2025-2026学年下学期浙江省杭州学军中学高二数学周末练2试卷（含解析）

杭州学军中学 2025 学年高二(下)数学周末练(2)
一、单选题
1. 若函数 的图象在点 处的切线也是函数 的图象的切线,则实数 ( )
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
2. 有 6 位身高不同的同学站成前后两排拍照，每排 3 人，若后排每位同学比他正前面的同学身高高，则不同的站法种数为( )
A. 90 B. 120 C. 270 D. 720
3. 已知函数 ,则不等式 的解集为 ( )
A. B.
C. D.
4. 已知双曲线 的左右焦点分别是 是双曲线右支上的动点,过 作 平分线的垂线, 垂足为 ,则点 的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
5. 将 这 10 个数平均分成甲、乙两组,若乙组的第 75 百分位数恰为甲组的中位数的 2 倍,则不同的分组个数为( )
A. 18 B. 20 C. 22 D. 24
6. 已知数列 的前 项和 ,数列 的前 项和为 ,若 对任意的 恒成立,则整数 的最小值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7. 在计算机科学中，八进制是一种数字表示法，它使用 0 -7 这八个数字来表示数值. 例如，八进制数 2051 换算成十进制数是 . 那么八进制数 换算成十进制数 ,则十进制数 的个位数字为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
8. 设集合 是集合 的所有三元子集的元素和之和,令 ,则 ( )
A. B. C. D.
二、多选题
9. 若 ,则 ( )
A. B.
C. D.
10. 如图，在棱长为 2 的正方体 中， ， 分别是线段 ， 上的动点(不含端点)，且 ，则下列结论正确的是( )
A. 若 ，则直线 与直线 的夹角为
B. 三棱锥 体积的最大值为
C. 存在 ,使得 平面
D. 若 ，则三棱锥 外接球的表面积为
11. 如图“四角花瓣”图形可以看作由抛物线 绕坐标原点分别旋转 ， ， 后所得三条曲线与 共同围成的区域 (阴影区域), 分别为 与另外两条曲线在第一象限、第二象限的交点，若 ，阴影部分的面积为 ,则( )
A. B. 的面积为 32
C. 的值比 32 小 D. 直线 截第二象限“花瓣”的弦长可能为 1.4
三、填空题
12. 已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的最小值为_____.
13. 已知 ,若存在 使得 ,则 的最大值为_____.
14. 由七个圆和八条线段构成的图形 (该图形不能旋转和翻转), 其中由同一条线段连通的两个圆称作“相邻的圆”. 若将1,2,3,4,5,6,7这七个数字分别填入这七个圆中,且满足带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字, 则符合要求的填法共有_____种.
四、解答题
15. 已知函数 .
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 ， ，求 的取值范围.
16. 如图,在四棱锥 中,底面 为菱形, 分别为 的中点.
(1)证明: 平面 ；
(2)若平面 平面 ，平面 与平面 夹角的余弦值为 ， 求点 到平面 的距离.
17. 已知 和 是各项均为整数的数列,若 为等差数列, 满足 ，记 ， 分别为数列 ， 的前 项和，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
18. 已知点 在离心率为 2 的双曲线 上,直线 交双曲线 的右支于 两点.
(1)求双曲线 的方程.
(2)线段 的垂直平分线过点 .
①探究并写出 与 的关系式；
②求 的取值范围.
19. 拿破仑排兵布阵是十分厉害的，有一次他让士兵站成一排，解散以后马上再重新站成一排，并要求这些士兵不能站在自己原来的位置上.
(1)如果只有 3 个士兵，那么重新站成一排有多少种站法 4 个呢
(2)假设原来有 个士兵，解散以后不能站在自己原来位置上的站法为 种，写出 和 ， 之间的递推关系,并证明: 数列 是等比数列;
(3)假设让站好的一排 个士兵解散后立即随机站成一排，记这些士兵都没有站到原位的概率为 ，证明:当 无穷大时, 趋近于 . (参考公式: )
《杭州学军中学 2025 学年高二 (下) 数学周末练 (2)》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A D A A C B C AC ABC
题号 11
答案 ACD
1. C
由题意得 ,则 ,所以 的图象在点 处的切线方程为 ,即 .
设直线 与 的图象相切于点 ,
又 ,则 ,解得 ,
所以 ,即 ,则 .
故选: C.
2. A
先给第 1 列选 2 人，从 6 人中选 2 人后，仅需把矮的放前排、高的放后排，只有 1 种符合要求的排法,共 种选法,
再给第 2 列从剩余 4 人中选 2 人，同理也只有 1 种排法，共 种选法，
最后剩余 2 人自动为第 3 列,仅 1 种排法,即 ,
即总站法数为: .
3. D
当 时, ; 当 时, ; ,则当 时, ,即函数 是 上的偶函数,
不等式 , 整理得 ,解得 ,所以原不等式的解集为 .
4. A
设点 的坐标为 ,延长 与 交于点 ,连接 ,
因为 平分 ,且 ,所以 ,
又因点 是双曲线右支上的动点,所以 ,
所以 ,所以 ,即点 在以 为圆心, 为半径的圆上,
因为当点 沿双曲线右支运动到无穷远处时, 趋近于双曲线的渐近线,
所以点 的轨迹是圆弧 ,除去点 和 ,
所以方程为 .
5. A
甲、乙两组各 5 个数, 各按从小到大排列, 甲组的中位数是甲组的第 3 个数, 设为 ,乙组的第 75 百分位数是乙组的第 4 个数,设为 .
由题意， ， ，故 或 ，
当 时， ，该分组个数为 (在 1，2，3 中选 2 个数，5，6，7 中选 1 个数,9,10 中选 1 个数,与 组成甲组),
当 时， ，则甲组的中位数为 3，甲组必须包含 1 和 2；乙组的第 75 百分位数为 6， 乙组必须有 3 个小于 6 的数,由于1,2,3均在甲组,乙组只有 2 个小于 6 的数 ,故此情况不成立.
综上, 不同的分组个数为 18 .
故选: A.
6. C
因为 ,
当 时， ，
当 时, ,
所以 ,
因为 满足上式,
所以 ,
所以 ,
所以 ,又 ,
所以 ,
所以 . 又 ,
故当 对任意的 恒成立时,可得 ,
所以整数 的最小值为 4 .
7. B
方法一: 由题意知 ,
设 ,因为 的个位数字分别为 ,
所以 的个位数字之和为 ,
所以 的个位数字为 5 ,
所以 的个位数字为 5 .
方法二: 由题意知
,
又由二项式定理知
是 7 的倍数, 所以 是 10 的倍数.
又由二项式定理知
所以 的个位数字与 的个位数字相同,
同理, ,
所以 的个位数字与 的个位数字相同,
可得 的个位数字为 5 .
,且 是 10 的倍数,其个位数字为 0,所以 的个位数字与 0-5 的个位数字相同, 即为 5 .
综上,十进制数 的个位数字为 5 .
8. C
集合 中共 个元素,每个元素在所有三元子集中出现的次数均为 次, 所以 , 当 时,
所以
故选: C.
9. AC
A: 因为 ,
所以多项式 最高次项的次数为 6,
所以 ,因此本选项说法正确;
B: 因为 ,所以本选项说法不正确;
C: 在 中,
令 ,得 ,
令 ,得 ,
所以本选项说法正确;
D: 对 两边同时求导,
得 ,
令 ,得
,所以本选项说法不正确.
故选: AC
10.
对 ,因为 ,所以
当 时， 分别为 的中点，所以 也是 的中点.
过 作 于 ,连接 ,则 ,所以 .
因为 ,所以直线 与直线 的夹角等于直线 与直线 的夹角,即 .
又因为 ,所以 ,故 正确.
对 ,过 作 于 ,
因为平面 平面 ,平面 平面 平面 , 所以 平面 ,即三棱锥 的高为 ,
又 ,
所以三棱锥 体积
, 当 时， ，故 B 正确.
对 ,当 时, 是 的中点,所以 也是 的中点.
因为 是 的中点,所以 .
又 平面 平面 ,所以 平面 ,故 正确.
对 ,当 时, ,故 为 的中点,
又 为 的中点,所以 ,
所以 到 的距离都为 1,
即三棱锥 外接球的球心为 ,球半径为 1,所以外接球表面积 ,故 D 错误.
11. ACD
设抛物线 绕原点顺时针旋转 后得到的三条曲线分别为 . 抛物线 的焦点为 ,故 的焦点为 的焦点为 的焦点为 .
故 .
对于 为曲线 与 交点,联立方程 ,解得 ,即 .
为曲线 与 交点,联立方程 ,解得 ,即 .
又因为 ,故 . 故 正确；
对于 : 由上述过程可得, 的面积为 . 故 B 正确.
对于 : 由于对称性,阴影部分在四个象限的图形全等,故只讨论第一象限部分.
第一象限部分依然根据对称性,可分为两份,以下只讨论曲线 与直线 围成的部分.
设该阴影部分面积为 ,显然 .
设函数 ,则 . 故过 点的切线斜率为 2 .
因此过 点的切线方程为 . 该切线与 轴交于 ,故 .
. 故 . 故 C 正确;
对于 : 第二象限的“花瓣”图形由曲线 和曲线 围成,两者关于 对称.
直线 与曲线 相交,联立方程化简得 ,且交点在第二象限,
所以 ,故 ,所以交点坐标 .
由于“花瓣”图形仅限阴影部分区域,故 ,即 .
由于 与 关于直线 对称,直线 亦关于直线 对称,
所以直线 与 的交点坐标为 .
故弦长
设 ,则 ,故 .
因此当 或 3 时，即 或 8 时，直线 与两曲线交于一点，弦长为 0 ；
当 时,即 时,弦长最长,此时 . 故弦长的取值可能为1.4,故 D 正确. 故选: ACD.
12.
，因为函数 在区间 上单调递增，
所以 在区间 上恒成立. 即 在区间 上恒成立,所以 ,
因为 ,所以 ,当 时, 取得最大值 , 所以 ,则 的最小值为 .
13. 39
二项式 的通项为 ,
二项式 的通项为 ,
,
若 ,则 为奇数,
此时 ,
得 ,
,又 为奇数, 的最大值为 39 .
故答案为: 39 .
14. 200
将有阴影的圆分别标为 ,
由于带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字,
当阴影的圆中的数字为 7,6,5 时,则将 7,6,5 填在 中有 种方法,接着剩下的 4 个数字填到圆中有 种方法,所以共有 种方法;
当阴影的圆中的数字为 7,6,4 时,若将 4 填到 ,则接着安排 7,6 有 种方法,与 相邻的两个圆只能从1,2,3中选两个有 种方法,剩下两个数有 种填法,所以共有 种方法;
若将 4 填到 或 ,有 2 种方法,则接着安排 7,6 有 种方法,与 4 相邻的三个圆只能填 1,2,3 有 种方法,剩下一个数有 1 种填法,所以共有 种方法;
当阴影的圆中的数字为 7,6,3 时,则 3 只能填到 ,则接着安排 7,6 有 种方法,与 相邻的
两个圆只能安排 1,2 有 种方法,剩下两个数有 种填法,所以共有 种方法; 所以总共有 种填法.
故答案为: 200
15. (1) 在 上单调递减，在 上单调递增
(2)
(1) 当 时, ,则 ,
令 ,得 ,令 ,得 ,
所以函数 在 上单调递减,在 上单调递增.
( 2 )由 ，则 对于 恒成立，
设 ,则 ,
令 ,得 ,令 ,得 ,
所以函数 在 上单调递减,在 上单调递增,
则 ,即 ,则 的取值范围为 .
16. (1)取 中点 ,连接 ,
分别为 的中点,
且 且 ，
,且 ,则四边形 为平行四边形,
平面 平面 ,
平面 .
(2)取 中点 ，连接
因为 ,所以 ,
平面 平面 面 为交线,
平面 ，
为正三角形, ,
以 为原点，分别以 为 轴建系,如图,
设
则 ,
所以 ,
易知平面 的法向量可取 ,
设平面 的法向量为 ,
因为 ,令 ,可取 ,
所以 ,解得 ,
所以 ,
设平面 的法向量为 ,
因为 ,令 ,可得 ,
所以 .
17.
(2)
(1)设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
由 ,得 ,
化简得 ,
又 ,
因为 为等差数列,故 ,代入得 ,
即 ①
结合 各项为整数,则 为满足题意的一个解,
又函数 在 上单调递增,所以 ,当且仅当 ,即 ②
联立 和 ,解得 ,
所以 的通项公式为 .
(2)由(1)得
情形 1: 当 ,
设 前 项和 分为奇数项和与偶数项和,
奇数项和 (共 项): 首项 ,末项 ,公差为 4 的等差数列,其和为
偶数项和 (共 项): 首项 ,公比为 16 的等比数列,其和为 , 将 代入,化简得 ;
情形 2: 当 时,设 前 项和 ,其中 .
由情形 1 得 ,代入得 ,
将 代入,化简得 ,
即 ,
综上所述 (或
18.
(2) ① ; ②
(1) 由双曲线 的离心率为 2,得 ,解得 . 又因为点 在双曲线 上,则 ,解得 , 所以双曲线 的方程为 .
(2)① 设 ， ，
联立 消去 得 ，
所以 ,即 ,
且 ,由 ,得 ,所以 .
则 .
因为线段 的中点为 ,所以 .
因为线段 的垂直平分线过点 ,
则 ,整理得 .
结合 ,得 ,所以 .
②由①知， ，
则 .
因为点 是直线 与双曲线 的右支的交点,所以 ,则 , 则 ,解得 .
因为
,
所以 .
又因为 ,
所以 ,即 .
因为 ,
所以 的取值范围为 ,即 的取值范围为 .
19.(1)当有 3 个士兵时，重新站成一排有 2 种站法;
当有 4 个士兵时，假设先安排甲，有 3 种站法，若甲站到乙的位置，那就再安排乙，也有 3 种站法,
剩下的两个人都只有 1 种站法,由分步乘法计数原理可得有 种站法.
(2)易知 .
如果有 个人，解散后都不站原来的位置可以分两个步骤:
第一步:先让其中一个士兵甲去选位置，有 种选法；
第二步:重排其余 个人，根据第一步，可以分为两类:
第一类:若甲站到乙的位置上，但乙没有站到甲的位置，这样的站法有 种；
第二类: 若甲站到乙的位置上,乙同时站到甲的位置,这样的站法有 种.
所以 ,又 ,
所以 .
所以数列 是首项为 1,公比为 -1 的等比数列
(3)由题意可知 ，
由 (2) 可得: ,则 .
对 进行赋值,依次得: ,
将以上各式左右分别相加,得: ,因 , 则 .
即得 ,
当 无穷大时, ,得证.
【点睛】关键点点睛: 本题解题的关键在于寻找题中 和 之间的递推关系,通过两个计数原理的运用,先分步再分类得到 ,第二个关键是根据数列递推公式,通过拼凑项得到等比数列 ,为第三题证明结论做好知识铺垫.