2025-2026学年下学期 福建省厦门市厦门大学附属科技中学高二数学限时训练1试卷（含解析）

厦门大学附属科技中学 2025-2026 学年高二(下)数学学科限时训练(01)
班级_____ 座号_____ 姓名_____
一、单选题(每小题 5 分，共 30 分)
1. 若 ，则 等于( )
A. 9 B8 C7 D. 6
2. 设 4 名学生报名参加同一时间安排的 3 项课外活动方案有 种,这 4 名学生在运动会上共同争夺 100 米、跳远、铅球 3 项比赛的冠军的可能结果有 种,则 为( ).
A. B. C. D.
3.5 名大人带 2 个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法有( )
A.A.S.A. 3种 B.A.S.A. 3种 C.A.S.A. 3种 D. 种
4.分配 4 名水暖工去 3 户不同的居民家里检查暖气管道. 要求 4 名水暖工都分配出去，且每户居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有( )
A. 24 种 B. 18 种 C. 36 种 D. 7 种
5. 已知等差数列 的通项公式为 ，则 的展开式中含 项的系数是该数列的 ( )
A. 第 9 项 B.第 10 项 C. 第 19 项 D. 第 20 项
6. "杨辉三角"是二项式系数在三角形中的一种几何排列, 在中国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》 一书中就有出现. 如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是 1 外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，如第 4 行的 6 为第 3 行中两个 3 的和. 则下列命题正确的是( ).
A. 在“杨辉三角”第 9 行中，从左到右第 7 个数是 86
B. 第 9 行所有数字之和为 256
C. 记第 20,21 行数字的最大值分别为 ,则
D. 在“杨辉三角”中，从第 2 行起到第 12 行，每一行的第 3 列的数字之和为 286
二、多选题(每小题 6 分，共 12 分)
7.生命在于运动，小兰给自己制定了周一到周六的运动计划，这六天每天安排一项运动，其中有两天练习瑜伽。 另外四天的运动项目互不相同，且运动项目为跑步、爬山、打羽毛球和跳绳，下列说法正确的是( )
A. 若瑜伽被安排在周一和周六，则共有 48 种不同的安排方法
B. 若周二和周五至少有一天安排练习瑜伽，则共有 216 种不同的安排方法
C. 若周一不练习瑜伽，周三爬山，则共有 36 种不同的安排方法
D. 若瑜伽不被安排在相邻的两天，则共有 240 种不同的安排方法
8. 若 ，则下列正确的是 ( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题(每小题 5 分，共 10 分)
9.某国际旅行社现有 11 名对外翻译人员，其中有 5 人只会英语，4 人只会法语，2 人既会英语又会法语，现从这 11 人中选出 4 人当英语翻译，4 人当法语翻译，则共有_____种不同的选法
10. 已知 的展开式中，奇数项的二项式系数之和是 64，则 的展开式中， 的系数为_____
四、解答题(共 23 分)
11. (10分)如图，四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形， 平面 ， ， 分别为 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
12. (13 分) 已知函数 ，在 处切线的斜率为-2 .
(1)求 的值:(2)求 的极小值；(3)讨论方程 的实数解的个数.
厦门大学附属科技中学 2025-2026 学年高二 (下) 数学学科限时训练 (01)-答案
一、单选题(每小题 5 分，共 30 分)
1.若 ，则 等于( )
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
答案 由 ,得 .
2. 设 4 名学生报名参加同一时间安排的 3 项课外活动方案有 种,这 4 名学生在运动会上共同争夺 100 米、跳远、铅球 3 项比赛的冠军的可能结果有 种,则 为( )
A. B. C. D.
答案 C 由题意知本题是一个分步计数问题, 每名学生报名都有 3 种选择,
根据分步乘法计数原理知, 4 名学生共有 种选择;
每项冠军都有 4 种可能结果,根据分步乘法计数原理知,3 项冠军共有 种可能结果.
3.5 名大人带 2 个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法有( )
A.A. 3, A. 7 B.A.S.A. 3种 C.A$-A & D. 种
答案 A先排大人，有 A 种排法，
去掉头尾后，有 4 个空位，再分析小孩，用插空法，将 2 个小孩插在 4 个空位中，有 A 种排法.
由分步乘法计数原理可知，有 A A 补种不同的排法.
4.分配 4 名水暖工去 3 户不同的居民家里检查暖气管道.要求 4 名水暖工都分配出去，且每户居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有( )
A. 24 种 B. 18 种 C. 36 种 D. 7 种
答案 C
先将 4 名水暖工选出 2 人分成一组, 另外两人分别为一组, 然后将三组水暖工分配到 3 户不同的居民家, 故有 种分配方案.
5. 已知等差数列 的通项公式为 ，则 的展开式中含 项的系数是该数列的 ( )
A. 第 9 项 B. 第 10 项 C. 第 19 项 D. 第 20 项
答案 的展开式中含 项的系数是 ,
由 ,得 .
6. "杨辉三角"是二项式系数在三角形中的一种几何排列, 在中国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》 一书中就有出现. 如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是 1 外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和， 如第 4 行的 6 为第 3 行中两个 3 的和. 则下列命题正确的是( ).
A. 在“杨辉三角”第 9 行中，从左到右第 7 个数是 86
B. 第 9 行所有数字之和为 256
C. 记第 20,21 行数字的最大值分别为 ,则
D. 在“杨辉三角”中，从第 2 行起到第 12 行，每一行的第 3 列的数字之和为 286 【答案】D
在“杨辉三角”第 9 行中,从左到右第 7 个数是 错误;
由二项式系数的性质知,第 行各数的和为 ,所以第 8 行所有数字之和为 ,则第 9 行数字之和必大于 256, B 错误;
第 20 行数字的最大值为 ,第 21 行数字的最大值为 ,所以 , C 错误; 在“杨辉三角”中,当 时,从第 2 行起,每一行的第 3 列的数字之和为 , D正确. 故选: D
二、多选题(每小题 6 分，共 12 分)
7. 生命在于运动，小兰给自己制定了周一到周六的运动计划，这六天每天安排一项运动，其中有两天练习瑜伽， 另外四天的运动项目互不相同，且运动项目为跑步、爬山、打羽毛球和跳绳，下列说法正确的是( )
A. 若瑜伽被安排在周一和周六, 则共有 48 种不同的安排方法
B. 若周二和周五至少有一天安排练习瑜伽，则共有 216 种不同的安排方法
C. 若周一不练习瑜伽，周三爬山，则共有 36 种不同的安排方法
D. 若瑜伽不被安排在相邻的两天，则共有 240 种不同的安排方法
答案 BCD 对于 ，若瑜伽被安排在周一和周六，则共有 (种)不同的安排方法，故 不正确； 对于 ,若周二和周五至少有一天安排练习瑜伽，则由间接法可得，共有 (种)不同的安排方法， 故 B 正确;
对于 ,若周一不练习瑜伽,周三爬山,则共有 (种)不同的安排方法,故 正确;
对于 ,若瑜伽不被安排在相邻的两天,则先排其他四项运动,共有 种不同的安排方法,再从 5 个空位里插入 2 个安排练习瑜伽，故共有 (种)不同的安排方法，故 正确.
8. 若 ，则下列正确的是( )
A.
B.
C. D.
【答案】AC对于 A，令 ，则 ，故 A 正确；
对于 BC,令 ,则 ,
令 ,则 ,
则 ,故 B 错误, C 正确;
对于 ,由 两边同时求导可得:
令 ,则 ,
所以 ,故 D 错误. 故选: AC
三、填空题(每小题 5 分，共 10 分)
9.某国际旅行社现有 11 名对外翻译人员，其中有 5 人只会英语，4 人只会法语，2 人既会英语又会法语，现从这 11 人中选出 4 人当英语翻译，4 人当法语翻译，则共有_____种不同的选法
【答案】 185解: 根据题意, 按 “2 人既会英语又会法语” 的参与情况分成三类.
① “2 人既会英语又会法语”不参加，这时有 种；
② “2 人既会英语又会法语” 中有一人入选，
这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能，因此有 种；
③ “2 人既会英语又会法语”中两个均入选，
这时又分三种情况:两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种，
因此有 种.
综上分析,共可开出 种.
10. 已知 的展开式中，奇数项的二项式系数之和是 64，则 的展开式中， 的系数为_____ 答案 280 由题意,易得 ,所以 ,即 .
故 的展开式中含 的项为 . 所以 的系数为 280 .
四、解答题(共 23 分)
11. (10 分)如图，四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形， 平面 ， ， ， ， 分别为 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)因为 分别为 的中点，所以 ，
又因为 平面 平面 ,所以 平面 ,
同理 平面 平面 平面 ,所以平面 平面 , 又因为 平面 ,所以 平面 .
(2)因为 平面 ，底面 为正方形，
所以以 为坐标原点， 为基底建立空间直角坐标系，
所以 ,
,
设平面 的法向量为 ,由 所以
令 ,所以 ,设直线 与平面 所成的角为 ,
所以 ,所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
12. (13 分) 已知函数 ,在 处切线的斜率为 -2 .
(1)求 的值；(2)求 的极小值；(3)讨论方程 的实数解的个数.
【答案】(1) ，因为在 处切线的斜率为 -2，所以 ，则 .
(2) ,令 ,解得 或 ,
当 变化时, 变化情况如下:
(-∞,-2) -2 (-2,1) 1 (1,+∞)
+ 0 - 0 +
单调递增 13 单调递减 单调递增
故 的极小值为 .
(3)由(2)知， 在 上单调递增， 上单调递减，(1，+∞)上单调递增.
当 时, ; 当 时, ,图象如下图所示,数形结合可得:
当 或 时,方程 有 1 个实数解;
当 或 时,方程 有 2 个实数解
当 时,方程 有 3 个实数解.