2025-2026学年下学期福建省厦门双十中学高一数学3月周考1试卷（含解析）

厦门双十中学 2025-2026 学年第二学期周考 01 高一数学试题
(本试卷共 4 页，考试时间 120 分钟，总分 150 分)
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目 要求的.
1. 已知 ，且 与 的夹角为 ，则 )
A. 1 B. -1 C. D.
2. 在梯形 中， ，点 在对角线 上，且 ，则 ( )
A. B C. D.
3. 在 中,角 的对边分别为 ,若 ,则 ( )
A. B. c. D. 或
4. 已知非零向量 满足 ，则 角的余弦值为( )
A. B. c. D.
5. 已知 ,则 ( )
A. B. c. D.
6. 如图，设 ，线段 与 交于点 ，且 ，通过计算得到: ，则 的最小值为( )
A. 5 B. 9 c. D.
7. 已知圆 的半径为 内接于此圆,且 ,则 的取值范围是 ( ).
A. B. C. D.
8. 已知平面向量 ，且 . 已知向量 与 所成的角为 ，且 对任意实数 恒成立,则 的最小值为( )
A. B. C. D. 4
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全 部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 给出下列命题, 其中正确的选项有 ( )
A. 已知 ,则
B. 若非零向量 满足 ，则
C. 若 是 的重心，则点 满足条件
D. 若 是等边三角形，则
10. 已知单位向量 满足 则下列结论正确的是 ( )
A. B.
C. D. 在 上的投影向量为
11. 在 中,角 所对的边分别为 ,且 是 的中点，则 ( )
A.
B. 的面积为3√3
C.
D.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知 ，且 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是_____.
13. 中,内角 的对边分别为 ,若 ,则 _____,
14. 平面几何中的“相交弦定理”是指: 圆内的两条相交弦, 被交点分成的两条线段长的积相等. 如图，已知 是圆 内的定点， 为经过点 ， 的直径，且 ，若 ，则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
已知平面向量 ，且 ，
(1)求 在 方向上的投影向量；
(2) 求 与 的夹角.
16. (15分)
在 中，内角 所对的边分别为 ， 的外接圆半径为 .
(1)求A；
(2)已知 ， 是边 的中点，且 ，求 的长.
17. (15分)
如图所示，在 中， 是边 的中点， 在边 上， 与 交于点 .
(1)以 为基底表示 ；
(2)若 ，求 的值；
(3)若 ,求 的值.
18.(17分)
已知 的内角 的对边分别为 ，且 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 边上的高的最大值.
(3)若 的垂心为 ( 在 的内部)，直线 与 交于点 ，且 ，当 最大时,求 .
19. (17分)
如图，设 ，且 ，当 时，定义平面坐标系为 的斜坐标系. 在 的斜坐标系中， 任意一点 的斜坐标这样定义: 设 分别为 正方向同向的单位向量,若向量 , 记向量 . 在 的斜坐标系中.
(1)若向量 ，求 .
(2) 已知向量 ，证明: .
(3)若向量 的斜坐标分别为 和 ，设函数 ，
①证明: 有且只有一个零点 .
②比较 与 的大小，并说明理由. (参考数据: , )
厦门双十中学 2025-2026 学年第二学期周考 01 高一数学试题参考解答
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目 要求的.
1.【答案】B 2.【答案】C 3.【答案】A 4.【答案】D
5.【答案】C 6.【答案】D 7.【答案】A 8.【答案】B
1.【答案】B .
2.【答案】C根据题意，作图如下所示:
由题意得， . 故选:C.
3.【答案】 在 中，由 ，有 ，所以 .
又 ，故 ，所以 .
4.【答案】D因为 ,所以 ,则 , 所以 .
5.【答案】C由 . 又 . 所以 .
6.【答案】D由 三点共线,得 ,即 , 所以 ,
当且仅当 ,即 时取等号.
故最小值为 .
7.【答案】A 以 为坐标原点 轴，建立坐标系，如图，
则 ，设 ，
则 ,
8.【答案】B平方去绝对值号,由 ,则 , 根据向量 与 的条件可得 ,化简可得 ,
令 ，由于函数开口向上，所以需要满足 ,
所以 . 观察所求式子内部,两者相减可将 约掉,所以可用向量的三角不等式求解,
即 ,又 ,
则 的最小值为 .
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全 部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9.【答案】BC 10.【答案】ABD 11.【答案】ACD
9.【答案】BC对于选项 A，已知 ， ，则 ，故选项 A 错误；
对于选项 B，已知非零向量 满足 ，
则 ，所以 ，则 ，故选项 B 正确；
对于选项 C，已知 是 的重心，设 为 的中点，
则 ，则 ，故选项 C 正确；
对于选项 D，已知 是等边三角形，则 ，故选项 D 错误. 故选项:BC.
10.【答案】ABD对于 A，由 ，得 ，即 ，解得 ， 则 ，而 ，因此 ， 正确；
对于 B，由 ，得 ，B 正确；
对于 错误:
对于 在 上的投影向量为 正确.
11.【答案】 对于 ，已知 ，所以 ， 也即 ，所以可得 ，又 ，故 ，故 A 正确； 对于 ，又由正弦定理 ，可得 ， 所以 ,又 ,所以 ,所以 ,也即 ,又 , 解得 ，所以 ，故 错误；
对于 ，因为 ，所以 ，
又 ，当且仅当 时取等号，故 ，也即 ，故 C 正确；
对于 是 中点，所以 ，因为 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，所以 ，故 D 正确. 故选: ACD.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.【答案】 且 13.【答案】2 14.【答案】12
12.【答案】 且 因为 ,所以 ,
因为 与 的夹角为锐角,所以 ,且 与 不共线,
所以 ,且 ,解得 且 . 故答案为: 且 .
13.【答案】 2 , , 是 的内角， ， ， ， . 故答案为:2
14.【答案】 12 ，
,
,
,
. 故答案为: 12.
四、解答题: 本题共 5 小题、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、
15. (13分)
(1) , ,解得 . 2 分 . 4 分 . 所以 在 方向上的投影向量为 0 . 6 分
(2)山(1)如， ， ， 8 分 . 设 的夹角为 ,则: 11 分
; 即向量 与向量 的夹角为 . 13 分
16.(15分)
(1)由正弦定理可得 ， 1 分
所以由 可得 ,
又因为 ,所以 ,
因此可得 ,即 ,
又 ，所以 ，【未交代扣一分】因此 ，
又 ，【未交代扣一分】可得 ； 6 分
(2)如下图所示:由(1)中 以及 ，可得 ，
9 分
因为 是边 的中点，所以 ，
即 ,可得 ,
由余弦定理可得
又已知 ,所以 , 11 分
所以 ,可得
即 的长为 . 13 分
17.(15分)
(1) . 3 分
(2)连接 ，则 ，
因为 ，所以 ，
因为 三点共线， 三点共线，
9 分
所以 ,解得 .
(3)设 ， ，则 ，
,
所以 ，解得 ， 12 分
所以 ,
,
又因为 ,所以 ,即 ,所以 . 15 分
18.(17分)
(1) ,由正弦定理得 ,即 .
由余弦定理得 . 4 分
(2)在 中，由 ，得 . 5 分
由(1)可得 ，得 ，当且仅当 时，等号成立， 7 分
所以 . 故 面积的最大值为 10, 8 分
设 边上的高为 ，又 ，
所以 ，即 时， 边上的高有最大值 . 10 分
(3)如图，设 .
11 分在 中， .
在 中，由 ，得 ，
在 中， ，由正弦定理得 ，
得 ， 13 分
所以 ,
其中 . 15 分
当 时, 取得最大值,此时 , 16 分
得 . 17 分
19.(17分)
(1)因为向量 ，所以 ，又因为 ，
所以 ,
所以 . 3 分
(2)因为向量 ，所以 ，
所以
化简得 . 7 分
(3)①由(2)得 ，
化简得 , -8 分
所以 ,
当 时. 单调递增，因为 ，
又因为 ,所以 ,又因为 ,所以 , 由零点存在定理可得,存在 ,使得 ,所以 在 上有一个零点. 10 分当 时, ,所以 ,故 在 上没有零点. 11 分当 时, ,所以 ,故 在 上没有零点. 12 分综上可得, 有且只有一个零点 . 13 分
② . 14 分
理由如下: 在 上单调递减,
所以 ，即 ，所以 . 17 分