2025-2026学年下学期湖南衡阳高一数学3月开学考试卷（含解析）

高一数学
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容:人教 A 版必修第一册。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.
1. 在下列各角中,与 是同一象限角的是
A. 20° B. 100° C. 200° D.
2. 若集合 ,则
A. B. C. D.
3. 若 ,则
A. B. C. D.
4. 已知 ,则下列不等式一定成立的是
A. B.
C. D.
5. 函数 的部分图象可能是
A
B
C
D
6. 若函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围为
A. B. C. D.
7. 已知 是定义在 上的函数, ,且 ,则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形 和 构成的面积为 的十字形地域. 计划在正方形 MNPQ 上建一座花坛,造价为 4200 元 ；在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地坪，造价为 210 元/㎡；在四个空角 (图中四个三角形) 上铺草坪,造价为 80 元 . 设总造价为 (单位: 元),则当总造价 最小时, 的长度为
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列各数为整数的是
A. B. C. D.
10. 已知函数 的图象关于点 中心对称,则
A. B. 的最小正周期为
C. 为偶函数 D. 当 时,
11. 已知函数 ,且 ,则
A. B. C. D.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 若一个扇形的圆心角的弧度数为 ，弧长为 10，则该扇形的半径为_____▲_____.
13. 函数 是 上的单调函数，则 的取值范围是_____▲_____.
14. 已知函数 ,若 ,则 的最小值为_____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分)
(1)若 ，求 的值；
(2)计算: .
16. (15 分)
已知函数 .
(1)求 的定义域；
(2)求函数 的解析式;
(3)证明:存在常数 ，使得 .
17. (15 分)
已知函数 .
(1)求 的最小值.
(2)若 的最小值为 4，且 ，证明: .
(3)若 ，讨论 的单调性与值域.
18. (17 分)
已知函数 .
(1)求 的最小值；
(2)若 , , ,求 的取值范围;
(3)先将 图象上每个点的横坐标变为原来的 4 倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，若 在 上有最大值，无最小值,求 的取值范围.
19. (17 分)
已知函数 .
(1)判断 的奇偶性,并说明理由;
(2)讨论函数 零点的个数；
(3)求不等式 的解集.
高一数学参考答案
1. 与 都是第三象限角.
2. 因为 ,所以 .
3. .
4. C 当 时, ,则 均不符合题意. 因为 ,所以 ,所以 , 符合题意. 当 时, , D 不符合题意.
5. A 因为 ,所以 ,所以 的图象关于原点中心对称,排除 , D. 当 时, ,排除 B. 故选 A.
6. D 因为 ,所以 . 令 ,由 ,得 ,则 在 上单调递减，又 在 上单调递减，所以 ，即 . 综上, 的取值范围为 .
7. A 由 ,可得 . 由 ,可得 ,则 ,所以 ,所以 ,则 的周期为 4,所以 ,又 ,所以 . 故 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件.
8. A 设 ,由题意得 . 由 ,得 ,
则 元,当且仅当 ,即 时,等号成立. 故当 时, 取得最小值,且 元.
9. BCD ,
10. 由题意可得 ,因为 ,所以 ,
所以 的最小正周期为 , A 错误, B 正确.
为偶函数, 正确.
当 时, ,则 错误.
11. 由 ,得 ,作出 与 的大致图象,如图所示,则 ,所以 ,因为函数 在 上单调递增,所以 ,即 0 , A 正确. 因为 ,所以 , B 正确. ,则 错误. ,所以 正确.
12.6 设该扇形的半径为 ,则 ,解得 .
13. 由题意可知 是 上的增函数,则 解得 .
14. . 因为 ,所以 的值域为 . 由题意可得 ,所以 . 因为 在 上单调递减,且 ,所以要使得 ,则 ,即 的最小值为 .
15. 解: (1) 原式 4 分 . 6 分 (2)原式 9 分 11 分 . 13 分
16.(1)解:由 3 分
得 且 , 5 分
所以 的定义域为 . 6 分
(2)解:设 ，则 ， 8 分
所以 . 9 分
(3)证明:因为 , 11 分
, 13 分
所以 . 14 分
故存在常数 ,使得 . 15 分
17.(1)解:因为 ， ， 1 分
所以 , 3 分
当且仅当 时,等号成立, 4 分
所以 的最小值为 . 5 分
(2)证明:若 的最小值为 4，则 ，得 ， 6 分
因为 ,所以 . 7 分
因为 , 8 分
且 为增函数,所以 ,即 . 9 分
(3)解:当 时， .
当 时, 均为增函数,且 , 10 分
所以根据复合函数的单调性可知 在 上单调递增, 11 分
且 ,则 的值域为 . 12 分
当 时, 均为减函数,且 , 13 分
所以根据复合函数的单调性可知 在 上单调递增, 14 分
且 ,则 的值域为 . 15 分
18. 解: (1) 因为 1 分
, 3 分
所以 . 4 分
(2)设函数 ，当 时， ， 5 分所以 在 上的最大值为 ,依题意可得 . 6 分当 时, ,不符合题意. 7 分
当 时, 为增函数,则 , 8 分
则 ,则 ,又 ,所以 . 9 分综上, 的取值范围为 . 10 分
(3)依题意得 . 12 分
由 ,得 . 13 分
因为 ,所以 , 14 分
因为 在 上有最大值,无最小值,所以 16 分
解得 . 17 分
19. 解: (1) 是奇函数. 1 分
理由如下:
因为 , 2 分且 的定义域为 ,所以 是奇函数. 3 分
(2) 4 分
当 时, ,当 时, , 5 分
作出 的大致图象,如图所示. 6 分
由 ,得 .
当 时,方程 只有 1 个实数解,则 零点的个数为 1 ; 7 分
当 时,方程 有 2 个不相等的实数解,则 零点的个数为 2 ; 8 分
当 时,方程 有 3 个不相等的实数解,则 零点的个数为 3 . 9 分
(3) 设 ，则 ， 10 分
则不等式 等价于 ,即 . 11 分
当 时, ,由单调性可得 ,即 . 12 分
当 时, ,由单调性可得 ,即 13 分
当 时, 是增函数, 14 分
则 ,
此时,不等式 无解. 15 分
综上, , 16 分
则 ,故不等式 的解集为 . 17 分