好 写作水平一般 合计
每周课外阅读时长不低于6 小时 50
每周课外阅读时长低于 6 小时 80
合计 200
(1)根据已知条件补全 列联表,并依据小概率值 的独立性检验,判断学生的写作水平与每周课外阅读时长是否有关；
(2)从每周课外阅读时长在 和 的学生中按比例用分层随机抽样的方法抽取 5 人，再从这 5 人中随机抽取 2 人参加座谈，设 表示抽取的 2 人中每周课外阅读时长在 的人数，求 的分布列和数学期望.
附: .
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
17. (15 分)
如图，在四棱锥 中， ， ， ， 平面 ， 且 为 的中点.
(1)求证: ；
(2)F 为棱 PD 上一点，且直线 PA 与平面 BCF 所成的角为 ，求平面 与平面 夹角的大小.
18.(17分)
已知双曲线 的离心率为 ，且 过点 为坐标原点.
(1)求 的方程.
(2)动直线 过 的右焦点 且与 交于 两点,证明: 为定值.
(3)C上是否存在互不重合的三点 ，使得四边形 为平行四边形？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由.
19. (17分)
已知函数 .
(1)当 时,求 在区间 上的最大值与最小值;
(2)讨论 的零点个数；
(3)若函数 有三个不同的极值点 ，且满足 . ,求 的取值范围.
高三 3 月(二) 数学 答案
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
1. 答案
命题透析 本题考查集合的交与补运算.
因为 ,所以 或 ,由 ,解得 或 ,所以 或 ,故 或 .
2. 答案
命题透析 本题考查复数的几何意义和复数的运算.
由题意得 .
3. 答案
命题透析 本题考查正态分布.
由已知得 90 与 120 关于均值 105 对称,故 .
4. 答案
命题透析 本题考查等比数列基本量的计算.
由 解得 或 ,由题知 ,所以公比 .
5. 答案 D
命题透析 本题考查平面向量的坐标运算.
因为 为 的中点,所以 . 设 ,则 . 由 ,得 解得 即 ,所以 ,则 .
6. 答案 A
命题透析 本题考查正切函数的图象和性质.
令 ,得 ,即 图象的对称中心为 . 又 ,只有 时, 符合题意,则 ,所以 .
7. 答案 C
命题透析 本题考查直线与抛物线的位置关系.
抛物线 的焦点为 ,准线方程为 . 因为直线 的斜率存在且不为 0,直线 过焦点 ,所以可设直线 的方程为 ,联立得 消去 ,得 . 设 , ,则 . 设 的中点 ,则 ,即 ,依题意,得 ,则 , . 当 为等腰三角形时,若 ,即 ,得 ,则直线 的斜率的绝对值为 ; 若 ,即 ,方程无解; 若 ,即 ,得 ,不符合题意,舍去. 综上, .
8. 答案
命题透析 本题考查分段函数及函数的单调性.
当 时,令 ,易知函数 在 上单调递增,所以 ; 当 时,令 ,易知 在 上单调递增,所以 ; 当 时,令 ,因为函数 在 上单调递增,故函数 在 上单调递增,所以 . 综上, ,所以 ,即实数 的取值范围是 .
二、多项选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 每小题全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 答案
命题透析 本题考查互斥事件的概念、古典概型的概率及条件概率的计算.
对于 ,事件 “ ” 包含 “ 且 ” 和 “ 且 ” 两种情况,故 错误;
对于 ,当 时, 的取值组合情况为 ,共 4 种情况,故 正确;
对于 ,从盒子中有放回地先后取两个小球,基本事件总数为 ,当 时,有 , ,共 6 种情况,所以 ,故 错误;
对于 ” 包含的基本事件有 ,共 10 种，“ ”且“ ”包含的基本事件有 ，共 7 种，设“ ”为事件 ” 为事件 ,则 ,根据条件概率公式得 ,故 D 正确.
10. 答案 ACD
命题透析 本题考查椭圆的方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系.
对于 ,依题意得 ,所以 的方程为 ,故 A 正确.
对于 ,由上面的分析知 ,把 代入方程 ,得 ,不妨记 ,则 ,故 错误.
对于 ,设 ,则 ①, ②,①-②,得 ,因为 是 的中点,所以 ,设直线 的斜率为 ,则 ,代入上式得 ,则直线 的方程为 ,整理得 ,故 正确.
对于 ,当直线 中有一条的斜率不存在时,不妨设直线 垂直于 轴,此时 ,则 ; 当直线 的斜率都存在时,设直线 的斜率为 , ,其方程为 ,联立得 消去 ,得 ,则 ,所以 , 用 替换 ，可得 . 所以 ,故 D 正确.
11. 答案 ABD
命题透析 本题考查两直线垂直的判断,点到直线、平面的距离的求解.
对于 ,因为 平面 平面 ,所以 平面 ,所以 上任一点 到平面 的距离 为定值，又 为定值，故 为定值，故 正确；
对于 ,连接 ,记正方体 的外接球球心为 ,易知 是正方体体对角线 的中点, 因为平面 平面 ,且平面 和平面 与体对角线 的交点是 的两个三等分点, ,所以点 到平面 的距离为 ,故 正确；
对于 ,以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ,则 ,所以 ,设 ,因为 ,所以 , 又 ,若 ,则 ,解得 ,所以这样的点 不存在,故 错误;
对于 ,所以点 到直线 的距离 ,又 ,所以当 时, ,故 正确.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 答案 2
命题透析 本题考查导数的几何意义.
由 ,得 ,则 ,即此时切线的斜率 ,又 ,即切点为 ,故所求切线方程为 ,又点 在切线上,代入切线方程,解得 .
13. 答案
命题透析 本题考查直线过定点、直线与圆的位置关系.
由圆心 在直线 上,可设 ,圆 的半径为 ,因为圆 经过点 ,所以 ,即 ,解得 ,此时圆 的方程为 ,
圆心为 ,半径 . 依题意,圆心 到直线 的距离 ,整理得 ,解得 ,即实数 的取值范围为 .
14. 答案
命题透析 本题考查二项式定理的实际应用.
记抛掷 次后,事件 发生偶数次的概率为 ,则 和 的最后一项为 或 ,具体是哪一个取决于 是奇数还是偶数,则 ,上面两式联立可得 .
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 命题透析 本题考查利用正、余弦定理解三角形.
(1) 由 ,
结合正弦定理,得 , (2 分)
即 , (4 分)
因为 ,所以 ,即 . (5 分)
(2)由(1)知 ，则 . (6 分)
设 的外接圆的半径为 ,由 ,得 ,
由正弦定理,得 . (9 分)
在 中,由余弦定理得 ,
代入 ,得 ,
所以 . (12 分)
故 的周长 . (13 分)
16. 命题透析 本题考查独立性检验和超几何分布的分布列和数学期望.
(1) 每周课外阅读时长不低于 6 小时的人数为 ,
补充完整的 列联表如下:
写作水平良好 写作水平一般 合计
每周课外阅读时长不低于 6 小时 50 30 80
每周课外阅读时长低于 6 小时 40 80 120
合计 90 110 200
(3 分)
零假设为 : 学生的写作水平与每周课外阅读时长无关,
根据上表中的数据可得 , (6 分)
依据小概率值 的独立性检验,我们推断 不成立,即认为学生的写作水平与每周课外阅读时长有关. (7 分)
(2)按比例用分层随机抽样的方法抽取 5 人，从 中抽取 人，从 中抽取 人. (9 分)
表示抽取的 2 人中每周课外阅读时长在 的人数,则 的所有可能取值为 0,1,2 . (10 分)
所以 的分布列为
0 1 2
(13 分)
(15 分)
17. 命题透析 本题考查线线垂直的证明及利用空间向量解决线面、面面夹角问题.
(1) 如图,过点 作 交 于点 ,连接 .
因为 平面 平面 ,所以 , (1 分)
又 ,所以 ,因为 为 的中点,所以 为 的中点. (2 分)
因为 ,所以 ,
又 ,且 ,所以四边形 为正方形,所以 , (4 分)
又 平面 平面 ,且 ,所以 平面 ,又 平面 ,所以 . (6 分)
(2)如图，以 为坐标原点，以 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ，
则 ,设 ,
则 . (8 分)
设平面 的法向量为 ,则 即
令 ,得 ,故 . (10 分)
又 ,依题意,得 ,
解得 或 (舍去),此时 . (12 分)
易知平面 的一个法向量为 . (13 分)
设平面 与平面 的夹角为 ,
则 ,所以 .
所以平面 与平面 的夹角为 . (15 分)
18. 命题透析 本题考查双曲线的方程,直线与双曲线的位置关系.
(1) 设双曲线的半焦距为 ,由离心率 ,得 . (1 分)
又 ,即 ,所以 . (2 分)
由 过点 ,得 ,即 ,
解得 ,
所以 的方程为 . (4 分)
(2)易知 的右焦点为 .
当 的斜率不为 0 时,设其方程为 ,
联立得 消去 ,得 ,
则 ,
且 ,
所以 . (7 分)
因为 ,
所以
. (9 分)
当 的斜率为 0 时,不妨设 ,
则 ,所以 .
综上, 为定值 -2 . (10 分)
(3)假设存在这样的三个点，使得四边形 为平行四边形，即 .
若直线 的斜率不存在,设其方程为 ,代入双曲线方程 ,
可得 .
不妨设 ,
则 .
因为点 在 上,所以 ,得 ,
此时 ,与 矛盾. (12 分)
若直线 的斜率存在,设其方程为 .
联立得 消去 ,得 ,
则 ,化简可得 . ① (13 分)
由 ,得 . (14 分)
因为 ,所以 ,即 .
又点 在 上，所以 ，化简得 . ② (15 分)
由①②可得 ，这显然不成立，故假设不成立. (16 分)
综上，不存在互不重合的三点 ，使得四边形 为平行四边形. (17 分)
19. 命题透析 本题考查利用导数研究函数的单调性、最值、零点, 解不等式.
(1) 当 时, . (1 分)
当 时, ,所以 在 上单调递增, (2 分)
所以 . (3 分)
(2) 令 ,得 ,得 .
令 ,则 的零点个数等价于直线 与 图象的交点个数. (4 分)
,令 ,得 .
当 时, ,则 ,所以 在 上单调递增;
当 时, ,则 ,所以 在 上单调递减. (5 分)
所以 ,又当 时, ,故 ,当 时, 的增长速度远慢于 ,故 . 画出 的大致图象,如图. (6 分)
数形结合得:
当 时,直线 与 的图象无交点,故 无零点;
当 时,直线 与 的图象在 处有 1 个公共点,故 有 1 个零点;
当 时,直线 与 的图象在 和 上各有 1 个交点,故 有 2 个零点.
当 时,直线 与 的图象在 上有 1 个交点,故 有 1 个零点. (8 分)
(3)因为 ，所以 ，
则 .
令 ,解得 ,或 .
令 ,则 .
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减. (10 分)
所以 在 处取得最大值,此时 ,又当 时, ,当 时, , 所以要使 在定义域内有三个不同的极值点 ,必须 的图象与直线 有两个不同的交点, 数形结合可得 . (12 分)
不妨设 ,则 ,
所以 ,即 ,所以 ,
所以
(14 分)
令 ,则 ,
易知 关于 在 上单调递增,所以 ,
又 ,所以 ,所以 在 上单调递增. (15 分)
因为 ,所以当 时, ,
即当 时, 恒成立,
所以实数 的取值范围是 . (17 分)
注意事项:
1. 答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。回答非选择题时, 将答案写在答题卡上。
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的.
1. 已知集合
A. 或 | B. 或
C. 或 D. 或
2. 已知 在复平面内对应的点为 ,则复数
A. B. C. D.
3. 某次高三数学测试成绩 服从正态分布 ,且 ,现从参加本次数学测试的高三学生中随机抽取 1 名, 则该学生的成绩在区间 内的概率为
A. 0.78 B. 0.64 C. 0.36 D.0.22
4. 已知递增的等比数列 的前 项和为 ,若 是方程 的两个根,则
A. 126 B. 63 C. 62 D. 31
5. 在平面直角坐标系 中,已知点 为 的中点,点 满足 ,则
A. B. C. 5 D.
6. 已知函数 的图象关于点 对称,且 ,则
A. 1 B. -1
C. D.
7. 已知抛物线 的焦点为 ，过 且不与坐标轴垂直的直线 与 交于 ， 两点， 为线段 的中点，过 作 的准线的垂线，垂足为 ，若 为等腰三角形，则直线 的斜率的绝对值为
A. B. C. 1 D.
8. 已知函数 若不等式 对 恒成立,则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求,全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 在一个不透明的盒子中,放有标号分别为1,2,3,4的四个大小相同的小球,现从这个盒子中有放回地先后取两个小球,取到球的标号分别为 ,记 ,则下列说法正确的是
A. 事件“ ”与“ 且 ”是相等事件 B. 当 时, 的取值有 4 种情况
C. D.
10. 已知椭圆 的短轴长为 ，左、右焦点分别为 为 上一动点,且 的最大值为 4,则下列说法正确的是
A. 的方程为
B. 若过点 且垂直于 轴的直线交 于 两点,则
C. 若 是 上两点,且 的中点为 ,则直线 的方程为
D. 若过点 且互相垂直的两条直线与 分别交于点 和点 ,则
11. 如图，在棱长为 2 的正方体 中， 为线段 上的动点 (包括端点),则下列说法正确的是
A. 三棱锥 的体积为定值
B. 正方体的外接球球心到平面 的距离为
C. 存在点 ,使得
D. 点 到直线 的距离的最小值为
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 已知函数 ,若 的图象在点 处的切线经过点 ,则实数
13. 已知圆 经过点 ， ，且圆心 在直线 上，若直线 与圆 相交，则实数 的取值范围为_____.
14. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子,记掷出点数 1 为事件 ,抛掷 次后事件 发生奇数次的概率为 ,则 _____ (用 表示)
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 .
(1)求 的值；
(2)若 ，且 的外接圆的面积为 ，求 的周长.
16. (15 分)
某学校为了研究学生的写作水平与每周课外阅读时长的关系，在该校随机抽取了 200 名学生，统计他们每周的课外阅读时长(单位:时)，得到如下的频率分布表:
每周课外阅读时长 [4,6) [6,8) [8,10]
频率 0.1 0.2 0.3 0.25 0.15
同时, 对这 200 名学生进行写作水平测试, 根据测试成绩将学生分为 “写作水平良好” 和 “写作水平一般”两类,得到如下的 列联表:
写作水平良好 写作水平一般 合计
每周课外阅读时长不低于6 小时 50
每周课外阅读时长低于 6 小时 80
合计 200
(1)根据已知条件补全 列联表,并依据小概率值 的独立性检验,判断学生的写作水平与每周课外阅读时长是否有关；
(2)从每周课外阅读时长在 和 的学生中按比例用分层随机抽样的方法抽取 5 人，再从这 5 人中随机抽取 2 人参加座谈，设 表示抽取的 2 人中每周课外阅读时长在 的人数，求 的分布列和数学期望.
附: .
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
17. (15 分)
如图，在四棱锥 中， ， ， ， 平面 ， 且 为 的中点.
(1)求证: ；
(2)F 为棱 PD 上一点，且直线 PA 与平面 BCF 所成的角为 ，求平面 与平面 夹角的大小.
18.(17分)
已知双曲线 的离心率为 ，且 过点 为坐标原点.
(1)求 的方程.
(2)动直线 过 的右焦点 且与 交于 两点,证明: 为定值.
(3)C上是否存在互不重合的三点 ，使得四边形 为平行四边形？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由.
19. (17分)
已知函数 .
(1)当 时,求 在区间 上的最大值与最小值;
(2)讨论 的零点个数；
(3)若函数 有三个不同的极值点 ，且满足 . ,求 的取值范围.
高三 3 月(二) 数学 答案
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
1. 答案
命题透析 本题考查集合的交与补运算.
因为 ,所以 或 ,由 ,解得 或 ,所以 或 ,故 或 .
2. 答案
命题透析 本题考查复数的几何意义和复数的运算.
由题意得 .
3. 答案
命题透析 本题考查正态分布.
由已知得 90 与 120 关于均值 105 对称,故 .
4. 答案
命题透析 本题考查等比数列基本量的计算.
由 解得 或 ,由题知 ,所以公比 .
5. 答案 D
命题透析 本题考查平面向量的坐标运算.
因为 为 的中点,所以 . 设 ,则 . 由 ,得 解得 即 ,所以 ,则 .
6. 答案 A
命题透析 本题考查正切函数的图象和性质.
令 ,得 ,即 图象的对称中心为 . 又 ,只有 时, 符合题意,则 ,所以 .
7. 答案 C
命题透析 本题考查直线与抛物线的位置关系.
抛物线 的焦点为 ,准线方程为 . 因为直线 的斜率存在且不为 0,直线 过焦点 ,所以可设直线 的方程为 ,联立得 消去 ,得 . 设 , ,则 . 设 的中点 ,则 ,即 ,依题意,得 ,则 , . 当 为等腰三角形时,若 ,即 ,得 ,则直线 的斜率的绝对值为 ; 若 ,即 ,方程无解; 若 ,即 ,得 ,不符合题意,舍去. 综上, .
8. 答案
命题透析 本题考查分段函数及函数的单调性.
当 时,令 ,易知函数 在 上单调递增,所以 ; 当 时,令 ,易知 在 上单调递增,所以 ; 当 时,令 ,因为函数 在 上单调递增,故函数 在 上单调递增,所以 . 综上, ,所以 ,即实数 的取值范围是 .
二、多项选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 每小题全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 答案
命题透析 本题考查互斥事件的概念、古典概型的概率及条件概率的计算.
对于 ,事件 “ ” 包含 “ 且 ” 和 “ 且 ” 两种情况,故 错误;
对于 ,当 时, 的取值组合情况为 ,共 4 种情况,故 正确;
对于 ,从盒子中有放回地先后取两个小球,基本事件总数为 ,当 时,有 , ,共 6 种情况,所以 ,故 错误;
对于 ” 包含的基本事件有 ,共 10 种，“ ”且“ ”包含的基本事件有 ，共 7 种，设“ ”为事件 ” 为事件 ,则 ,根据条件概率公式得 ,故 D 正确.
10. 答案 ACD
命题透析 本题考查椭圆的方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系.
对于 ,依题意得 ,所以 的方程为 ,故 A 正确.
对于 ,由上面的分析知 ,把 代入方程 ,得 ,不妨记 ,则 ,故 错误.
对于 ,设 ,则 ①, ②,①-②,得 ,因为 是 的中点,所以 ,设直线 的斜率为 ,则 ,代入上式得 ,则直线 的方程为 ,整理得 ,故 正确.
对于 ,当直线 中有一条的斜率不存在时,不妨设直线 垂直于 轴,此时 ,则 ; 当直线 的斜率都存在时,设直线 的斜率为 , ,其方程为 ,联立得 消去 ,得 ,则 ,所以 , 用 替换 ，可得 . 所以 ,故 D 正确.
11. 答案 ABD
命题透析 本题考查两直线垂直的判断,点到直线、平面的距离的求解.
对于 ,因为 平面 平面 ,所以 平面 ,所以 上任一点 到平面 的距离 为定值，又 为定值，故 为定值，故 正确；
对于 ,连接 ,记正方体 的外接球球心为 ,易知 是正方体体对角线 的中点, 因为平面 平面 ,且平面 和平面 与体对角线 的交点是 的两个三等分点, ,所以点 到平面 的距离为 ,故 正确；
对于 ,以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ,则 ,所以 ,设 ,因为 ,所以 , 又 ,若 ,则 ,解得 ,所以这样的点 不存在,故 错误;
对于 ,所以点 到直线 的距离 ,又 ,所以当 时, ,故 正确.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 答案 2
命题透析 本题考查导数的几何意义.
由 ,得 ,则 ,即此时切线的斜率 ,又 ,即切点为 ,故所求切线方程为 ,又点 在切线上,代入切线方程,解得 .
13. 答案
命题透析 本题考查直线过定点、直线与圆的位置关系.
由圆心 在直线 上,可设 ,圆 的半径为 ,因为圆 经过点 ,所以 ,即 ,解得 ,此时圆 的方程为 ,
圆心为 ,半径 . 依题意,圆心 到直线 的距离 ,整理得 ,解得 ,即实数 的取值范围为 .
14. 答案
命题透析 本题考查二项式定理的实际应用.
记抛掷 次后,事件 发生偶数次的概率为 ,则 和 的最后一项为 或 ,具体是哪一个取决于 是奇数还是偶数,则 ,上面两式联立可得 .
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 命题透析 本题考查利用正、余弦定理解三角形.
(1) 由 ,
结合正弦定理,得 , (2 分)
即 , (4 分)
因为 ,所以 ,即 . (5 分)
(2)由(1)知 ，则 . (6 分)
设 的外接圆的半径为 ,由 ,得 ,
由正弦定理,得 . (9 分)
在 中,由余弦定理得 ,
代入 ,得 ,
所以 . (12 分)
故 的周长 . (13 分)
16. 命题透析 本题考查独立性检验和超几何分布的分布列和数学期望.
(1) 每周课外阅读时长不低于 6 小时的人数为 ,
补充完整的 列联表如下:
写作水平良好 写作水平一般 合计
每周课外阅读时长不低于 6 小时 50 30 80
每周课外阅读时长低于 6 小时 40 80 120
合计 90 110 200
(3 分)
零假设为 : 学生的写作水平与每周课外阅读时长无关,
根据上表中的数据可得 , (6 分)
依据小概率值 的独立性检验,我们推断 不成立,即认为学生的写作水平与每周课外阅读时长有关. (7 分)
(2)按比例用分层随机抽样的方法抽取 5 人，从 中抽取 人，从 中抽取 人. (9 分)
表示抽取的 2 人中每周课外阅读时长在 的人数,则 的所有可能取值为 0,1,2 . (10 分)
所以 的分布列为
0 1 2
(13 分)
(15 分)
17. 命题透析 本题考查线线垂直的证明及利用空间向量解决线面、面面夹角问题.
(1) 如图,过点 作 交 于点 ,连接 .
因为 平面 平面 ,所以 , (1 分)
又 ,所以 ,因为 为 的中点,所以 为 的中点. (2 分)
因为 ,所以 ,
又 ,且 ,所以四边形 为正方形,所以 , (4 分)
又 平面 平面 ,且 ,所以 平面 ,又 平面 ,所以 . (6 分)
(2)如图，以 为坐标原点，以 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ，
则 ,设 ,
则 . (8 分)
设平面 的法向量为 ,则 即
令 ,得 ,故 . (10 分)
又 ,依题意,得 ,
解得 或 (舍去),此时 . (12 分)
易知平面 的一个法向量为 . (13 分)
设平面 与平面 的夹角为 ,
则 ,所以 .
所以平面 与平面 的夹角为 . (15 分)
18. 命题透析 本题考查双曲线的方程,直线与双曲线的位置关系.
(1) 设双曲线的半焦距为 ,由离心率 ,得 . (1 分)
又 ,即 ,所以 . (2 分)
由 过点 ,得 ,即 ,
解得 ,
所以 的方程为 . (4 分)
(2)易知 的右焦点为 .
当 的斜率不为 0 时,设其方程为 ,
联立得 消去 ,得 ,
则 ,
且 ,
所以 . (7 分)
因为 ,
所以
. (9 分)
当 的斜率为 0 时,不妨设 ,
则 ,所以 .
综上, 为定值 -2 . (10 分)
(3)假设存在这样的三个点，使得四边形 为平行四边形，即 .
若直线 的斜率不存在,设其方程为 ,代入双曲线方程 ,
可得 .
不妨设 ,
则 .
因为点 在 上,所以 ,得 ,
此时 ,与 矛盾. (12 分)
若直线 的斜率存在,设其方程为 .
联立得 消去 ,得 ,
则 ,化简可得 . ① (13 分)
由 ,得 . (14 分)
因为 ,所以 ,即 .
又点 在 上，所以 ，化简得 . ② (15 分)
由①②可得 ，这显然不成立，故假设不成立. (16 分)
综上，不存在互不重合的三点 ，使得四边形 为平行四边形. (17 分)
19. 命题透析 本题考查利用导数研究函数的单调性、最值、零点, 解不等式.
(1) 当 时, . (1 分)
当 时, ,所以 在 上单调递增, (2 分)
所以 . (3 分)
(2) 令 ,得 ,得 .
令 ,则 的零点个数等价于直线 与 图象的交点个数. (4 分)
,令 ,得 .
当 时, ,则 ,所以 在 上单调递增;
当 时, ,则 ,所以 在 上单调递减. (5 分)
所以 ,又当 时, ,故 ,当 时, 的增长速度远慢于 ,故 . 画出 的大致图象,如图. (6 分)
数形结合得:
当 时,直线 与 的图象无交点,故 无零点;
当 时,直线 与 的图象在 处有 1 个公共点,故 有 1 个零点;
当 时,直线 与 的图象在 和 上各有 1 个交点,故 有 2 个零点.
当 时,直线 与 的图象在 上有 1 个交点,故 有 1 个零点. (8 分)
(3)因为 ，所以 ，
则 .
令 ,解得 ,或 .
令 ,则 .
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减. (10 分)
所以 在 处取得最大值,此时 ,又当 时, ,当 时, , 所以要使 在定义域内有三个不同的极值点 ,必须 的图象与直线 有两个不同的交点, 数形结合可得 . (12 分)
不妨设 ,则 ,
所以 ,即 ,所以 ,
所以
(14 分)
令 ,则 ,
易知 关于 在 上单调递增,所以 ,
又 ,所以 ,所以 在 上单调递增. (15 分)
因为 ,所以当 时, ,
即当 时, 恒成立,
所以实数 的取值范围是 . (17 分)
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