2025-2026学年下学期浙江杭州四中高一数学3月第一次周练试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年下学期浙江杭州四中高一数学3月第一次周练试卷（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 267.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-16 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026 学年高一数学下学期第一次周练卷
第一部分(选择题 共 58 分)
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。
1. 已知向量 ，且 ，则实数 ( )
A. B. -1
C. D. 1
2. 若复数 的虚部为 1,则 在复平面对应的点的坐标为 ( )
A. B. C. D.
3. 已知向量 满足 ，若 与 的夹角为 ，则 ( )
A. 1 B. C. D.
4. 如图,在正六边形 中,
A. B. C. D.
5. 设 为复数，则 “ 为实数” 是 “ ” 的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
6. 已知两个不共线的向量 ，且 ， ， ，若 三点共线,则 的值为 ( )
A. B. C. D.
7. 已知在 中， 为 所在平面内一点，且满足 ， 为 的中点，且 ，则 的面积为( )
A. 6
B. C. D.
8. 起点重合, ,则 的最大值为 ( )
A. B. 3 C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部 选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. , i为虚数单位,下列说法正确的是( )
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 是关于 的方程 的一个根,则
D. 若 ,则 中至少有一个是
10. 如图,在边长为 4 的正方形 中,点 是 的中点,点 满足 和 , 则下列说法正确的是( )
A. 若 ，则
B. 若 ，则 为定值
C. 若点 在线段 上，则 为定值
D. 若 ，则 的最大值为
11. 在斜三角形 中，角 的对边分别为 . 若 ，则()
A. 为锐角三角形 B. 若 ，则
C. 的最小值为 D.
第二部分 (非选择题 共 92 分)
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 设 ,若复数 是纯虚数,则 _____.
13. 已知向量 若 ，则向量 在向量 上的投影向量的坐标为_____.
14. 已知平面直角坐标系中 两点关于 轴对称,且 . 若存在 ,使得 与 垂直,且 ,则 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题 13 分) 已知 .
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求向量 ， 的夹角.
16.(15分)
已知复数 ， 为虚数单位， .
(1)若 ， 为纯虚数，求实数 的值；
(2)若 为复数方程 的一个解，求实数 和 的值.
17. (15 分)
,且 ,
(1)用 表示数量积 ；
(2)当 时，求 的最小值，及相应 的值.
(i) 求此时 夹角,
(ii) 求此时 在 上投影向量的模.
18.(17分)
锐角 的三个内角角 所对的边分别为 ,满足 .
(1)求角 的大小及角 的取值范围；
(2)若 ，求 的周长的取值范围；
(3)若 的外接圆的圆心为 ，且 ，求 的取值范围.
19. (本小题 17 分) “费马点” 是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是: “在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小. 意大利数学家托里拆利给出了解答，当 的三个内角均小于 "时，使得 的点 0 即为费马点；当 有一个内角大于或等于 120° 时，最大内角的顶点为费马点. 试用以上知识解决下面问题: 已知 的内角 , C 所对的边分别为 ,且 .
(1)求角 ；
(2)若 ，设点 为 的费马点，求 ；
(3)设点 为 的费马点， ，求实数 的最小值.
2025-2026学年高一下学期第一次周练卷
第一部分 (选择题 共 58 分)
一、选择题: 本题共8小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的。
1、已知向量 ，且 ，则实数 ( )
A. B. -1
C. D. 1
【答案】
根据题意, 利用向量垂直的坐标表示, 列出方程, 即可求解.
由向量 ,
因为 ,可得 ,即 ,解得 .
故选: .
2、若复数 的虚部为 1，则 在复平面对应的点的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】
根据复数 的虚部解得参数 ,即可依次确定 ,再结合复数的几何意义,即可得解.
的虚部为 1,
,解得 ,所以 ,
故 在复平面对应的点的坐标为 ,
故选: .
3、已知向量 满足 ，若 与 的夹角为 ，则 ( ).
A. 1 B. C. D.
【答案】
根据已知条件和 算出答案即可.
因为 与 的夹角为 ,
所以 ,即
故选:
4、如图，在正六边形 中， ( )
A. B.
C. D.
【答案】
连接 交于点 ,分析可知 ,再利用平面向量加法的三角形法则可得答案.
连接 交于点 ,如下图所示:
由正六边形的几何性质可知 均为等边三角形,
因为 ,故四边形 为菱形,
同理可知，四边形 也为菱形，所以 ，故 ，
故 ，
故选: .
5、设 为非零复数，则“ ”是“ ”的 ( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
【答案】
设出复数 ,对 ”进行等价转化,再从充分性和必要性进行推证即可.
设 ,
则
又 ,等价于 ,即
若 ,则 ,解得 或 ,不一定满足 ,
故充分性不成立;
若 ,即 ,则一定有 ,即 ,
故必要性成立.
综上 是 的必要不充分条件.
故选: .
本题考查命题的充分条件和必要条件, 涉及复数的运算, 属综合基础题.
6、已知两个不共线的向量 ，且 ， 若 三点共线，则 的值为 ( )
A. B. C. D.
【答案】
由平面向量的线性表示与共线定理求解即可.
由 ,
所以 ,
因为 三点共线，所以存在实数 ，使得 ，
则 ,
因为向量 不共线,
所以 ,解得: ,
故选:
7、已知在 中， 为 所在平面内一点，且满足 为 的中点，且 ，则 的面积为 ( )
A. 6
B. C. D.
【答案】
依题意可得 三点共线,即可得到 垂直平分 ,所以 , 由余弦定理求出 ,从而求出 ,最后由面积公式计算可得.
因为 ,又因为 ,所以 三点共线,
又 ,即 为 的外心,所以 垂直平分 ,即 垂直平分 ,
又已知 ，所以 ，
又因为 ,所以由余弦定理有 ,
又 ，所以 ，
所以 ，
即 的面积为 .
故选:
8、 起点重合， ， ， ， ，则 的最大值为 ( )
A. B. 3 C. D.
【答案】
根据数量积公式,可得 ,根据求模公式,可得 ,根据题意,化简可得 ,根据 ,结合一元二次不等式的解法, 即可得答案.
由题意 ,
,则 ,
因为 ,
所以 ,
所以 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,
整理得 且 (恒成立),
得 ,即 的最大值为 .
故选:
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
为虚数单位,下列说法正确的是 ( )
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 是关于 的方程 的一个根,则
D. 若 ,则 中至少有一个是 0
【答案】
举反例可判断 ; 设 ,直接计算可判断 ; 利用韦达定理求解可判断 ; 利用反证法即可判断 .
对 ,记 ,则 ,满足 ,
但 ,不满足 错误;
对 记 ,
若 ,则 ,
所以 正确;
对 ,若 是关于 的方程 的一个根,
则 也是该方程的根,
由韦达定理得 ,解得 ,
所以 正确;
对 ,同 设 ,则 ,
假设 都不等于 0,
由 ,则 ,则 ,
整理得 ,又 ,所以 ,
由 可得 ,整理得 ,所以 ,
与假设矛盾,故假设不成立,即 中至少有一个是 0, 正确.
故选:
10、如图，在边长为 4 的正方形 中，点 是 的中点，点 满足 ,则下列说法正确的是 ( )
A. 若 ，则
B. 若 ，则 为定值
C. 若点 在线段 上，则 为定值
D. 若 ，则 的最大值为
【答案】
如图建立平面直角坐标系, 利用向量的坐标表示, 结合向量数量积、向量共线、 向量模长的计算公式逐项计算判断即可.
如图建立平面直角坐标系，
则 , , , , ,
所以 ,因为 ,
所以 ,即 .
对于 ,若 ,则 ,所以 ,
所以 ,故 错误;
对于 ,当 时, ,所以 ,又 ,
所以 ,故 正确;
对于 ,因为 ,
又点 在线段 上，所以 ，所以 ，
所以 ,故 正确;
对于 ,若 ,又 ,所以 ,即 ,
设
所以 ,其中 为锐角且 ,
所以当 时, 取得最大值,且最大值为 ,故 正确.
故选: .
11、在斜三角形 中，角 的对边分别为 . 若 ，则 ( )
A. 为锐角三角形 B. 若 ，则
C. 的最小值为 D.
【答案】
由诱导公式即可判断 ,由正弦定理即可判断 ,由条件可得 ,结合基本不等式代入计算,即可判断 ,由条件可得 ,然后换元,结合二次函数的值域,即可判断 .
对于 ,由 可得 ,
则 或 ,即 或 ,
因为三角形 为斜三角形,若 ,则 ,
不符合斜三角形,所以 ,即 为钝角, 为钝角三角形,故 错误;
对于 ,由正弦定理可得 ,则 ,
所以 ,故 正确；
对于 ,由 可得 ,
且 ,则 ,
则
,
当且仅当 时，即 时，等号成立，故 正确；
对于 ,由 可知 ,
则 ,
令 ,
由 可得 ,则 ,
所以 ,故 ,
且 ,
所以 ,
当 时,取得最大值 ,
当 或 -1 时,最小值为 1 ,
所以 ,故 正确;
故选:
第二部分 (非选择题, 共 92 分)
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12、已知复数 ( 为虚数单位)为纯虚数，则实数 的值为_____.
【答案】-1
利用复数的乘法求解 再根据纯虚数的定义求解即可.
解: 复数 为纯虚数,
,
得 .
故答案为: -1 .
本题主要考查了根据复数为纯虚数求解参数的问题, 属于基础题.
13、已知向量 ，若 ，则向量 在向量 上的投影向量的坐标为_____.
【答案】
根据 ,可求得 ,再由投影向量的计算公式求解即可.
因为 ,
所以 ,解得 ,
所以 ,
即向量 在向量 上的投影向量的坐标为 .
14、已知平面直角坐标系中 两点关于 轴对称，且 . 若存在 , 使得 与 垂直,且 ,则 的最小值为_____.
【答案】
根据向量数乘运算, 向量数量积运算的坐标表示, 设出点的坐标, 列出坐标的方程, 当方程有解时, 求出参数的范围, 求出模长的最小值.
设点 ，则 ， ， ，可知 ，
由 ，可得 ，
则 ,
因为 与 垂直,所以 ,
化简得 ,
代入 ,得 ,
由题意知 ,
即 ,化简得 ,
令 ,则 ,
代入得 ,
整理得 ，
关于 的一元二次方程的判别式 ,
由 ,得 ,代入得 ,
当 时有解,即 ,解得 ,解得 或 ,
由 ,可得 ,即 ,
即当 时，取得最小值为 .
故答案为: .
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15、(本题 13 分)已知 ， ， .
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求向量 ， 的夹角.
【答案】
(2)
(1) 利用平面向量垂直时数量积为零, 结合坐标表示求得参数, 进一步计算即可;
.(2) 利用平面向量平行的坐标表示及夹角公式进行计算.
(1) 因为 ,
因为 ,且 ,则 ,
得 ,
所以 ,则 ,
所以 .
(2)因为 ，
又 ,则 ,
得 ,所以 ,
设向量 的夹角为 ,则 ,
又 ,则 ,即向量 的夹角为 .
16、(本题 15 分)已知复数 ， 为虚数单位， .
(1)若 ， 为纯虚数，求实数 的值；
(2)若 为复数方程 的一个解，求实数 和 的值.
【答案】 .
(1) 根据复数的加减法、乘方运算化简, 利用纯虚数的概念求解;
(2) 将 代入方程化简，利用复数相等求解.
,
其为纯虚数
且
.
(2)因为 ，
所以代入方程 ，
得 .
,
,
且 ,
.
17、(本题 15 分) ， ，且 ，
(1)用 表示数量积 ；
(2)当 时，求 的最小值，及相应 的值.
(i) 求此时 夹角,
(ii) 求此时 在 上投影向量的模.
【答案】 ;
(2) 的最小值为 ，此时 ；
(i) .
(1) 由向量模长的坐标表示以及平面向量数量积的运算律直接计算可得结果;
(2)利用基本不等式可求出 的最小值为 ，此时 ；
(i) 根据向量夹角的计算公式直接代入计算可得结果;
(ii) 由投影向量模长定义计算即可.
(1) 由 可得 ,
将 两边同时平方可得 ，
因此可得
(2)当 时，可得 ，
由 (1) 可知 ,
当且仅当 时,等号成立,
因此 的最小值为 ,此时相应 的值为 ;
(i) 设此时 夹角为 ,
所以 ,又 ,
因此可知 ;
即此时 夹角为 ;
(ii) 此时 在 上投影向量的模为 .
18、(本题 17 分)锐角 的三个内角角 所对的边分别为 ，满足 .
(1)求角 的大小及角 的取值范围;
(2)若 ，求 的周长的取值范围；
(3)若 的外接圆的圆心为 ，且 ，求 的取值范围.
【答案】 ;
(2) ;
(3) .
(1) 利用正弦定理、余弦定理化简已知条件,求得 ,再根据锐角三角形的知识列不等式,由此求得 的取值范围.
(2)应用正弦定理结合三角恒等变换化简得出 结合角的范围求出值域即可得出周长范围;
(3)根据正弦定理求得外接圆的半径，设 ，将 表示为 的形式,结合三角函数值域的知识求得 的取值范围.
(1)锐角 的三个内角角 所对的边分别为 ，
因为 ，
由正弦定理可得 ,
所以 ,
故 ，因为 为锐角，所以 ，
因为 为锐角三角形,则 ,
得 ,所以,角 的取值范围是 .
(2)因为 ，由正弦定理得 ，
所以
因为 ,所以 ,所以 ,
所以 ,所以 ,
所以周长的取值范围为
(3)设 的外接圆半径为 ，所以 ，
，所以
设 ,则 ,则 ,
所以
因为 ,所以 ,所以 ,所以
所以 ,所以 的取值范围为 .
19、(本题 17 分)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是: “在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答,当 的三个内角均小于 时,使得 的点 即为费马点; 当 有一个内角大于或等于 时,最大内角的顶点为费马点. 试用以上知识解决下面问题: 已知 的内角 所对的边分别为 , 且 .
(1)求角 ；
(2)若 ，设点 为 的费马点，求 ；
(3)设点 为 的费马点， ，求实数 的最小值.
【答案】
(2)
(3)2+2√3
(1) 根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简 可得 ,即可求得答案;
(2)利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案;
(3)由(1)结论可得 ，设 ， ,推出 ,利用余弦定理以及勾股定理即可推出 ,再结合基本不等式即可求得答案.
(1) 由 ，得 ，
故 .
由正弦定理可得 ，故 直角三角形，即 .
(2)由(1)可得 ，所以三角形 的三个角都小于 ，
则由费马点定义可知: ,
设 ,
由 ,得
整理得 ,
则 .
(3)如图，点 为 的费马点，则 ，
设 ,
则由 ,得 ;
由余弦定理得 ,
故由 ,得 ,
即 ,而 ,故 ,
当且仅当 ,结合 ,解得 时,等号成立.
又 ,即有 ,解得 或 (舍去),
故实数 的最小值为 .
关键点点睛: 本题第二问的关键是利用面积法得到 ,最后根据向量数量积的定义即可.
第一部分(选择题 共 58 分)
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。
1. 已知向量 ，且 ，则实数 ( )
A. B. -1
C. D. 1
2. 若复数 的虚部为 1,则 在复平面对应的点的坐标为 ( )
A. B. C. D.
3. 已知向量 满足 ，若 与 的夹角为 ，则 ( )
A. 1 B. C. D.
4. 如图,在正六边形 中,
A. B. C. D.
5. 设 为复数，则 “ 为实数” 是 “ ” 的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
6. 已知两个不共线的向量 ，且 ， ， ，若 三点共线,则 的值为 ( )
A. B. C. D.
7. 已知在 中， 为 所在平面内一点，且满足 ， 为 的中点，且 ，则 的面积为( )
A. 6
B. C. D.
8. 起点重合, ,则 的最大值为 ( )
A. B. 3 C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部 选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. , i为虚数单位,下列说法正确的是( )
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 是关于 的方程 的一个根,则
D. 若 ,则 中至少有一个是
10. 如图,在边长为 4 的正方形 中,点 是 的中点,点 满足 和 , 则下列说法正确的是( )
A. 若 ，则
B. 若 ，则 为定值
C. 若点 在线段 上，则 为定值
D. 若 ，则 的最大值为
11. 在斜三角形 中，角 的对边分别为 . 若 ，则()
A. 为锐角三角形 B. 若 ，则
C. 的最小值为 D.
第二部分 (非选择题 共 92 分)
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 设 ,若复数 是纯虚数,则 _____.
13. 已知向量 若 ，则向量 在向量 上的投影向量的坐标为_____.
14. 已知平面直角坐标系中 两点关于 轴对称,且 . 若存在 ,使得 与 垂直,且 ,则 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题 13 分) 已知 .
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求向量 ， 的夹角.
16.(15分)
已知复数 ， 为虚数单位， .
(1)若 ， 为纯虚数，求实数 的值；
(2)若 为复数方程 的一个解，求实数 和 的值.
17. (15 分)
,且 ,
(1)用 表示数量积 ；
(2)当 时，求 的最小值，及相应 的值.
(i) 求此时 夹角,
(ii) 求此时 在 上投影向量的模.
18.(17分)
锐角 的三个内角角 所对的边分别为 ,满足 .
(1)求角 的大小及角 的取值范围；
(2)若 ，求 的周长的取值范围；
(3)若 的外接圆的圆心为 ，且 ，求 的取值范围.
19. (本小题 17 分) “费马点” 是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是: “在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小. 意大利数学家托里拆利给出了解答，当 的三个内角均小于 "时，使得 的点 0 即为费马点；当 有一个内角大于或等于 120° 时，最大内角的顶点为费马点. 试用以上知识解决下面问题: 已知 的内角 , C 所对的边分别为 ,且 .
(1)求角 ；
(2)若 ，设点 为 的费马点，求 ；
(3)设点 为 的费马点， ，求实数 的最小值.
2025-2026学年高一下学期第一次周练卷
第一部分 (选择题 共 58 分)
一、选择题: 本题共8小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的。
1、已知向量 ，且 ，则实数 ( )
A. B. -1
C. D. 1
【答案】
根据题意, 利用向量垂直的坐标表示, 列出方程, 即可求解.
由向量 ,
因为 ,可得 ,即 ,解得 .
故选: .
2、若复数 的虚部为 1，则 在复平面对应的点的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】
根据复数 的虚部解得参数 ,即可依次确定 ,再结合复数的几何意义,即可得解.
的虚部为 1,
,解得 ,所以 ,
故 在复平面对应的点的坐标为 ,
故选: .
3、已知向量 满足 ，若 与 的夹角为 ，则 ( ).
A. 1 B. C. D.
【答案】
根据已知条件和 算出答案即可.
因为 与 的夹角为 ,
所以 ,即
故选:
4、如图，在正六边形 中， ( )
A. B.
C. D.
【答案】
连接 交于点 ,分析可知 ,再利用平面向量加法的三角形法则可得答案.
连接 交于点 ,如下图所示:
由正六边形的几何性质可知 均为等边三角形,
因为 ,故四边形 为菱形,
同理可知，四边形 也为菱形，所以 ，故 ，
故 ，
故选: .
5、设 为非零复数，则“ ”是“ ”的 ( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
【答案】
设出复数 ,对 ”进行等价转化,再从充分性和必要性进行推证即可.
设 ,
则
又 ,等价于 ,即
若 ,则 ,解得 或 ,不一定满足 ,
故充分性不成立;
若 ,即 ,则一定有 ,即 ,
故必要性成立.
综上 是 的必要不充分条件.
故选: .
本题考查命题的充分条件和必要条件, 涉及复数的运算, 属综合基础题.
6、已知两个不共线的向量 ，且 ， 若 三点共线，则 的值为 ( )
A. B. C. D.
【答案】
由平面向量的线性表示与共线定理求解即可.
由 ,
所以 ,
因为 三点共线，所以存在实数 ，使得 ，
则 ,
因为向量 不共线,
所以 ,解得: ,
故选:
7、已知在 中， 为 所在平面内一点，且满足 为 的中点，且 ，则 的面积为 ( )
A. 6
B. C. D.
【答案】
依题意可得 三点共线,即可得到 垂直平分 ,所以 , 由余弦定理求出 ,从而求出 ,最后由面积公式计算可得.
因为 ,又因为 ,所以 三点共线,
又 ,即 为 的外心,所以 垂直平分 ,即 垂直平分 ,
又已知 ，所以 ，
又因为 ,所以由余弦定理有 ,
又 ，所以 ，
所以 ，
即 的面积为 .
故选:
8、 起点重合， ， ， ， ，则 的最大值为 ( )
A. B. 3 C. D.
【答案】
根据数量积公式,可得 ,根据求模公式,可得 ,根据题意,化简可得 ,根据 ,结合一元二次不等式的解法, 即可得答案.
由题意 ,
,则 ,
因为 ,
所以 ,
所以 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,
整理得 且 (恒成立),
得 ,即 的最大值为 .
故选:
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
为虚数单位,下列说法正确的是 ( )
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 是关于 的方程 的一个根,则
D. 若 ,则 中至少有一个是 0
【答案】
举反例可判断 ; 设 ,直接计算可判断 ; 利用韦达定理求解可判断 ; 利用反证法即可判断 .
对 ,记 ,则 ,满足 ,
但 ,不满足 错误;
对 记 ,
若 ,则 ,
所以 正确;
对 ,若 是关于 的方程 的一个根,
则 也是该方程的根,
由韦达定理得 ,解得 ,
所以 正确;
对 ,同 设 ,则 ,
假设 都不等于 0,
由 ,则 ,则 ,
整理得 ,又 ,所以 ,
由 可得 ,整理得 ,所以 ,
与假设矛盾,故假设不成立,即 中至少有一个是 0, 正确.
故选:
10、如图，在边长为 4 的正方形 中，点 是 的中点，点 满足 ,则下列说法正确的是 ( )
A. 若 ，则
B. 若 ，则 为定值
C. 若点 在线段 上，则 为定值
D. 若 ，则 的最大值为
【答案】
如图建立平面直角坐标系, 利用向量的坐标表示, 结合向量数量积、向量共线、 向量模长的计算公式逐项计算判断即可.
如图建立平面直角坐标系，
则 , , , , ,
所以 ,因为 ,
所以 ,即 .
对于 ,若 ,则 ,所以 ,
所以 ,故 错误;
对于 ,当 时, ,所以 ,又 ,
所以 ,故 正确;
对于 ,因为 ,
又点 在线段 上，所以 ，所以 ，
所以 ,故 正确;
对于 ,若 ,又 ,所以 ,即 ,
设
所以 ,其中 为锐角且 ,
所以当 时, 取得最大值,且最大值为 ,故 正确.
故选: .
11、在斜三角形 中，角 的对边分别为 . 若 ，则 ( )
A. 为锐角三角形 B. 若 ，则
C. 的最小值为 D.
【答案】
由诱导公式即可判断 ,由正弦定理即可判断 ,由条件可得 ,结合基本不等式代入计算,即可判断 ,由条件可得 ,然后换元,结合二次函数的值域,即可判断 .
对于 ,由 可得 ,
则 或 ,即 或 ,
因为三角形 为斜三角形,若 ,则 ,
不符合斜三角形,所以 ,即 为钝角, 为钝角三角形,故 错误;
对于 ,由正弦定理可得 ,则 ,
所以 ,故 正确；
对于 ,由 可得 ,
且 ,则 ,
则
,
当且仅当 时，即 时，等号成立，故 正确；
对于 ,由 可知 ,
则 ,
令 ,
由 可得 ,则 ,
所以 ,故 ,
且 ,
所以 ,
当 时,取得最大值 ,
当 或 -1 时,最小值为 1 ,
所以 ,故 正确;
故选:
第二部分 (非选择题, 共 92 分)
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12、已知复数 ( 为虚数单位)为纯虚数，则实数 的值为_____.
【答案】-1
利用复数的乘法求解 再根据纯虚数的定义求解即可.
解: 复数 为纯虚数,
,
得 .
故答案为: -1 .
本题主要考查了根据复数为纯虚数求解参数的问题, 属于基础题.
13、已知向量 ，若 ，则向量 在向量 上的投影向量的坐标为_____.
【答案】
根据 ,可求得 ,再由投影向量的计算公式求解即可.
因为 ,
所以 ,解得 ,
所以 ,
即向量 在向量 上的投影向量的坐标为 .
14、已知平面直角坐标系中 两点关于 轴对称，且 . 若存在 , 使得 与 垂直,且 ,则 的最小值为_____.
【答案】
根据向量数乘运算, 向量数量积运算的坐标表示, 设出点的坐标, 列出坐标的方程, 当方程有解时, 求出参数的范围, 求出模长的最小值.
设点 ，则 ， ， ，可知 ，
由 ，可得 ，
则 ,
因为 与 垂直,所以 ,
化简得 ,
代入 ,得 ,
由题意知 ,
即 ,化简得 ,
令 ,则 ,
代入得 ,
整理得 ，
关于 的一元二次方程的判别式 ,
由 ,得 ,代入得 ,
当 时有解,即 ,解得 ,解得 或 ,
由 ,可得 ,即 ,
即当 时，取得最小值为 .
故答案为: .
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15、(本题 13 分)已知 ， ， .
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求向量 ， 的夹角.
【答案】
(2)
(1) 利用平面向量垂直时数量积为零, 结合坐标表示求得参数, 进一步计算即可;
.(2) 利用平面向量平行的坐标表示及夹角公式进行计算.
(1) 因为 ,
因为 ,且 ,则 ,
得 ,
所以 ,则 ,
所以 .
(2)因为 ，
又 ,则 ,
得 ,所以 ,
设向量 的夹角为 ,则 ,
又 ,则 ,即向量 的夹角为 .
16、(本题 15 分)已知复数 ， 为虚数单位， .
(1)若 ， 为纯虚数，求实数 的值；
(2)若 为复数方程 的一个解，求实数 和 的值.
【答案】 .
(1) 根据复数的加减法、乘方运算化简, 利用纯虚数的概念求解;
(2) 将 代入方程化简，利用复数相等求解.
,
其为纯虚数
且
.
(2)因为 ，
所以代入方程 ，
得 .
,
,
且 ,
.
17、(本题 15 分) ， ，且 ，
(1)用 表示数量积 ；
(2)当 时，求 的最小值，及相应 的值.
(i) 求此时 夹角,
(ii) 求此时 在 上投影向量的模.
【答案】 ;
(2) 的最小值为 ，此时 ；
(i) .
(1) 由向量模长的坐标表示以及平面向量数量积的运算律直接计算可得结果;
(2)利用基本不等式可求出 的最小值为 ，此时 ；
(i) 根据向量夹角的计算公式直接代入计算可得结果;
(ii) 由投影向量模长定义计算即可.
(1) 由 可得 ,
将 两边同时平方可得 ，
因此可得
(2)当 时，可得 ，
由 (1) 可知 ,
当且仅当 时,等号成立,
因此 的最小值为 ,此时相应 的值为 ;
(i) 设此时 夹角为 ,
所以 ,又 ,
因此可知 ;
即此时 夹角为 ;
(ii) 此时 在 上投影向量的模为 .
18、(本题 17 分)锐角 的三个内角角 所对的边分别为 ，满足 .
(1)求角 的大小及角 的取值范围;
(2)若 ，求 的周长的取值范围；
(3)若 的外接圆的圆心为 ，且 ，求 的取值范围.
【答案】 ;
(2) ;
(3) .
(1) 利用正弦定理、余弦定理化简已知条件,求得 ,再根据锐角三角形的知识列不等式,由此求得 的取值范围.
(2)应用正弦定理结合三角恒等变换化简得出 结合角的范围求出值域即可得出周长范围;
(3)根据正弦定理求得外接圆的半径，设 ，将 表示为 的形式,结合三角函数值域的知识求得 的取值范围.
(1)锐角 的三个内角角 所对的边分别为 ，
因为 ，
由正弦定理可得 ,
所以 ,
故 ，因为 为锐角，所以 ，
因为 为锐角三角形,则 ,
得 ,所以,角 的取值范围是 .
(2)因为 ，由正弦定理得 ，
所以
因为 ,所以 ,所以 ,
所以 ,所以 ,
所以周长的取值范围为
(3)设 的外接圆半径为 ，所以 ，
，所以
设 ,则 ,则 ,
所以
因为 ,所以 ,所以 ,所以
所以 ,所以 的取值范围为 .
19、(本题 17 分)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是: “在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答,当 的三个内角均小于 时,使得 的点 即为费马点; 当 有一个内角大于或等于 时,最大内角的顶点为费马点. 试用以上知识解决下面问题: 已知 的内角 所对的边分别为 , 且 .
(1)求角 ；
(2)若 ，设点 为 的费马点，求 ；
(3)设点 为 的费马点， ，求实数 的最小值.
【答案】
(2)
(3)2+2√3
(1) 根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简 可得 ,即可求得答案;
(2)利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案;
(3)由(1)结论可得 ，设 ， ,推出 ,利用余弦定理以及勾股定理即可推出 ,再结合基本不等式即可求得答案.
(1) 由 ，得 ，
故 .
由正弦定理可得 ，故 直角三角形，即 .
(2)由(1)可得 ，所以三角形 的三个角都小于 ，
则由费马点定义可知: ,
设 ,
由 ,得
整理得 ,
则 .
(3)如图，点 为 的费马点，则 ，
设 ,
则由 ,得 ;
由余弦定理得 ,
故由 ,得 ,
即 ,而 ,故 ,
当且仅当 ,结合 ,解得 时,等号成立.
又 ,即有 ,解得 或 (舍去),
故实数 的最小值为 .
关键点点睛: 本题第二问的关键是利用面积法得到 ,最后根据向量数量积的定义即可.
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