2025-2026学年下学期山东省济南市山东实验中学高三数学3月学情检测试卷（含答案）

绝密 启用前
数 学
2026.3
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的。
1. 圆 的圆心坐标为
A. B. C. D.
2. 已知变量 和变量 的 3 对随机观测数据为 ,则这组样本数据的样本相关系数为
A. B. C. 1 D. -1
3. 若 ,则
A. B. C. D.
4. 已知 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，则下列命题正确的是
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 ,则
D. 若 ,则
5. 已知复数 在复平面内对应的点为 ,则满足 的点的集合组成的图形的面积是
A. B. C. D.
6. 已知集合 ，则满足条件 的集合 的个数为
A. 8 B. 4 C. 2 D. 1
7. 设等差数列 的公差为 ,则 “ ” 是 “ 为递增数列”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知 ,则
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的四个选项中, 有多项 是符合题目要求的。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知函数 ，则下列命题正确的是
A. 若 ，则
B. 函数 在定义域内是减函数
C. 若 时,则 的值域是
D. 若 ,则函数 有最小值也有最大值
10. 某人在 次射击中击中目标的次数为 ,其中 ,设击中偶数次为事件 ,则
A. 当 时, 取得最大值
B. 当 时, 取得最小值
C. 当 随 的增大而减小
D. 当 随 的增大而减小
11. 三相交流电是发电、输电和配电中常用的一种交流电类型, 三相交流电插座上有四个插孔,其中中性线 (零线) 电压为 ,三根相线 (火线) 电压分别为 , ,其中 (单位: ), (单位: ). 三根相线间的电压叫线电压,记 ,
,线电压的最大值分别为 ,有效值分别为 , 则
A. 三根相线电压的频率均为 50 (单位: )
B.
C. 当某一线电压达到最大值时, 另两个线电压均取得最小值
D. 线电压的有效值 (单位: )
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知随机事件 满足 ，则 _____.
13. 已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 的通项公式为_____.
14. 已知直线 与抛物线 交于 两点， 为坐标原点， 交 于点 ，点 的坐标为 ，则抛物线的准线方程为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题，共 77 分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
如图，在直三棱柱 中， 为 的中点，记四棱锥 的体积为 ，三棱锥 的体积为 .
(1)证明: ；
(2) 已知 ，求二面角 的余弦值.
16.(15分)
已知在 中,内角 所对的边分别为 ,边 上的高为 , 且 .
(1)证明: ；
(2) 若 ,求 .
17.(15分)
已知函数 .
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2) 若对任意 ,对 恒成立.
(i) 求 的取值范围:
(ii) 若 ，证明:函数 有且仅有一个极大值点.
18.(17分)
在平面直角坐标系 中,双曲线 的右焦点为 ,右顶点为 ,过点 的直线 与双曲线 交于 两点,点 与点 均不重合.
( 1 )已知直线 ，讨论直线 与双曲线 的公共点的个数；
(2)记直线 与直线 的斜率分别是 ， .
(i) 证明: 为定值；
(ii) 若点 是 的外接圆的圆心，判断直线 的斜率是否存在最值，若存在， 求出最值; 若不存在, 请说明理由.
19. (17 分)
现有一款益智棋类游戏，棋盘由全等的正三角形组成，如图. 假设棋盘足够大，一颗质地均匀的正方体骰子,六个面分别以 1 ~6 标号. 在棋盘上,以 为原点建立平面直角坐标系，设点 的坐标为 . 棋子初始位置为坐标原点，投掷骰子 次，用 表示第 次投掷后棋子的位置 ( 为坐标原点),规定: 为前 次投掷过程中,掷得偶数的总次数.
(1)求点 所有可能的坐标；
(2)求投掷骰子 8 次后棋子在原点的概率；
(3) 投掷骰子 80 次，记棋子在原点且投掷过程中掷得奇数的次数恰为 的概率为 ,求 的表达式,并指出当 为何值时, 取得最大值.
数学答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B C B A A B AD AC
题号 11
答案 ABD
12.
13.
14.
15.(1)在直三棱柱 中， 为 的中点，设 ， 由直线 平面 ，得点 到平面 的距离相等，
,
所以 .
(2)由(1)知 ，而 ， ，则 ， 以 点为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，
,
,
设平面 的法向量 ,则 ,取 ,得 ,
设平面 的法向量 ,则 ,取 ,得 ,
,由图形知,二面角 的大小为锐角,
所以二面角 的余弦值为 .
16. (1) 在 Rt 中, ,在 Rt 中, ,
而 ,则 ,即 ,
则 .
(2)由 ，得 ，
所以 ,又 ,则 ,即 ,
由(1)知， ，
所以 ,
则 ,
则
即 ,则 ,
解得 或 (舍去)
又 ,则 ,所以 ,即 .
17. (1) 当 时,
可得 ,所以 ,
当 时, ; 当 时.
所以 的增区间为 ,减区间为 .
(2)(i)设 ，则 在 上单调递减， 则只需 ,
令 ,由 可得 ;
所以 在 上单调递增,在 上单调递减.
所以 ,所以 ,
所以 .
(ii) 由上知 ,又 ,
当 时. ,
当 时, ,
由零点存在定理可知存在 ,使得 .
下面证明: 在区间 上有且仅有一个零点 .
记 ,
则 ,令 ,可得 ;
则 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以 .
① 当 时， ，所以 单调递减
此时 在区间 上有且仅有一个零点
② 当 时， ， .
当 时,此时存在唯一的 ,使得 ,
故 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以 ,所以 在 上有且仅有一个零点 .
当 时,
存在两个点 ,使得 ,
即 ,
故 在 上单调递减, 上单调递增, 上单调递减,
又 .
记 .
所以 ,进而 ,所以对任意 ,总有
则对任意 . 所以 不存在零点.
而 在 上单调递减, ,
所以 在 上有且仅有一个零点 .
综上所述， 在 上有且仅有一个零点 ,
且当 时, 时, ,从而 为 的极大值点, 所以 有且仅有一个极大值点 ,证毕.
18.(1)由 的渐近线为 ，则 与 平行或重合，
当 时，直线 与双曲线 的公共点有 0 个，
当 时，直线 与双曲线 的公共点有 1 个；
(2)(i)由题设 ，且可设直线 ，联立 ，
所以 ,则 ,
若 ,则 ,且 ,
所以 为定值, 得证;
(ii) 设 ,结合 (i) 有 ,且 ,
所以 ,
联立 ,则 ,整理得 ,
所以 ,则 ,故 ,
所以 ,同理 ,可得 ,
设圆 的方程为 ,所以 ,
又 ,即 ,所以
所以 ,则 ,
所以 ,得 ,同理 ,同理 ,
令 ,则 ,则 ,
令 ,则 ,则 ,
即 ,
令 ,则 ,故 ,可得 ,
所以 ,即 的最小值、最大值分别为 .
19.(1)由题意，点 可能的坐标为 ， ， ， .
(2) 令向量 ,
则当 时, ; 当 时, ;
当 时 ,其中 ,且 .
要保证 为原点,则在 8 次投掷过程中,掷得奇数的次数 应为0,3,6.
①若 ，即 8 次投掷全部为偶数，共 1 种情况:偶偶偶偶偶偶偶；
②若 ，即 8 次投掷过程中有 5 次偶数，3 次奇数，则共 8 种情况:
奇偶奇偶奇偶偶偶，奇偶奇偶偶偶偶奇，奇偶偶奇偶偶奇偶，奇偶偶偶偶奇偶奇，
偶奇偶奇偶奇偶偶，偶奇偶偶奇偶偶奇，偶偶奇偶奇偶奇偶，偶偶偶奇偶奇偶奇；
③若 ，即 6 次奇数，仅有 1 种情况:奇奇偶奇奇偶奇奇.
故 为坐标原点的概率 .
(3)当 不是 3 的倍数时,显然有 .
以下讨论当 是 3 的倍数的情况. 不妨设 ，则掷得偶数的次数为 次.
记进行加向量 为操作 ，加向量 为操作 ，加向量 为操作 ，不做任何操作记为操作 .
定义操作小结: ,其中 可以为 0 .
在 80 次投掷产生的操作过程,可分为若干操作小结.注意到 1 个操作小节中有 2 次操作 , 每两个操作小节也由操作 连接,所以共有 个操作小节,如下图所示:
所以有 其中 .
由隔板法可知,上述不定方程共有 组解,而每一组解对应者一种满足题意的投掷,于是有
综上,有
因此,当 ,即 时, 取得最大值.