2025-2026学年下学期浙江省杭州学军中学高一数学3月周末练2试卷（含解析）

杭州学军中学 2025 学年高一(下)数学周末练 2
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。
1. 已知 为虚数单位,若 ,则 ( )
A. -2 B. 2 C. D.
2. 如下图, 是线段 的中点,设向量 ,那么 能够表示为 ( )
A. B.
C. D.
3. 如图,已知等腰三角形 是一个平面图形的直观图,斜边 ,则这个平面图形的面积是( )
A. B. 1 C. D.
4. 在四边形 中， ，且 ，则 ()
A. B. C. D.
5. 在 中，角 的边分别为 ，知 ，则下列判断中错误的是( )
A. 若 ,则 B. 若 该三角形有两解
C. 周长的最小值为 12 D. 面积的最大值
6. 在 中,角 所对的边分别为 ,若 为 的角平分线,且 ,则 的值为( )
A. B. C. D.
7. 记 ,设 为平面内的非零向量,则 ( )
A. B.
C. D.
8. 如图,这是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数 的图形, 已知 是平面四边形 内一点，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知 是虚数单位， ，复数 是 共轭复数，则下列结论正确的是( )
A. B. C.
D.
10. 设点 是 所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A. 若 ,则点 是边 的中点
B. 若 ,则点 在边 的延长线上
C. 若 ，则点 是 的重心。
D. 若 ,且 ,则 的面积是的 面积的
11. 在 中，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )
A. 若 ,则 B. 若 ，则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 如图是一个正四棱台 ,已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2 和 6，体积为 ，则侧面积为_____.
13. 已知单位向量 ，若对任意实数 ， 恒成立，则向量
的夹角的取值范围为_____.
14. 在 中,角 的对边分别为 ,且 ,若当 变化时, 存在最大值，则正数 的取值范围是_____
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 已知 是复数， 与 均为实数.
(1)求复数 ；
(2)复数 在复平面上对应的点在第一象限，求实数 的取值范围.
16. 如图,长方体 的体积是 为 的中点,平面 将长方体分成三棱锥 和多面体 两部分,其中 .
(1)求三棱锥 的体积；
(2)求多面体 的表面积.
17. 在 中， 为三个内角 为三条边， 且
(1)判断 的形状；
(2)若 ，求 的取值范围.
18. 如图,已知 ,圆 是以 为圆心半径为 2 的圆,圆 是以 为圆心、半径为 1 的圆,设点 分别为圆 ,圆 上的动点, (且 和 同向),设
(1)当 ，且 时，求 的值；
(2)用 表示出 ，当 的值为多少时， 取最小值并求出最小值.
19. 在 中, 为 的中点, .
(1)若 ，求 的长；
(2)若 ，求 的长.
《杭州学军中学 2025 学年高一(下)数学周末练 2》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D A C B D D ABD ACD
题号 11
答案 AB
1. B
解: ,
则 .
故选: B.
2. B
由题意, .
故选: B
3. D
在直观图中, ,而 ,因此 是等腰直角三角形,
利用斜二测画法的定义,画出原图形,
由等腰 斜边 ,得 ,
因此 ,
所以原平面图形的面积是 .
故选: D
4. A
因为 ,所以 且 ,
故四边形 为平行四边形,
设 都是单位向量,且 ,
两边平方得 ,即 ,
所以 ,解得 ,
故 ,
又 均为单位向量,故 ,
即 ，且 平分 ，
故四边形 为菱形,且 ,
故 为等边三角形, ,
,两边平方得
故 .
故选: A
5. C
对于 ,由正弦定理得 ,
所以 ,故 A 正确;
对于 ,由正弦定理得 得,所以 ,
因为 ,则 有两个解,所以该三角形有两解,故 正确;
对于 ,由 ,得
所以 ,当且仅当 时取等号,此时三角形为等边三角形,周长最大,周长为 12,故 错误;
对于 ,由选项 知, ,当且仅当 时取等号,
故
所以 面积的最大值为 ，故 D 正确.
故选: C.
6. B
因为 ,由正弦定理可得 ,
所以, ,
由余弦定理可得 ,因为 ,所以, ,
因为 ,由 可得 ，
即 ,解得 ,
由余弦定理可得 ,
因此, .
故选: B.
7. D
对于 选项:考虑 ，根据向量加法减法法则几何意义知: ， 所以 A 错误;
B 选项: 根据平面向量数量积可知: 不能保证 恒成立,
所以它们的较小者一定小于等于 ,所以 错误 正确;
C 选项: 考虑 ,所以 错误.
故选: D
8. D
如图,延长 ,过点 做 交 的延长线于点 .
因为 ,所以 .
由图可知当 在 点处时， 在 上的投影有最大值 1,
当 在 点处时, 在 上的投影有最小值 ,
又因为 ,所以 的取值范围是 .
故选: D
9. ABD
因为 ,复数 是 共轭复数,
所以 ,所以 ,故 正确;
,故 B 正确;
因为虚数不能比较大小, 故 C 错误; ,故 D 正确;
故选: ABD
10. ACD
中: 即:
,则点 是边 的中点
B. 则点 在边 的延长线上,所以 错误. C.
设 中点 ,则 ,由重心性质可知 成立.
D. 且 设
所以 ,可知 三点共线,所以 的面积是 面积的 故选择 ACD
11. AB
解: 对于 : 在 中, ,
所以若 ,则 正确;
若 ,则 ,所以 正确;
对于 :
当 时, ,
则 ;
当 时 ( 和 不可能同时在第二象限),
当 时, ,
则 ,
当 时, ,
; 故 C 错误;
对于 :
,
故 D 错误;
故选: AB.
12.
设该正四棱台的高、斜高分别为 ,
由已知得 ,
所以 ,
所以正四棱台侧面积为 .
故答案为: .
13.
是单位向量，由 得: ,
依题意,不等式 对任意实数 恒成立,
则 ,解得 ,
而 ,则 ,
又 ,函数 在 上单调递减,
因此 ,
所以向量 的夹角的取值范围为 .
故答案为: .
14.
由正弦定理可得:
,
且
为满足存在最大值
令
则
当存在最大值时,
即
解得
综上可得
故正数 的取值范围是
15. (1) ; (2)
(1) 设 ,则 ,
因为 与 都是实数,所以 ,解得 ,
所以 ；
(2)由(1)知 ，
所以 ,
因为 在复平面上对应的点在第一象限,
所以 ,
解得: ,
即实 的取值范围是 .
16. (1)2
(2) .
(1) 长方体 的体积是 为 的中点， ， ,则 ,
在长方体中，侧棱和底面垂直， 平面 ；
.
(2) ， ,
多面体 的表面积为
.
17. (1) 是等腰三角形. (2)
(1)由正弦定理有: ，故 ，即 ， 因为 ,故 ,所以 或 .
若 ,且 不成立; 故 ,又 ,故 , 是等腰三角形.
(2)由 两边平方得 ，由(1) ，所以 ，即 ,又 ,因为 ,所以 ,即 , 所以 ,化简可得 ,所以 ,故
18.
(2) ，最小值为
(1)如图，以点 为原点， 所在直线为 轴，与 垂直的直线为 轴，建立平面直角坐标系.
则 ,则 , 所以
(2)由题意及(1)可知 ，
所以
所以
因为 ,所以
所以 ,
因为 ,
所以
所以 ,时 的最小值为
19. ;
(2)2.
(1)如图，在 中， ， ， ，
根据余弦定理,得 ,
又在 中, ,
根据余弦定理,得 ,
解得 ；
(2)如图，延长 ，使 ，则 为等腰三角形， ， ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 ,则 ,即 ,
所以 ,则 ,
又 ,
所以 ,
所以 ,
所以 ,即 ,解得 或 (舍) .