2025-2026学年下学期辽宁名校联盟高三数学3月调研卷二试卷（含解析）

辽宁省名校联盟 2026 年高考模拟卷(调研卷) 数学(二)
本试卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟。
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题; 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目 要求的。
1. 已知 ,则复数 的虚部为
A. B. -2 C. -1 D. 1
2. 设全集 ,集合 ,则 的子集个数为
A. 4 B. 7 C. 8 D. 16
3. 在平面直角坐标系中,某动点 满足方程 ,则动点 的轨迹的离心率为
A. B. 2 C. D.
4. 点 的坐标为 是点 为函数 图象的对称中心的
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知定义在 上的偶函数 满足 ，当 时， ，则
A. -8 B. 6 C. 8 D. 10
6. 如图，一条东西走向且两岸平行的河流宽 1200 m，水流速度为向东 ，河南岸的 码头与河北岸的 码头的连线恰好与河的方向垂直， 码头在 码头的正东方向，且 ， 码头在 码头的正东方向，且 ，某小船从 码头顺流而下，到达 码头接了客人后前往 码头，当所用时间最少时，小船实际航行的速度为 ，则小船在静水中航行的速度大小为
A. B. C. D.
7. 已知圆 在圆 上,且 ,记 ,则 的最大值为
A. B. C. D.
8. 已知 ,若 ,则
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 已知正三棱柱 的各棱长均为 分别为棱 的中点， 为上底面 内一动点 (包括边界),则
A.
B. 平面
C. 平面
D. 三棱锥 的体积为定值
10. 如图,阴影部分是由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线所围成的封闭图形,因其形似四叶草,故其阴影边界曲线 称为四叶草曲线,记抛物线在每个象限内的交点分别为 . 已知这四条抛物线的焦点共圆,若开口向右的抛物线方程为 ,过点 作直线 与曲线 在第一、四象限内共相交于四个点,分别记最下方和最上方的交点为 ,且 ,则
A. 开口向下的抛物线的焦点坐标为
B. 曲线 上两点间距离的最大值为
C. 点 不在曲线 的内部
D. 直线 的斜率为
11. 在 中,内角 所对的边分别为 ,且 ,则
A.
B. 角 的取值范围为
C. 的取值范围为 D. 的最大值为
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 若直线 是曲线 的切线，则 _____.
13. 已知正项等比数列 的前 项和为 是关于 的方程 的两个不等实根, 则 的最小值为_____.
14. 在某次“一带一路”知识竞赛中, 主办方为所有参赛者设计了一个抽奖活动: 在抽奖箱中放置 3 个黑球和 7 个黄球 (除颜色外完全相同), 采用不放回揽球的方式, 每位参赛者摸 3 次球, 每次摸 1 个球,第 次摸球,若摸到黑球,则得 元奖金,若摸到黄球,则没有奖金. 现甲参加了这次竞赛，记他获得的奖金为 元，则 _____ 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
人工智能技术(简称 AI 技术)已成为引领世界新一轮科技革命和产业改革的战略性技术，并迅速在各行各业中得到应用和推广，教育行业也不例外. 某市教体局为调查本市中学教师使用 AI 技术辅助教学的情况. 随机抽取了该市 120 名中学教师，统计了他们一个月内使用 AI 技术帮助制作课件的情况，并将一周内使用 AI 技术帮助制作课件的节次不少于 4 次的认定为喜欢使用 AI 技术，否则认定为不喜欢使用 AI 技术，经统计得到如下列联表.
年龄 是否喜欢使用 AI 技术 合计
是 否
不超过 45 岁 46 14 60
超过 45 岁 32 28 60
合计 78 42 120
(1)依据小概率值 的独立性检验，能否认为该市中学教师是否喜欢使用 AI 技术与年龄有关；
(2)将频率视为概率，现从所抽取的 120 名中学教师中随机抽取一人，在抽中喜欢使用 AI 技术的教师的条件下, 求此人年龄超过 45 岁的概率.
附: ，其中 .
0.1 0.01 0.001
。 2.706 6.635 10.828
16. (15分)
已知数列 的前 项和为 ,且 .
(1)证明:数列 为等差数列；
(2)记 ，求数列 的前 项和 .
17. (15 分)
如图，在三棱锥 中， 是等腰直角三角形，且斜边 ， 在棱 上， ， .
(1)求证:平面 平面 ；
(2)若点 均在球 的表面上.
(i)求球 的表面积；
(ii) 求直线 与直线 所成角的余弦值.
18. (17分)
已知平面上一动圆 与圆 相内切 (其中圆 的半径小于圆 的半径),且圆 经过点 关于原点的对称点 ,记圆心 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)记 与 轴的两个交点分别为 ， ( 在 的右侧)，直线 与 相交于点 ， (异于点 ,且直线 的斜率恰好是直线 的斜率的 7 倍.
(i) 直线 是否过一定点 若过定点,求出该定点的坐标; 若不过定点,请说明理由;
(ii) 求四边形 的面积 的最大值.
19. (17分)
已知函数 ,记 的导函数为 .
(1)当 时，求 的最小值；
(2)若 在区间 内单调递增，求 的取值范围；
(3)若 ， ，证明: .
数学(二)
一、选择题
1. B 因为 ,所以 ,其虚部为 -2 . 故选 B 项.
2. C 由题意得 , ,所以 , 6),则 中的元素个数为 3,其子集个数为 . 故选 C 项.
3. A 易知 表示点 到点 和点 的距离之差的绝对值等于 6,又 ,所以点 的轨迹是以点 和点 为焦点的双曲线,其中焦距 ,实轴长 ,所以动点 的轨迹的离心率 . 故选 A 项.
4. B 在 中,令 ,解得 , 所以 图象的对称中心为 ,所以点 的坐标为 是点 为函数 图象的对称中心的充分不必要条件. 故选 B 项.
5. C 由 ,得 ,所以 ,所以 是以 6 为一个周期的周期函数. 当 时, ,且 是定义在 上的偶函数,则 . 故选 C 项.
6. D 以 为坐标原点,以向东的方向为 轴正方向,以垂直对岸向北的方向为 轴正方向,建立如图所示的直角坐标系,
小船从 码头经 航行到 码头的最短路径要求由 直线航行到 ,而在 处的合速度方向由 指向 . 设小船在静水中的速度为 ，水流速度为向东 ，即 ,水流速度与静水中船速的合速度 ,由题意可知合速度方向与向量 同向,且大小为 . 设合速度 ,则 , 解得 ,所以合速度 ,则 所以 ,则小船在静水中航行的速度大小为 . 故选 D 项.
7. D 由题意得 ,如图,
圆 ,圆心 ,设线段 的中点为 ,得 ,所以点 的轨迹是以 为圆心, 为半径的圆,即 可看作是点 到直线 的距离,同理 可看作是点 到直线 的距离,所以 可看作是点 到直线 的距离的 2 倍,又点 到直线 的距离的最大值为 ,所以 ,即 ,所以 . 故选 D 项.
8. A 由已知得 ,由 ,得 ,两边同时取以 7 为底的对数可得 ,即 ,又 ,两边同时取以 7 为底的对数可得 ,所以 ,所以 ,由 ,得 . 由 ,得 ,故 . 故选 A 项.
二、选择题
9. 因为 为等边三角形, 为 的中点,所以 ,又 平面 平面 ,所以 ,又 平面 ,所以 上平面 ,又 平面 ,所以 项正确; 在正方形 中,易证得 ,所以 ,所以 ,由 项得 ,又 平面 ，所以 平面 ， 项正确；因为直线 与直线 相交，所以 与平面 相交， 项错误； ,为定值, 项正确. 故选 ABD 项.
10. BD 对于 项,开口向右的抛物线方程为 ，焦点为 ，由对称性可知开口向下的抛物线方程为 ， 其焦点为 ,故 项错误; 联立 所以 ,根据对称性可得曲线 上两点间距离的最大值为 ,故 B 项正确:对于 项，由 项易知点 在曲线 的内部，故 项错误; 对于 D 项,如图. 过 分别作抛物线 的准线 的垂线,垂足分别为 ,过 作直线 的垂线,垂足为 ,所以 ,由 ,得 ,所以 ,即 ,所以直线 的斜率为 ,故 项正确. 故选 BD 项.
11. 对于 项,由 ,得 . ,由正弦定理得 ,即 ,即 ,故 项错误; 对于 项,在 中,由余弦定理得 ,当且仅当 时等号成立,又 ,所以 ,故 B 项正确; 对于 C 项,设 ,则 ,由
,即 ,故 C 项正确; 对于 D 项,由正弦定理得
,当且仅当 时等号成立,所以 的最大值为 ,故 D 项正确. 故选 BCD 项.
三、填空题
12.6 设 ,则 ,因为直线 是曲线 的切线，且直线的斜率为 -1，所以令 ,解得 ,将 代入切线方程 ,得 ,所以切点坐标为 , ,所以 ,解得 .
13. -5 由已知得 ,由等比数列的性质可得 成等比数列,则 , 因为 ,所以 ,即
5，当且仅当 时取得最小值，最小值为-5 .
14.90 由题意得 的可能取值为 0, ，所以
四、解答题
15. 解: (1) 零假设为 : 是否喜欢使用 技术与年龄无关,
根据列联表中的数据计算可得 , (4 分)
根据小概率值 的独立性检验,推断 不成立，即认为该市中学教师是否喜欢使用 AI 技术与年龄有关，此推断犯错误的概率不超过 0.01 . (6 分)
(2)记事件 :所抽取的中学教师年龄超过 45 岁,事件 ; 所抽取的中学教师喜欢使用 AI 技术,
则 , (10 分)
故所求概率为 . (13 分)
16.(1)证明:由 ，得 (1 分)
即 ， (3 分)
整理得 ,
(4 分)
即 . (5 分)
又 , (6 分)
所以数列 是以 2 为首项,2 为公差的等差数列. (7 分)
(2)解:由(1)得 ,
(8 分)
所以 . (9 分)
当 时, , (10 分)
显然 也满足上式,所以 . (11 分)
(13 分)
所以 . (15 分)
17. ( 1 )证明:由已知得 ,
所以 , (1 分)
所以 . (2 分)
在 中,由余弦定理得 (3 分)
又 ,
所以 .
所以 , (4 分)
又 平面 , 所以 平面 . (5 分)
又 平面 ,
所以平面 平面 . (6 分)
(2)(i)解:由几何性质知球心 在过 中点 且与平面 垂直的直线上,
以 的中点 为坐标原点, 所在直线为 轴, 所在直线为 轴,过点 平行于 的直线为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则 ,设 , 球 的半径为 ,由 ,得 ,解得 ,
故 ,所以 , (9 分)
故球 的表面积 . (10 分) (ii) 解: 由 (i) 知 ,
所以 . (12 分)
记直线 与直线 所成角为 ,
所以
, 故直线 与直线 所成角的余弦值为 . (15 分)
18. 解:(1)将圆 的方程整理得 , (1 分)
设动圆 的半径为 ,由圆 与动圆 相内切得 ,
所以 , (2 分)
所以圆心 的轨迹是焦点在 轴上的椭圆,且 ,即 ,
(3 分)
所以 ,
故 的方程为 . (4 分)
(2)(i)由题意得 ，设 ,直线 的斜率分别为 ,则 ,
若直线 的斜率为 0,则点 关于 轴对称,必有 ,不合题意,
所以直线 的斜率必不为 0, (5 分)
设其方程为 ,
联立
整理得 ,
所以 ,
且 (7 分)
因为点 在 上,所以 , 设直线 的斜率为 ,
所以 ,
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所以 ,即 . (8 分)
因为
, (10 分)
所以 , (11 分)
此时 ,
故直线 恒过定点 . (13 分)
(ii) 由 (i) 得 (14 分)
所以
当且仅当 ,即 时等号成立, 所以 的最大值为 . (17 分)
19.(1)解:当 时， ，
所以 , (1 分)
记 ,
则 。
所以 在 上单调递增, (2 分)
又 .
所以当 时, 单调递减,当 时, , 单调递增, (4 分)
所以当 时, 取得唯一的极小值, 且为最小值,
所以 . (5 分)
(2)解: ,
因为 在区间 内单调递增,
所以 在区间 内恒成立.
令 ,
则 , (6 分)
当 时, ,
令 ,
则 ,
所以 在区间 内单调递增,
即 , (7 分)
所以 在区间 内恒成立,符合题意; (8 分)
当 时, ,且 在区间 内为单调递增函数,
所以存在唯一 ,使得 ,
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所以当 时, 在区间 内单调递减,
即 ,不符合题意.
综上, 的取值范围为 . (11 分)
(3)证明: ,
当 时,令 , ,则 ,所以 是增函数，若满足 ,则 . (12 分)
不妨设 ,由
得 .
由( 2 )知 ，
即 ,
所以 ,即 (13 分)
设 ,
则 在区间 内单调递增, 又 ,
所以当 时, ,
即 , (14 分)
所以当 时, ,
即 .
又 ,
所以 , 则 , (15 分)
结合 式可得 . 即 ,
即 ,
移项即得 , 即命题得证. (17 分)