2025-2026学年下学期福建高三数学3月大联考试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年下学期福建高三数学3月大联考试卷（含解析） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 229.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-16 00:00:00 | ||
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文档简介
高三数学
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。回答非选择题时, 将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
4. 本试卷主要考试内容: 高考全部内容。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知向量 ，且 ，则
A. -3 B. C. -2 D. 2
2. 设集合 ,则 的元素个数为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 设复数 在复平面内对应的点为 ,则
A. B. C. 4 D.
4. 已知等比数列 与等差数列 满足 ,则
A. B. C. D.
5. 已知 分别是椭圆 的左、右焦点, 为 上一点, , ,且 ,则 的离心率为
A. B. C. D.
6. 某元宇宙平台举办“星际文明探索”虚拟文化节，参与者通过完成“星球解谜”“文明共建”“跨服协作”等任务获得互动积分(单位:分). 为筛选“核心探索者”(享受专属虚拟道具与后续活动优先资格)，平台将所有参与者积分的第 80 百分位数定为核心资格门槛线. 活动结束后，平台从 10 万参与者中随机抽取 100 人的积分数据,将所得数据按照 , 分成 6 组,其频率分布直方图如图所示. 据此, 以样本估计总体参与者的积分分布，可知此次“核心探索者”的核心资格门槛线约为
A. 84 分 B. 85 分 C. 86 分 D. 82 分
7. 已知函数 是定义域为 的偶函数,当 时, ,则不等式 的解集为
A. B.
C. D.
8. 在高为 5 的正三棱台 中, 分别为侧棱 , 的中点,记平面 、平面 、平面 交于点 ,则三棱台 与三棱锥 的体积之差为
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列命题是真命题的是
A. 的最小值为
B. “ ” 是 “ ” 的必要不充分条件
C. “ ” 的否定是 “ ”
D. 函数 的图象必过点 和
10. 已知函数 ,则
A. 当 时,
B. 在 上的值域为
C. 的单调递减区间为
D. 将 的图象向左平移 个单位长度,可得 的图象
11. 若 ,则
A. 当 时, B. 当 时,
C. 当 时, D.
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 若 ,则 _____▲_____.
13. 已知圆 的半径为 5,且圆心 与抛物线 的焦点关于 的准线对称,直线 与 相交于 两点,则 _____▲_____.
14. 如图，下列有 5 个圆，每个圆内的上、下、左、右、中五个方位均有 1 个数字，现从这 5 个圆中各选一个方位, 并记下该方位圆内的数字, 要求所得 5 个数字来自不同的方位 (例如第 1 个圆选了左方位上的数字, 后面 4 个圆均不能在左方位上选数字), 且这 5 个数字之积为 0 , 然后将这 5 个数字排成一个 5 位数，则共有_____▲_____种情况(在排 5 位数的过程中，若数字相同，但来自不同的圆也视为不同的情况).
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
在 中,角 所对的边分别为 ,且 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 .
16.(15分)
如图，在三棱锥 中， 分别是 的中点， 为 上靠近点 的四等分点， 为 上靠近点 的四等分点.
(1)证明: 四点共面.
(2)证明:平面 平面 .
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值.
17.(15 分)
学校编程社团组织“代码调试挑战”，成员连续完成两段独立的基础代码调试记为完成一次挑战,且两段代码均调试成功才算一次挑战成功. 已知成员 在每次挑战中调试第一段代码成功的概率为 . 若第一段代码调试成功,成员 信心提升,则调试第二段代码成功的概率为 ; 若第一段代码调试未成功,成员 会更谨慎,则调试第二段代码成功的概率为 .
(1)求成员 M 在一次挑战中调试第二段代码成功的概率.
(2)该社团组织规定每个成员每次挑战成功可获 100 元奖励，每次挑战只调试成功两段代码中的一段可获 50 元奖励. 若成员 M 进行 2 次 “代码调试挑战”，每次挑战成功与否相互独立,设成员 获得的奖励总金额为随机变量 ,求 的数学期望 .
18. (17分)
已知双曲线 上的点与坐标原点 之间距离的最小值为 2,点 在 上,且 .
(1)求 的标准方程.
(2)过点 的直线 交 于异于顶点的 两点,且 0,设 的左、右顶点分别为 ,直线 与 交于点 .
( i )证明: 点 在定直线上.
(ii)证明: .
19.(17分)
已知函数 且 .
(1)当 时,求曲线 在 处的切线方程.
(2)当 时，记 ， 为数列 的前 项和，证明: .
(3)当 时，函数 有两个零点 . 证明: .
高三数学参考答案
1. 由题意知 ,解得 .
2. B 因为 ,所以 ,则 的元素个数为 3 .
3. 根据题意可得 ,则 ,所以 .
4. A 由 ,得 ,解得 . 由 ,得 ,解得 ,所以
5. 根据题意可得 ,所以 的离心率
6. A ,所以第 80 百分位数位于 内,不妨设第 80 百分位数为 分,则 ,解得 .
7. D 因为函数 与 在 上单调递增, 是偶函数,所以 在 上单调递减. ,则不等式 的解集为 .
8.C 如图,设 ,连接 , 易知 . 由 ,得 ,所以 ,则 ,同理得 ,所以 ,所以 到底面 的距离 . 三棱台 的体积为
,三棱锥 的体积为 ,则三棱台 与三棱锥 的体积之差为 .
9. ACD ,当且仅当 ,即 时,等号成立, A 正确. 由 ,得 或 ,所以 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件, 错误. “ ”的否定是“ ”, 正确. 易得 正确.
10. ,则 错误. 由 ,得 ,所以 正确. 由 ,得 , 错误. 正确.
11. 当 时, 符合题意, 错误. 当 时, 错误. 设函数 ,则 ,设函数 ,则由 0,得 ,则 在 上单调递增,所以当 时, ,则 0,所以 在 上单调递增.
由 ,得 ,则 在 上单调递减,所以当 时, ,则 ,所以 在 上单调递增. 设函数 ,则 . 当 时, 单调递减,当 时, 单调递增,所以 . 所以 ,当且仅当 时,等号成立. 当 时, ,当 时, ,所以当 且 时,由题意可得 , 因为 ,所以 ,由 时, ,则 . 令函数 ,则 ,所以 在 上单调递增,则 ,所以 ,即 ; 当 且 时, 恒成立, 正确. 若存在 ,使得 0.01,当 时,成立; 当 时,得 或 ,即 或 ,画出函数 与函数 的图象,易得两图象有交点, 正确.
12. .
13.6 的焦点为 ，准线方程为 ，根据题意可得圆心 ，圆心 到直线 的距离 ，所以 .
14.2304 因为这 5 个数字之积为 0 并排成一个 5 位数，所以第 4 个圆的上方位被选，左方位有 种选择,同理右方位有 种选择,下方位有 种选择,正中间有 种选择,且 0 不能在万位上,先排万位有 种,剩下的有 种,所以共有 种情况.
15. 解: (1) 由正弦定理得 , 2 分
即 . 4 分
因为 ,所以 . 6 分
因为 ,所以 . 7 分
(2)由余弦定理 ，得 ， 10 分
即 ,解得 或 (舍去),所以 . 13 分
16.(1)证明:因为 ， 分别是 的中点，所以 . 1 分
因为 为 上靠近点 的四等分点, 为 上靠近点 的四等分点,所以 , 2 分
所以 ,所以 四点共面. 4 分
(2)证明:因为 ,所以 ,所以 . 6 分
因为 ,所以 平面 . 7 分
因为 平面 ,所以平面 平面 . 8 分
(3)解:连接 . 因为 ,所以 ,则由 (2) 得平面 平面 ,所以 平面 . 以 为坐标原点,以 所在直线分别为 轴,以过点 且平行于 的直线为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则 , 1) . 9 分
设平面 的法向量为 ,
则
令 ,则 . 11 分
易得 为平面 的一个法向量. 13 分
设平面 与平面 的夹角为 ,则 , 所以平面 与平面 夹角的余弦值为 . 15 分
17. 解: (1) 设成员 在一次挑战中调试第一段代码成功为事件 ，调试第二段代码成功为事件
. 由题意得 . 5 分
(2)成员 M 一次“代码调试挑战”挑战成功的概率为 ， 6 分
只调试成功两段代码中的一段的概率为 , 7 分
两段代码均未调试成功的概率为 . 8 分
由题意得,随机变量 的所有可能取值为0,50,100,150,200. 9 分
10 分
11 分
12 分
13 分
14 分
所以 . 15 分
18.(1)解:依题意可得 . 1 分
由 ,得 . 2 分
将点 的坐标代入 的方程,得 ,解得 , 3 分
故 的标准方程为 . 4 分
(2)证明:(i)根据题意可设直线 的方程为 ，
由 得 , 5 分
,且 6 分
因为 ,所以 . 7 分
直线 的方程为 ,直线 的方程为 ,
所以 , 10 分
则 ,即 在定直线 上. 11 分
(ii) 由 (i) 知 , 12 分
则 , 13 分 , 14 分 15 分 , 16 分
即 ，所以 ，则 . 17 分
19. ( 1 )解:依题意， ， 1 分
所以 , 2 分
所以曲线 在 处的切线方程为 . 3 分
(2)证明:由题意可知 时， ， 4 分所以 5 分
6 分
8 分
(3)证明:当 时， . 令 ,
得 ,则 ,即 9 分
令函数 ,则 ,
因为 在 上单调递增,所以 ,即 . 10 分
令函数 ,则 ,令 ,得 ,得
1,所以 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 , 11 分
依题意可得 有两个零点 ,不妨设 ,则 ,
令函数 ,则 ,所以 在 上单调递减. 12 分
因为 ,所以当 时, ; 当 时, . 13 分
所以 ,即 14 分
所以由 有两个不相等的正根 ,且 ,
得 ,则 , 15 分
,则 ,即 ,
16 分
所以 ,因为 ,所以 . “ 17 分
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。回答非选择题时, 将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
4. 本试卷主要考试内容: 高考全部内容。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知向量 ，且 ，则
A. -3 B. C. -2 D. 2
2. 设集合 ,则 的元素个数为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 设复数 在复平面内对应的点为 ,则
A. B. C. 4 D.
4. 已知等比数列 与等差数列 满足 ,则
A. B. C. D.
5. 已知 分别是椭圆 的左、右焦点, 为 上一点, , ,且 ,则 的离心率为
A. B. C. D.
6. 某元宇宙平台举办“星际文明探索”虚拟文化节，参与者通过完成“星球解谜”“文明共建”“跨服协作”等任务获得互动积分(单位:分). 为筛选“核心探索者”(享受专属虚拟道具与后续活动优先资格)，平台将所有参与者积分的第 80 百分位数定为核心资格门槛线. 活动结束后，平台从 10 万参与者中随机抽取 100 人的积分数据,将所得数据按照 , 分成 6 组,其频率分布直方图如图所示. 据此, 以样本估计总体参与者的积分分布，可知此次“核心探索者”的核心资格门槛线约为
A. 84 分 B. 85 分 C. 86 分 D. 82 分
7. 已知函数 是定义域为 的偶函数,当 时, ,则不等式 的解集为
A. B.
C. D.
8. 在高为 5 的正三棱台 中, 分别为侧棱 , 的中点,记平面 、平面 、平面 交于点 ,则三棱台 与三棱锥 的体积之差为
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列命题是真命题的是
A. 的最小值为
B. “ ” 是 “ ” 的必要不充分条件
C. “ ” 的否定是 “ ”
D. 函数 的图象必过点 和
10. 已知函数 ,则
A. 当 时,
B. 在 上的值域为
C. 的单调递减区间为
D. 将 的图象向左平移 个单位长度,可得 的图象
11. 若 ,则
A. 当 时, B. 当 时,
C. 当 时, D.
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 若 ,则 _____▲_____.
13. 已知圆 的半径为 5,且圆心 与抛物线 的焦点关于 的准线对称,直线 与 相交于 两点,则 _____▲_____.
14. 如图，下列有 5 个圆，每个圆内的上、下、左、右、中五个方位均有 1 个数字，现从这 5 个圆中各选一个方位, 并记下该方位圆内的数字, 要求所得 5 个数字来自不同的方位 (例如第 1 个圆选了左方位上的数字, 后面 4 个圆均不能在左方位上选数字), 且这 5 个数字之积为 0 , 然后将这 5 个数字排成一个 5 位数，则共有_____▲_____种情况(在排 5 位数的过程中，若数字相同，但来自不同的圆也视为不同的情况).
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
在 中,角 所对的边分别为 ,且 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 .
16.(15分)
如图，在三棱锥 中， 分别是 的中点， 为 上靠近点 的四等分点， 为 上靠近点 的四等分点.
(1)证明: 四点共面.
(2)证明:平面 平面 .
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值.
17.(15 分)
学校编程社团组织“代码调试挑战”，成员连续完成两段独立的基础代码调试记为完成一次挑战,且两段代码均调试成功才算一次挑战成功. 已知成员 在每次挑战中调试第一段代码成功的概率为 . 若第一段代码调试成功,成员 信心提升,则调试第二段代码成功的概率为 ; 若第一段代码调试未成功,成员 会更谨慎,则调试第二段代码成功的概率为 .
(1)求成员 M 在一次挑战中调试第二段代码成功的概率.
(2)该社团组织规定每个成员每次挑战成功可获 100 元奖励，每次挑战只调试成功两段代码中的一段可获 50 元奖励. 若成员 M 进行 2 次 “代码调试挑战”，每次挑战成功与否相互独立,设成员 获得的奖励总金额为随机变量 ,求 的数学期望 .
18. (17分)
已知双曲线 上的点与坐标原点 之间距离的最小值为 2,点 在 上,且 .
(1)求 的标准方程.
(2)过点 的直线 交 于异于顶点的 两点,且 0,设 的左、右顶点分别为 ,直线 与 交于点 .
( i )证明: 点 在定直线上.
(ii)证明: .
19.(17分)
已知函数 且 .
(1)当 时,求曲线 在 处的切线方程.
(2)当 时，记 ， 为数列 的前 项和，证明: .
(3)当 时，函数 有两个零点 . 证明: .
高三数学参考答案
1. 由题意知 ,解得 .
2. B 因为 ,所以 ,则 的元素个数为 3 .
3. 根据题意可得 ,则 ,所以 .
4. A 由 ,得 ,解得 . 由 ,得 ,解得 ,所以
5. 根据题意可得 ,所以 的离心率
6. A ,所以第 80 百分位数位于 内,不妨设第 80 百分位数为 分,则 ,解得 .
7. D 因为函数 与 在 上单调递增, 是偶函数,所以 在 上单调递减. ,则不等式 的解集为 .
8.C 如图,设 ,连接 , 易知 . 由 ,得 ,所以 ,则 ,同理得 ,所以 ,所以 到底面 的距离 . 三棱台 的体积为
,三棱锥 的体积为 ,则三棱台 与三棱锥 的体积之差为 .
9. ACD ,当且仅当 ,即 时,等号成立, A 正确. 由 ,得 或 ,所以 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件, 错误. “ ”的否定是“ ”, 正确. 易得 正确.
10. ,则 错误. 由 ,得 ,所以 正确. 由 ,得 , 错误. 正确.
11. 当 时, 符合题意, 错误. 当 时, 错误. 设函数 ,则 ,设函数 ,则由 0,得 ,则 在 上单调递增,所以当 时, ,则 0,所以 在 上单调递增.
由 ,得 ,则 在 上单调递减,所以当 时, ,则 ,所以 在 上单调递增. 设函数 ,则 . 当 时, 单调递减,当 时, 单调递增,所以 . 所以 ,当且仅当 时,等号成立. 当 时, ,当 时, ,所以当 且 时,由题意可得 , 因为 ,所以 ,由 时, ,则 . 令函数 ,则 ,所以 在 上单调递增,则 ,所以 ,即 ; 当 且 时, 恒成立, 正确. 若存在 ,使得 0.01,当 时,成立; 当 时,得 或 ,即 或 ,画出函数 与函数 的图象,易得两图象有交点, 正确.
12. .
13.6 的焦点为 ，准线方程为 ，根据题意可得圆心 ，圆心 到直线 的距离 ，所以 .
14.2304 因为这 5 个数字之积为 0 并排成一个 5 位数，所以第 4 个圆的上方位被选，左方位有 种选择,同理右方位有 种选择,下方位有 种选择,正中间有 种选择,且 0 不能在万位上,先排万位有 种,剩下的有 种,所以共有 种情况.
15. 解: (1) 由正弦定理得 , 2 分
即 . 4 分
因为 ,所以 . 6 分
因为 ,所以 . 7 分
(2)由余弦定理 ，得 ， 10 分
即 ,解得 或 (舍去),所以 . 13 分
16.(1)证明:因为 ， 分别是 的中点，所以 . 1 分
因为 为 上靠近点 的四等分点, 为 上靠近点 的四等分点,所以 , 2 分
所以 ,所以 四点共面. 4 分
(2)证明:因为 ,所以 ,所以 . 6 分
因为 ,所以 平面 . 7 分
因为 平面 ,所以平面 平面 . 8 分
(3)解:连接 . 因为 ,所以 ,则由 (2) 得平面 平面 ,所以 平面 . 以 为坐标原点,以 所在直线分别为 轴,以过点 且平行于 的直线为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则 , 1) . 9 分
设平面 的法向量为 ,
则
令 ,则 . 11 分
易得 为平面 的一个法向量. 13 分
设平面 与平面 的夹角为 ,则 , 所以平面 与平面 夹角的余弦值为 . 15 分
17. 解: (1) 设成员 在一次挑战中调试第一段代码成功为事件 ，调试第二段代码成功为事件
. 由题意得 . 5 分
(2)成员 M 一次“代码调试挑战”挑战成功的概率为 ， 6 分
只调试成功两段代码中的一段的概率为 , 7 分
两段代码均未调试成功的概率为 . 8 分
由题意得,随机变量 的所有可能取值为0,50,100,150,200. 9 分
10 分
11 分
12 分
13 分
14 分
所以 . 15 分
18.(1)解:依题意可得 . 1 分
由 ,得 . 2 分
将点 的坐标代入 的方程,得 ,解得 , 3 分
故 的标准方程为 . 4 分
(2)证明:(i)根据题意可设直线 的方程为 ，
由 得 , 5 分
,且 6 分
因为 ,所以 . 7 分
直线 的方程为 ,直线 的方程为 ,
所以 , 10 分
则 ,即 在定直线 上. 11 分
(ii) 由 (i) 知 , 12 分
则 , 13 分 , 14 分 15 分 , 16 分
即 ，所以 ，则 . 17 分
19. ( 1 )解:依题意， ， 1 分
所以 , 2 分
所以曲线 在 处的切线方程为 . 3 分
(2)证明:由题意可知 时， ， 4 分所以 5 分
6 分
8 分
(3)证明:当 时， . 令 ,
得 ,则 ,即 9 分
令函数 ,则 ,
因为 在 上单调递增,所以 ,即 . 10 分
令函数 ,则 ,令 ,得 ,得
1,所以 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 , 11 分
依题意可得 有两个零点 ,不妨设 ,则 ,
令函数 ,则 ,所以 在 上单调递减. 12 分
因为 ,所以当 时, ; 当 时, . 13 分
所以 ,即 14 分
所以由 有两个不相等的正根 ,且 ,
得 ,则 , 15 分
,则 ,即 ,
16 分
所以 ,因为 ,所以 . “ 17 分
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