2025-2026学年下学期湖北襄阳高二数学3月检测试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年下学期湖北襄阳高二数学3月检测试卷（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 97.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-16 00:00:00 | ||
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文档简介
高二数学
一、单项选择题(共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个 是符合题目要求的, 请把答案填涂在答题卡相应位置上)
1. 在等比数列 中， ， ，则 等于( )
A. 6 B. -4 C. 4 D. ±4
2. 下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是( )
A. B. C. D.
3. 已知双曲线 的两条渐近线的倾斜角均大于 ,则双曲线 的一个焦点到其中一条渐近线的距离的取值范围是( )
A. B. C. D.
4. 已知椭圆 的上下焦点为 ，点 在椭圆上运动，则 的面积的最大值为( )
A. B. C. 6 D. 9
5. 下列关于空间向量的命题中正确的是( )
A. 已知两个向量 ，则 与 的夹角为锐角
B. 已知过点 的平面 的法向量为 ，则点 到平面 的距离为
C. 若 是空间的一组基底,则 也是空间的一组基底
D. 已知 ,则 在 上的投影向量坐标为
6. 吹气球时,气球的体积 (单位: ) 和表面积 (单位: ) 都随着气球的半径变化而变化. 当气球的半径为 时,气球的体积关于表面积的瞬时变化率为(气球看作球体)( )
A. B.
C. D. 1
7. 已知数列 的前 项和为 ,前 项积为 ,若 ,当 取最小值时, ( )
A. B. 1 C. 2
D.
8. 若关于 的方程 有且仅有两个不同的实数根,则实数 的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
二、多项选择题(共 3 小题，每小题 6 分，共计 18 分. 在每小题给出的四个选项中，至少有两 个是符合题目要求的, 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有错选得 0 分)
9. 下列求导运算错误的有( )
A. B.
C. D.
10. 已知抛物线 ,过抛物线焦点 的动直线 与抛物线 交于 两点, 为坐标原点,数量积 为定值 -12,则下面说法正确的是( )
A.
B. 以线段 为直径的圆与该抛物线的准线相切
C. 若 ,则直线 的倾斜角为 或
D. 若 是线段 的中点，则当直线 的斜率最大时，弦长
11. 若数列 的前 项和为 ,首项 ,且满足 ,则下列说法正确的是 ( )
A.
B. 是等比数列
C. 当 为偶数时,
D. 数列 的前 项和为 ,则
三、填空题(共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分. 请把答案填写在答题卡相应位置上)
12. 已知 为空间中任意一点， 四点共面且任意三点均不共线，若 ，则 的值为_____.
13. 正项数列 的前 项和为 ，且 ，若直线 与圆 相切,则 _____.
14. 已知椭圆 ，过点 的两条直线 与 ，其中 与椭圆 相切于 点， 与椭圆 相交于 、 两点， 于点 ，则 的最大值为_____.
四、解答题 (本大题共 5 小题, 共计 77 分. 请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤)
15. (本小题 13 分) 已知直线 为曲线 在点 处的切线,直线 的倾斜角与直线 的倾斜角互补,原点在直线 斜上方且到 的距离为 .
(1)求直线 和直线 的方程；
(2)已知直线 在 轴和 轴上的截距互为相反数，且直线 经过直线 与直线 的交点， 求直线 的方程.
16. (本小题 15 分)已知数列 的前 项和为 ，且 ，其中 成等比数列,数列 满足 .
(1)求证:数列 为等比数列；
(2)已知数列 满足 ， 的前 项和为 ，若 对 恒成立,试求实数 的取值范围.
17. (本小题 15 分) 在台海军事防御演习中,以雷达监测指挥站 为坐标原点建立平面直角坐标系. 监测站 在 北偏东 方向 千米处,监测站 在 正东 千米处. 现划定的圆形警戒区域恰好过 三点.
(1)求圆形警戒区域圆的标准方程；
(2)警戒区域外的可疑船只 在 西偏南 方向 千米处，正沿北偏东 方向匀速航行, 试问该船是否会进入警戒区域
(3)有一条从距 点正西8千米的补给基地 P 出发，向北偏东 延伸的海上补给线，为全方位监控补给线安全, 要在补给线上安装一个雷达监控装置, 使它向警戒区域圆发射雷达波(看作向圆作两条切线)的张角最大，以覆盖更大警戒区域边缘，求该装置应安装的位置坐标.
18. (本小题 17 分)如图，在四棱锥 中，底面 为等腰梯形，侧面 是等边三角形,其中上底 ,下底 ,侧面 底面 ,点 为线段 上的动点.
(1)求点 到直线 的距离；
(2)试问线段 上是否存在点 ，使得二面角 为 ？若存在，求出点 的位置; 若不存在, 请说明理由;
(3)若点 为线段 的中点，求三棱锥 的外接球的表面积.
19. (本小题 17 分) 在平面直角坐标系中,已知动点 满足下列方程:
该方程的曲线与 轴的交点分别为 两点 的左侧 ,不过 的直线 与该曲线交于 两点,记直线 的斜率分别为 ; 直线 的斜率分别为 .
(1)求该曲线的标准方程；
(2)若 ，求 的值；
(3)若 ，求证:直线 过定点，并求出定点坐标.
高二数学参考答案
1-8. CABADCBD 9. AD 10. ABD 11. ACD
1. C 设公比为 ,由 ,得 ,所以
2. 由椭圆性质知,离心率越小,越接近于圆,显然 的离心率最小.
3. 由双曲线 可知渐近线方程为 , 若双曲线 的两条渐近线的倾斜角均大于 ,则 ,即 ,而双曲线的焦距到其中一条渐近线的距离为 ,所以取值范围是
4. A 由题知, ,当 在短轴顶点时 的面积最大值为
5. 对于 ,由 知夹角为 0,故 错误;
对于 ,可由点到平面的距离公式求得 ,故 错误;
对于 是空间的一组基底,而 ,
即 是共面向量,故 不是空间的一组基底,即 错误.
对于 ,由 在 上的投影向量为 ,故 正确.
6. C 易得气球的体积 与面积 的函数解析式为 ,记 ,求导得 ,当气球半径 时, . (选择性必修第二册 70 页练习第 4 题改编)
7. 由 得 ,两式相减整理得 ,又易得 ,故 是等比数列,且 . 当 时, ; 当 时, ,所以 时, 取最小值时,此时 . (源自选择性必修第二册 40 页练习第 3 题和 41 页第 10 题)
8. 将方程 转化为方程 ,再转化为: 半圆 与直线 有两个不同交点. 当直线与半圆相切时,有 , 半圆 与直线 有两个不同交点时. 直线 定过 ,由图象知直线过 时直线的斜率 取最大值为 .
9. AD
, A 选项错误;
选项正确;
选项正确;
，D 选项错误.
10. ABD
设 两点的坐标为 ,直线 的方程为 .
联立方程 ,消去 后整理为 ,
显然有 ,则 ,
可得 .
对于 ,由 ,解得 ; A 正确
对于 ,因为线段 的中点到准线的距离 ,而以线段 为直径的圆的半径为 ,
所以以线段 为直径的圆与该抛物线的准线相切,所以 正确,
对于 ,当倾斜角 为锐角时, ,由 ,
,解得 ,故直线 的倾斜角 或 错误
对于 ,由上面知 ,线段 的中点
即 ,可得直线 的斜率为 ,显然当当 时, 方能取最大值; 故 (当且仅当 时取等号)
此时 , D点到准线的距离为 ,弦长 ,故 D 正确.
11. AC
A 答案,
B 和 C 答案, 参照教材 39 页例 12 的构造法、待定系数法求数列通项公式.
由 得 ,易得 是等比数列,
. 当 为偶数时, , B 错, C 对
D 答案, ,数列 用错位相减求和,数列 用并项求和，分别求和再相加得到 D 答案是错误的. (选择性必修第二册 41 页第 7 题改编)
12. 由空间向量基本定理, ,所以
13. 90 圆 的圆心为 ,半径 ,由直线与圆相切得 ,即 ,所以 为等差数列. 在等差数列 中, 成等差数列,所以 ,则 ,即 .
14. 如图,设直线 的方程为: 与椭圆方程联立得: ,由 得
此时直线 的方程为:
与椭圆联立得 ，此时 ， ，
设 ，则 . 因 为 ，所 因 为 ,所以 ,所以当 时, 取得最大值 (源自 2024 年新课标 2 卷第 21 题改编)
15. 【解】(1)求导计算可得直线 的斜率为 ， 1 分
所以直线 的方程为 ,即 . .2 分
设直线 的斜率为 ,因为倾斜角互补,所以 , .3 分
所以设直线 的方程为 ,即
原点到直线的距离 ,解得 .5 分
因为原点在直线的斜上方,所以 ,故直线 的方程为 ; .6 分
(2)联立 ，得 所以直线 与 的交点坐标为 .8 分
当直线 过原点时,直线 的方程为 . .10 分
当直线 不过原点时,设 的直线方程为 代入解得 .
可求得直线 的方程为
综上,直线 的方程为 或 . .13 分
16. 【解】( 1 ) ，所以 ，即 ，_____1分所以数列 是首项为 ，公差为 1 的等差数列. 由 ， ， 成等比数列，
得 ,解得 , 3 分
所以 . .5 分
由 ,且 ,所以数列 为等比数列 .7 分
(2)两部分分别裂项 , 10 分 ; 12 分
相消求和得 分由 对 恒成立,得 15 分
(2)该船不会进入警戒区域. (3)
解: (1) 先求 点坐标,由三角函数得 . 设圆标准方程 ，将三点坐标代入得方程组，通过方程相减消元，先求出 ，再代入求出 ，最后得 ，从而确定圆的标准方程为 ._____4 分
(2)根据方向角和距离确定 ，由航行方向得直线斜率 ，用点斜式得直线方程 . 已知圆方程得圆心 ,半径 ,用点到直线距离公式求出圆心到直线距离 ,所以该船不会进入警戒区域. 9 分
(3)由补给线方向得斜率 ，根据 用点斜式得补给线方程 ①. 设雷达监控装置为点 为补给线上的动点，切点为 ，圆心 ；雷达波张角 ，要使雷达波张角最大即 最大,即 最大,也就圆心 到装置距离 最小, 当 与补给线垂直时, 最小,此时直线 的点斜式方程为 ,即 ②; 联立方程①②解得, ,故雷达装置 的坐标为 15 分
18. 【解】(1)如图，以点 为坐标原点，以 ， 所在直线分别为 轴, 轴,过 垂直于平面 的直线为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 ,
则
则点 到直线 的距离 . 5 分
(2)由(1)所建空间坐标系，可得 ， ， ， ，
故 ，设 ，
,设平面 的法向量 ,由 ,有:
,则 ,取 ,则
所以 . 因为 轴垂直平面 ,故可取平面 的一个法向量为 , 因为二面角 为 ,所以 . 化简得 ,解得 ,
故存在点 为线段 上靠近 点的三等分点,使得二面角 为 _____12 分
(3)取 中点 ，设三棱锥 的外接球的球心为 ，由 知，点 在过点 且与平面 垂直的直线上,故可设 ,由 为线段 的中点可知 的坐标为 . 由 得,
解得 ,从而三棱锥 的外接球的半径为 ,故表面积为
. 17 分
19. 解: (1) 由双曲线的定义,易知该曲线是以 为焦点的双曲线,其中 故该曲线的标准方程为 3 分
(2)由题易得 ，由 得 ，代入
可得 ,同理可得
故 ,求得 . 8 分
(3)由题知， 、 . 设直线 的方程为 ，与双曲线 联立得:
且
设 ,则 10 分
由
12 分
，解得: 所以直线 的方程为 过定点 _____17 分
另解: 也可由第 (2) 问的计算通过 ,得 ,则 ，然后再直线 与双曲线联立，把非对称韦达转化为对称韦达，从而解决问题，
过程略 (源自 2023 年新课标 2 卷第 21 题改编)
一、单项选择题(共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个 是符合题目要求的, 请把答案填涂在答题卡相应位置上)
1. 在等比数列 中， ， ，则 等于( )
A. 6 B. -4 C. 4 D. ±4
2. 下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是( )
A. B. C. D.
3. 已知双曲线 的两条渐近线的倾斜角均大于 ,则双曲线 的一个焦点到其中一条渐近线的距离的取值范围是( )
A. B. C. D.
4. 已知椭圆 的上下焦点为 ，点 在椭圆上运动，则 的面积的最大值为( )
A. B. C. 6 D. 9
5. 下列关于空间向量的命题中正确的是( )
A. 已知两个向量 ，则 与 的夹角为锐角
B. 已知过点 的平面 的法向量为 ，则点 到平面 的距离为
C. 若 是空间的一组基底,则 也是空间的一组基底
D. 已知 ,则 在 上的投影向量坐标为
6. 吹气球时,气球的体积 (单位: ) 和表面积 (单位: ) 都随着气球的半径变化而变化. 当气球的半径为 时,气球的体积关于表面积的瞬时变化率为(气球看作球体)( )
A. B.
C. D. 1
7. 已知数列 的前 项和为 ,前 项积为 ,若 ,当 取最小值时, ( )
A. B. 1 C. 2
D.
8. 若关于 的方程 有且仅有两个不同的实数根,则实数 的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
二、多项选择题(共 3 小题，每小题 6 分，共计 18 分. 在每小题给出的四个选项中，至少有两 个是符合题目要求的, 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有错选得 0 分)
9. 下列求导运算错误的有( )
A. B.
C. D.
10. 已知抛物线 ,过抛物线焦点 的动直线 与抛物线 交于 两点, 为坐标原点,数量积 为定值 -12,则下面说法正确的是( )
A.
B. 以线段 为直径的圆与该抛物线的准线相切
C. 若 ,则直线 的倾斜角为 或
D. 若 是线段 的中点，则当直线 的斜率最大时，弦长
11. 若数列 的前 项和为 ,首项 ,且满足 ,则下列说法正确的是 ( )
A.
B. 是等比数列
C. 当 为偶数时,
D. 数列 的前 项和为 ,则
三、填空题(共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分. 请把答案填写在答题卡相应位置上)
12. 已知 为空间中任意一点， 四点共面且任意三点均不共线，若 ，则 的值为_____.
13. 正项数列 的前 项和为 ，且 ，若直线 与圆 相切,则 _____.
14. 已知椭圆 ，过点 的两条直线 与 ，其中 与椭圆 相切于 点， 与椭圆 相交于 、 两点， 于点 ，则 的最大值为_____.
四、解答题 (本大题共 5 小题, 共计 77 分. 请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤)
15. (本小题 13 分) 已知直线 为曲线 在点 处的切线,直线 的倾斜角与直线 的倾斜角互补,原点在直线 斜上方且到 的距离为 .
(1)求直线 和直线 的方程；
(2)已知直线 在 轴和 轴上的截距互为相反数，且直线 经过直线 与直线 的交点， 求直线 的方程.
16. (本小题 15 分)已知数列 的前 项和为 ，且 ，其中 成等比数列,数列 满足 .
(1)求证:数列 为等比数列；
(2)已知数列 满足 ， 的前 项和为 ，若 对 恒成立,试求实数 的取值范围.
17. (本小题 15 分) 在台海军事防御演习中,以雷达监测指挥站 为坐标原点建立平面直角坐标系. 监测站 在 北偏东 方向 千米处,监测站 在 正东 千米处. 现划定的圆形警戒区域恰好过 三点.
(1)求圆形警戒区域圆的标准方程；
(2)警戒区域外的可疑船只 在 西偏南 方向 千米处，正沿北偏东 方向匀速航行, 试问该船是否会进入警戒区域
(3)有一条从距 点正西8千米的补给基地 P 出发，向北偏东 延伸的海上补给线，为全方位监控补给线安全, 要在补给线上安装一个雷达监控装置, 使它向警戒区域圆发射雷达波(看作向圆作两条切线)的张角最大，以覆盖更大警戒区域边缘，求该装置应安装的位置坐标.
18. (本小题 17 分)如图，在四棱锥 中，底面 为等腰梯形，侧面 是等边三角形,其中上底 ,下底 ,侧面 底面 ,点 为线段 上的动点.
(1)求点 到直线 的距离；
(2)试问线段 上是否存在点 ，使得二面角 为 ？若存在，求出点 的位置; 若不存在, 请说明理由;
(3)若点 为线段 的中点，求三棱锥 的外接球的表面积.
19. (本小题 17 分) 在平面直角坐标系中,已知动点 满足下列方程:
该方程的曲线与 轴的交点分别为 两点 的左侧 ,不过 的直线 与该曲线交于 两点,记直线 的斜率分别为 ; 直线 的斜率分别为 .
(1)求该曲线的标准方程；
(2)若 ，求 的值；
(3)若 ，求证:直线 过定点，并求出定点坐标.
高二数学参考答案
1-8. CABADCBD 9. AD 10. ABD 11. ACD
1. C 设公比为 ,由 ,得 ,所以
2. 由椭圆性质知,离心率越小,越接近于圆,显然 的离心率最小.
3. 由双曲线 可知渐近线方程为 , 若双曲线 的两条渐近线的倾斜角均大于 ,则 ,即 ,而双曲线的焦距到其中一条渐近线的距离为 ,所以取值范围是
4. A 由题知, ,当 在短轴顶点时 的面积最大值为
5. 对于 ,由 知夹角为 0,故 错误;
对于 ,可由点到平面的距离公式求得 ,故 错误;
对于 是空间的一组基底,而 ,
即 是共面向量,故 不是空间的一组基底,即 错误.
对于 ,由 在 上的投影向量为 ,故 正确.
6. C 易得气球的体积 与面积 的函数解析式为 ,记 ,求导得 ,当气球半径 时, . (选择性必修第二册 70 页练习第 4 题改编)
7. 由 得 ,两式相减整理得 ,又易得 ,故 是等比数列,且 . 当 时, ; 当 时, ,所以 时, 取最小值时,此时 . (源自选择性必修第二册 40 页练习第 3 题和 41 页第 10 题)
8. 将方程 转化为方程 ,再转化为: 半圆 与直线 有两个不同交点. 当直线与半圆相切时,有 , 半圆 与直线 有两个不同交点时. 直线 定过 ,由图象知直线过 时直线的斜率 取最大值为 .
9. AD
, A 选项错误;
选项正确;
选项正确;
，D 选项错误.
10. ABD
设 两点的坐标为 ,直线 的方程为 .
联立方程 ,消去 后整理为 ,
显然有 ,则 ,
可得 .
对于 ,由 ,解得 ; A 正确
对于 ,因为线段 的中点到准线的距离 ,而以线段 为直径的圆的半径为 ,
所以以线段 为直径的圆与该抛物线的准线相切,所以 正确,
对于 ,当倾斜角 为锐角时, ,由 ,
,解得 ,故直线 的倾斜角 或 错误
对于 ,由上面知 ,线段 的中点
即 ,可得直线 的斜率为 ,显然当当 时, 方能取最大值; 故 (当且仅当 时取等号)
此时 , D点到准线的距离为 ,弦长 ,故 D 正确.
11. AC
A 答案,
B 和 C 答案, 参照教材 39 页例 12 的构造法、待定系数法求数列通项公式.
由 得 ,易得 是等比数列,
. 当 为偶数时, , B 错, C 对
D 答案, ,数列 用错位相减求和,数列 用并项求和，分别求和再相加得到 D 答案是错误的. (选择性必修第二册 41 页第 7 题改编)
12. 由空间向量基本定理, ,所以
13. 90 圆 的圆心为 ,半径 ,由直线与圆相切得 ,即 ,所以 为等差数列. 在等差数列 中, 成等差数列,所以 ,则 ,即 .
14. 如图,设直线 的方程为: 与椭圆方程联立得: ,由 得
此时直线 的方程为:
与椭圆联立得 ，此时 ， ，
设 ，则 . 因 为 ，所 因 为 ,所以 ,所以当 时, 取得最大值 (源自 2024 年新课标 2 卷第 21 题改编)
15. 【解】(1)求导计算可得直线 的斜率为 ， 1 分
所以直线 的方程为 ,即 . .2 分
设直线 的斜率为 ,因为倾斜角互补,所以 , .3 分
所以设直线 的方程为 ,即
原点到直线的距离 ,解得 .5 分
因为原点在直线的斜上方,所以 ,故直线 的方程为 ; .6 分
(2)联立 ，得 所以直线 与 的交点坐标为 .8 分
当直线 过原点时,直线 的方程为 . .10 分
当直线 不过原点时,设 的直线方程为 代入解得 .
可求得直线 的方程为
综上,直线 的方程为 或 . .13 分
16. 【解】( 1 ) ，所以 ，即 ，_____1分所以数列 是首项为 ，公差为 1 的等差数列. 由 ， ， 成等比数列，
得 ,解得 , 3 分
所以 . .5 分
由 ,且 ,所以数列 为等比数列 .7 分
(2)两部分分别裂项 , 10 分 ; 12 分
相消求和得 分由 对 恒成立,得 15 分
(2)该船不会进入警戒区域. (3)
解: (1) 先求 点坐标,由三角函数得 . 设圆标准方程 ，将三点坐标代入得方程组，通过方程相减消元，先求出 ，再代入求出 ，最后得 ，从而确定圆的标准方程为 ._____4 分
(2)根据方向角和距离确定 ，由航行方向得直线斜率 ，用点斜式得直线方程 . 已知圆方程得圆心 ,半径 ,用点到直线距离公式求出圆心到直线距离 ,所以该船不会进入警戒区域. 9 分
(3)由补给线方向得斜率 ，根据 用点斜式得补给线方程 ①. 设雷达监控装置为点 为补给线上的动点，切点为 ，圆心 ；雷达波张角 ，要使雷达波张角最大即 最大,即 最大,也就圆心 到装置距离 最小, 当 与补给线垂直时, 最小,此时直线 的点斜式方程为 ,即 ②; 联立方程①②解得, ,故雷达装置 的坐标为 15 分
18. 【解】(1)如图，以点 为坐标原点，以 ， 所在直线分别为 轴, 轴,过 垂直于平面 的直线为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 ,
则
则点 到直线 的距离 . 5 分
(2)由(1)所建空间坐标系，可得 ， ， ， ，
故 ，设 ，
,设平面 的法向量 ,由 ,有:
,则 ,取 ,则
所以 . 因为 轴垂直平面 ,故可取平面 的一个法向量为 , 因为二面角 为 ,所以 . 化简得 ,解得 ,
故存在点 为线段 上靠近 点的三等分点,使得二面角 为 _____12 分
(3)取 中点 ，设三棱锥 的外接球的球心为 ，由 知，点 在过点 且与平面 垂直的直线上,故可设 ,由 为线段 的中点可知 的坐标为 . 由 得,
解得 ,从而三棱锥 的外接球的半径为 ,故表面积为
. 17 分
19. 解: (1) 由双曲线的定义,易知该曲线是以 为焦点的双曲线,其中 故该曲线的标准方程为 3 分
(2)由题易得 ，由 得 ，代入
可得 ,同理可得
故 ,求得 . 8 分
(3)由题知， 、 . 设直线 的方程为 ，与双曲线 联立得:
且
设 ,则 10 分
由
12 分
，解得: 所以直线 的方程为 过定点 _____17 分
另解: 也可由第 (2) 问的计算通过 ,得 ,则 ，然后再直线 与双曲线联立，把非对称韦达转化为对称韦达，从而解决问题，
过程略 (源自 2023 年新课标 2 卷第 21 题改编)
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