陕西省高三下学期数学3月适应性检测二试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 陕西省高三下学期数学3月适应性检测二试卷（含解析） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 212.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-16 00:00:00 | ||
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文档简介
2026 年高考适应性检测(二) 数 学
注意事项:
1. 答卷前. 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并将自己的姓名、准考证号座位号填写在本试卷上。
2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑: 如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。涂写在本试卷上无效。
3. 作答非选择题时,将答案书写在答题卡上,书写在本试卷上无效。
4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一个选项是 正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知复数 满足 (i 是虚数单位),则 的虚部是( )
A. -1 B. -i C. 1 D.
3. 为研究某型号新能源汽车的耗电量(单位: )情况，随机调查得到了 1000 个该型号新能源汽车样本,据统计该型号新能源汽车的耗电量 ,若 0.7，则该型号新能源汽车样本中耗电量大于 14kW·h/100 km 的汽车大约有( )
A. 700 辆 B. 350 辆 C. 300 辆 D. 150 辆
4. 记 为等比数列 的前 项和,若 ,则 ( )
A. 8 B. 16 C. 32 D. 54
5. 已知 ,则 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6. 双曲线 的一条渐近线被圆 截得的弦长为 ( )
A. B. 6
C. D. 3
7. 已知平面向量 满足 ，且 . 若向量 满足 的最大值为( )
A. B. C. 2 D. 1
8. 已知函数 的零点分别为 ,则 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多选题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得 3 分, 有选错的得 0 分.
9. 函数 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象,下列说法中正确的有( )
A. 与 有相同的最小值 B. 与 有相同的最小正周期
C. 与 有相同的对称轴 D. 与 都在 上单调递增
10. 已知函数 ，其中 . 则下列说法正确的是( )
4. 函数 必有零点
B. 若 ，则 的对称中心为
C. 若 有两个极值点,则
D. 存在实数 ,使得 在 上单调递减
(第 11 题图)
11. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过点 做斜率为 的直线与抛物线 交于 的两点，过 的中点 作 轴的垂线和抛物线相交于点 ,和准线 相交于点 . 则()
A. 准线 的方程为
B. 抛物线 过点 的切线与 所在直线平行
C.
D. 存在 值，使得 的面积值为
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 曲线 经过坐标原点的两条切线方程分别为_____，_____，_____.
13. 某量子通信实验室部署甲、乙两台加密机独立生成密钥，每台加密机各生成 3 次. 甲每次生成成功的概率为 ，失败概率为 ；乙每次生成成功的概率为 ，失败概率为 . 记甲成功生成密钥的次数为 ，乙成功生成密钥的次数为 ，则 的值为_____.
14. 在一个长 ,宽 ,高 的房间内点 处安装一个 路由器. 假设在点 处,信号强度 ,其中 是路由器天线的主方向向量 (垂直向下). 只有当 (即信号向下传播) 时才有信号. 则该房间内地面上信号强度的最大值是_____. (说明: 四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分)已知椭圆 的离心率 . 以椭圆 的四个顶点为顶点的四边形面积为 6 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 为椭圆 的上顶点， 为椭圆上任意一点，求 的最大值及此时点 坐标.
16. (15分)在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ，且 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的面积.
17. (15 分) 如图，在平行六面体 中，底面 是边长为 2 的正方形、 变 ，且 .
(1)求证: 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
(第 17 题图)
18.(17分)甲、乙两入进行乒乓球比赛，采用五局三胜制(先胜三局者获胜)，每局比赛甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ；各局结果相互独立. 比赛计分规则如下:
若一方以 3:0 或 3:1 获胜. 则胜者得 3 分, 败者得 0 分;
若一方以 3:2获胜,则胜者得 2 分,败者得 1 分.
(1)求甲获得 3 分的概率；
(2)若 ，设甲的总得分为随机变量 . 求 的分布列和数学期望 ；
(3)已知甲在比赛中的总得分 的分布列由 决定. 定义意外指数为 .
① 求 的表达式，并比较 和 的大小关系；
② 求 在 上的最大值及取得最大值时的 值.
19. (17分)已知函数 ，其中 ， 为自然对数的底数.
(1)求函数 的单调区间，
(2)讨论函数 的零点个数；
(3)证明:对于任意 ，函数 的图象上两点 和 满足
2026 年高考适应性检测(二) 数学参考答案
一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确 的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.【答案】B
.
2.【答案】A
的虚部是 -1 .
3.【答案】D
因为 ,所以该型号新能源汽车样本中耗电量大于 的汽车大约有 辆，故正确选项为 D.
4.【答案】B
由题意知公比 ,由 得 ,化简得 ,解得 , 从而 .
5.【答案】D
①
由①②解得 ，所以 .
6.【答案】A
由题意得双曲线的一条渐近线方程为 ,即 ,圆 的圆心 ,半径为 4,圆心 到渐近线 的距离为 ,所以截得的弦长为
7.【答案】C
由 ,且 ,可得 . 由 可得 ,从而 ,故 ,当且仅当 同向时,取等号, 故选项 C 正确.
也可以设 ,利用坐标法求解.
第 8 题答图
8.【答案】B
函数 的零点为函数 和 图象交点 的横坐标, 的零点为函数 和 图象交点 的横坐标,因为函数 和 互为反函数,其图象关于直线 对称,且直线 与 垂直,所以其交点 恰是 的中点,从而 .
二、多选题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得 3 分, 有选错的得 0 分.
9.【答案】ABD
由题意得 ,而函数左右平移不改变函数的最值和周期，故 、 是正确选项；
平移的长度不是半个周期的整数倍，故两个函数的对称轴不会重合，故选项 C 不正确；
由 ,可得 ,由复合函数单调性可得函数 与 均为增函数,故选项 正确.
10.【答案】
三次函数在 上至少有一个零点,因为当 时 ,当 时 ,由连续性知至少有一零点,故选项 正确.
三次函数 的对称中心横坐标满足 . 当 时, , 由 得 ,又 ,故 的对称中心为 ,选项 正确.
由 ,若 有两个极值点 有两个不相等的实根 ,故选项 C 不正确.
由 可知 不能恒小于 0,所以 不能单调递减,故选项 不正确.
11.【答案】BCD
由抛物线方程 知 ,准线 方程为 ,故选项 不正确; 由题意知 ,代入 得 ,设 ,则 ,故抛物线 过点 的切线斜率 ,从而抛物线 过点 的切线与直线 平行,故选项 正确.
由 得 ,所以 ,则 ,故选项 正确.
,则 ,解得 ,故选项 正确.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12.【答案】 .
当 时， ，在点 处的切线方程为 . 由该切线经过原点， 则 ,解得 ,此时切线方程为 .
当 时, ,在点 处的切线方程为 . 由该切线经过原点,则 ,解得 . 此时切线方程为 .
13.【答案】 .
.
14.【答案】16.
由题意得 ,故 , ,所以 .
从而 .
当 时, 有最大值 .
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (1)由题意得， ,又 ,联立解得 . 所以，椭圆 的方程为: . (5 分)
(2) ,设 在椭圆上,则 且 ,则
(7 分)
记 .
是开口向下的二次函数,对称轴为 , (9 分) 故当 时, 取得最大值 ,
所以 的最大值为 .
把 代入 可得 ,从而点 的坐标为 . (13 分)
16. (1)已知 ，由正弦定理得 ， (1 分) 由于 ,故 ,
故可得 (2 分)
整理得 , (4 分)
因为 ,所以 ,两边同除以 得 , (5 分)
即 , (6 分)
又因为 ,所以 . (7 分)
(2)由 及正弦定理知 ，由(1)中 ，得 . (8 分)
因 ,故 为锐角, . (9 分)
因 ,故
. (11 分)
由正弦定理 ,得 . (13 分)
则 .
从而 的面积 . (15 分)
17. (1)以 为坐标原点, 方向为 . 轴， 轴正方向， 轴为经过点 且垂直于底面向上方向,建立空间直角坐标系,则 . 由题意,
. 不妨设 ,则
,得 .
,得 .
又 ,联合可得 .
从而 ,又 . (3 分)
所以 ,所以 . (5 分)
由正方形 知 ,且 ,
所以 平面 . (7 分)
(2)由题意得 ,
设平面 的法向量为 ,
则 可得
取 ,则 ,从而 . (10 分)
由 (1) 知 平面 ,则平面 的一个法向量为 . (11 分) 设平面 与平面 夹角为 ,则
. (15 分)
18.(1)甲获得 3 分，当且仅当甲以 3:0或 3:1 获胜.
若甲以 3:0 获胜,则甲获胜的概率为 ;
若甲以 3:1 获胜: 则前 3 局甲胜 2 局、负 1 局、且第 4 局甲胜,从而甲获胜的概率为 p) ;
因此甲获得 3 分的概率为 . (5 分)
(2)当 ，甲的得分 可能取值为 0,1,2,3,
(6 分)
(7 分)
(8 分)
(9 分)
的分布列为
0 1 2 3
5 16 3 -16 5 16
所以 . (11 分)
(3)①由题意，
又 ,
所以 . (14 分)
② 设 ，则 ，从而 在 上单调递增，
故当 ,即 时, . (17 分)
19. ( 1 )函数 的定义域为 R，求导得 (1 分)
由 得 (3 分)
当 时, ,故 单调递减;
当 时, ,故 单调递增.
综上, 的递减区间为 ,递增区间为 . (5 分)
(2)由(1)得 . (6 分)
当 时, ; 当 时, ;
当 时,极小值 ,此时 ,无零点. (7 分)
当 时,极小值 ,此时 在 处取得最小值 0,仅有 1 个
零点 . (9 分)
当 时,极小值 ,由 时 时, ; 知 在 和 各有一个零点,共 2 个零点. (11 分)
综上所述，当 时，函数 尤零点；当 时，函数 有 1 个零点；当 时，函数 有 2 个零点.
(3) 因为 ,
(12 分)
要证明 ,转化为证明 .
不妨设 ,令 ,则 ,代入上式,即证明 .
进一步化简,即证明
所以 . (14 分)
② 设 ，则 ，从而 在 上单调递增，
故当 ,即 时, . (17 分)
19. ( 1 )函数 的定义域为 R，求导得 (1 分)
由 得 (3 分)
当 时, ,故 单调递减;
当 时, ,故 单调递增.
综上, 的递减区间为 ,递增区间为 . (5 分)
(2)由(1)得 . (6 分)
当 时, ; 当 时, ;
当 时,极小值 ,此时 ,无零点. (7 分)
当 时,极小值 ,此时 在 处取得最小值 0,仅有 1 个
零点 . (9 分)
当 时,极小值 ,由 时 时, ; 知 在 和 各有一个零点,共 2 个零点. (11 分)
综上所述,当 时,函数 尤零点; 当 时,函数 有 1 个零点; 当 时. 函数 有 2 个零点.
(3) 因为 ,
(12 分)
要证明 ,转化为证明 .
不妨设 ,令 ,则 ,代入上式,即证明 .
进一步化简,即证明
转化为证明 . (13 分)
令 ,则
下面先证明
令 ,则 ,令 ,得
当 时, ,所以 单调递减;
当 时, ,所以 单调递增;
,所以 .
由 ,可得 ,又 ,
从而 ,故 在 上单调递增, (16 分)
又因为 ,从而 对所有的 成立.
因此, ,即 .
从而对于任意 ,函数 的图象上两点 和 满足 (17 分)
注意事项:
1. 答卷前. 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并将自己的姓名、准考证号座位号填写在本试卷上。
2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑: 如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。涂写在本试卷上无效。
3. 作答非选择题时,将答案书写在答题卡上,书写在本试卷上无效。
4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一个选项是 正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知复数 满足 (i 是虚数单位),则 的虚部是( )
A. -1 B. -i C. 1 D.
3. 为研究某型号新能源汽车的耗电量(单位: )情况，随机调查得到了 1000 个该型号新能源汽车样本,据统计该型号新能源汽车的耗电量 ,若 0.7，则该型号新能源汽车样本中耗电量大于 14kW·h/100 km 的汽车大约有( )
A. 700 辆 B. 350 辆 C. 300 辆 D. 150 辆
4. 记 为等比数列 的前 项和,若 ,则 ( )
A. 8 B. 16 C. 32 D. 54
5. 已知 ,则 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6. 双曲线 的一条渐近线被圆 截得的弦长为 ( )
A. B. 6
C. D. 3
7. 已知平面向量 满足 ，且 . 若向量 满足 的最大值为( )
A. B. C. 2 D. 1
8. 已知函数 的零点分别为 ,则 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多选题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得 3 分, 有选错的得 0 分.
9. 函数 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象,下列说法中正确的有( )
A. 与 有相同的最小值 B. 与 有相同的最小正周期
C. 与 有相同的对称轴 D. 与 都在 上单调递增
10. 已知函数 ，其中 . 则下列说法正确的是( )
4. 函数 必有零点
B. 若 ，则 的对称中心为
C. 若 有两个极值点,则
D. 存在实数 ,使得 在 上单调递减
(第 11 题图)
11. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过点 做斜率为 的直线与抛物线 交于 的两点，过 的中点 作 轴的垂线和抛物线相交于点 ,和准线 相交于点 . 则()
A. 准线 的方程为
B. 抛物线 过点 的切线与 所在直线平行
C.
D. 存在 值，使得 的面积值为
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 曲线 经过坐标原点的两条切线方程分别为_____，_____，_____.
13. 某量子通信实验室部署甲、乙两台加密机独立生成密钥，每台加密机各生成 3 次. 甲每次生成成功的概率为 ，失败概率为 ；乙每次生成成功的概率为 ，失败概率为 . 记甲成功生成密钥的次数为 ，乙成功生成密钥的次数为 ，则 的值为_____.
14. 在一个长 ,宽 ,高 的房间内点 处安装一个 路由器. 假设在点 处,信号强度 ,其中 是路由器天线的主方向向量 (垂直向下). 只有当 (即信号向下传播) 时才有信号. 则该房间内地面上信号强度的最大值是_____. (说明: 四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分)已知椭圆 的离心率 . 以椭圆 的四个顶点为顶点的四边形面积为 6 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 为椭圆 的上顶点， 为椭圆上任意一点，求 的最大值及此时点 坐标.
16. (15分)在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ，且 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的面积.
17. (15 分) 如图，在平行六面体 中，底面 是边长为 2 的正方形、 变 ，且 .
(1)求证: 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
(第 17 题图)
18.(17分)甲、乙两入进行乒乓球比赛，采用五局三胜制(先胜三局者获胜)，每局比赛甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ；各局结果相互独立. 比赛计分规则如下:
若一方以 3:0 或 3:1 获胜. 则胜者得 3 分, 败者得 0 分;
若一方以 3:2获胜,则胜者得 2 分,败者得 1 分.
(1)求甲获得 3 分的概率；
(2)若 ，设甲的总得分为随机变量 . 求 的分布列和数学期望 ；
(3)已知甲在比赛中的总得分 的分布列由 决定. 定义意外指数为 .
① 求 的表达式，并比较 和 的大小关系；
② 求 在 上的最大值及取得最大值时的 值.
19. (17分)已知函数 ，其中 ， 为自然对数的底数.
(1)求函数 的单调区间，
(2)讨论函数 的零点个数；
(3)证明:对于任意 ，函数 的图象上两点 和 满足
2026 年高考适应性检测(二) 数学参考答案
一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确 的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.【答案】B
.
2.【答案】A
的虚部是 -1 .
3.【答案】D
因为 ,所以该型号新能源汽车样本中耗电量大于 的汽车大约有 辆，故正确选项为 D.
4.【答案】B
由题意知公比 ,由 得 ,化简得 ,解得 , 从而 .
5.【答案】D
①
由①②解得 ，所以 .
6.【答案】A
由题意得双曲线的一条渐近线方程为 ,即 ,圆 的圆心 ,半径为 4,圆心 到渐近线 的距离为 ,所以截得的弦长为
7.【答案】C
由 ,且 ,可得 . 由 可得 ,从而 ,故 ,当且仅当 同向时,取等号, 故选项 C 正确.
也可以设 ,利用坐标法求解.
第 8 题答图
8.【答案】B
函数 的零点为函数 和 图象交点 的横坐标, 的零点为函数 和 图象交点 的横坐标,因为函数 和 互为反函数,其图象关于直线 对称,且直线 与 垂直,所以其交点 恰是 的中点,从而 .
二、多选题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得 3 分, 有选错的得 0 分.
9.【答案】ABD
由题意得 ,而函数左右平移不改变函数的最值和周期，故 、 是正确选项；
平移的长度不是半个周期的整数倍，故两个函数的对称轴不会重合，故选项 C 不正确；
由 ,可得 ,由复合函数单调性可得函数 与 均为增函数,故选项 正确.
10.【答案】
三次函数在 上至少有一个零点,因为当 时 ,当 时 ,由连续性知至少有一零点,故选项 正确.
三次函数 的对称中心横坐标满足 . 当 时, , 由 得 ,又 ,故 的对称中心为 ,选项 正确.
由 ,若 有两个极值点 有两个不相等的实根 ,故选项 C 不正确.
由 可知 不能恒小于 0,所以 不能单调递减,故选项 不正确.
11.【答案】BCD
由抛物线方程 知 ,准线 方程为 ,故选项 不正确; 由题意知 ,代入 得 ,设 ,则 ,故抛物线 过点 的切线斜率 ,从而抛物线 过点 的切线与直线 平行,故选项 正确.
由 得 ,所以 ,则 ,故选项 正确.
,则 ,解得 ,故选项 正确.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12.【答案】 .
当 时， ，在点 处的切线方程为 . 由该切线经过原点， 则 ,解得 ,此时切线方程为 .
当 时, ,在点 处的切线方程为 . 由该切线经过原点,则 ,解得 . 此时切线方程为 .
13.【答案】 .
.
14.【答案】16.
由题意得 ,故 , ,所以 .
从而 .
当 时, 有最大值 .
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (1)由题意得， ,又 ,联立解得 . 所以，椭圆 的方程为: . (5 分)
(2) ,设 在椭圆上,则 且 ,则
(7 分)
记 .
是开口向下的二次函数,对称轴为 , (9 分) 故当 时, 取得最大值 ,
所以 的最大值为 .
把 代入 可得 ,从而点 的坐标为 . (13 分)
16. (1)已知 ，由正弦定理得 ， (1 分) 由于 ,故 ,
故可得 (2 分)
整理得 , (4 分)
因为 ,所以 ,两边同除以 得 , (5 分)
即 , (6 分)
又因为 ,所以 . (7 分)
(2)由 及正弦定理知 ，由(1)中 ，得 . (8 分)
因 ,故 为锐角, . (9 分)
因 ,故
. (11 分)
由正弦定理 ,得 . (13 分)
则 .
从而 的面积 . (15 分)
17. (1)以 为坐标原点, 方向为 . 轴， 轴正方向， 轴为经过点 且垂直于底面向上方向,建立空间直角坐标系,则 . 由题意,
. 不妨设 ,则
,得 .
,得 .
又 ,联合可得 .
从而 ,又 . (3 分)
所以 ,所以 . (5 分)
由正方形 知 ,且 ,
所以 平面 . (7 分)
(2)由题意得 ,
设平面 的法向量为 ,
则 可得
取 ,则 ,从而 . (10 分)
由 (1) 知 平面 ,则平面 的一个法向量为 . (11 分) 设平面 与平面 夹角为 ,则
. (15 分)
18.(1)甲获得 3 分，当且仅当甲以 3:0或 3:1 获胜.
若甲以 3:0 获胜,则甲获胜的概率为 ;
若甲以 3:1 获胜: 则前 3 局甲胜 2 局、负 1 局、且第 4 局甲胜,从而甲获胜的概率为 p) ;
因此甲获得 3 分的概率为 . (5 分)
(2)当 ，甲的得分 可能取值为 0,1,2,3,
(6 分)
(7 分)
(8 分)
(9 分)
的分布列为
0 1 2 3
5 16 3 -16 5 16
所以 . (11 分)
(3)①由题意，
又 ,
所以 . (14 分)
② 设 ，则 ，从而 在 上单调递增，
故当 ,即 时, . (17 分)
19. ( 1 )函数 的定义域为 R，求导得 (1 分)
由 得 (3 分)
当 时, ,故 单调递减;
当 时, ,故 单调递增.
综上, 的递减区间为 ,递增区间为 . (5 分)
(2)由(1)得 . (6 分)
当 时, ; 当 时, ;
当 时,极小值 ,此时 ,无零点. (7 分)
当 时,极小值 ,此时 在 处取得最小值 0,仅有 1 个
零点 . (9 分)
当 时,极小值 ,由 时 时, ; 知 在 和 各有一个零点,共 2 个零点. (11 分)
综上所述，当 时，函数 尤零点；当 时，函数 有 1 个零点；当 时，函数 有 2 个零点.
(3) 因为 ,
(12 分)
要证明 ,转化为证明 .
不妨设 ,令 ,则 ,代入上式,即证明 .
进一步化简,即证明
所以 . (14 分)
② 设 ，则 ，从而 在 上单调递增，
故当 ,即 时, . (17 分)
19. ( 1 )函数 的定义域为 R，求导得 (1 分)
由 得 (3 分)
当 时, ,故 单调递减;
当 时, ,故 单调递增.
综上, 的递减区间为 ,递增区间为 . (5 分)
(2)由(1)得 . (6 分)
当 时, ; 当 时, ;
当 时,极小值 ,此时 ,无零点. (7 分)
当 时,极小值 ,此时 在 处取得最小值 0,仅有 1 个
零点 . (9 分)
当 时,极小值 ,由 时 时, ; 知 在 和 各有一个零点,共 2 个零点. (11 分)
综上所述,当 时,函数 尤零点; 当 时,函数 有 1 个零点; 当 时. 函数 有 2 个零点.
(3) 因为 ,
(12 分)
要证明 ,转化为证明 .
不妨设 ,令 ,则 ,代入上式,即证明 .
进一步化简,即证明
转化为证明 . (13 分)
令 ,则
下面先证明
令 ,则 ,令 ,得
当 时, ,所以 单调递减;
当 时, ,所以 单调递增;
,所以 .
由 ,可得 ,又 ,
从而 ,故 在 上单调递增, (16 分)
又因为 ,从而 对所有的 成立.
因此, ,即 .
从而对于任意 ,函数 的图象上两点 和 满足 (17 分)
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