2025-2026学年下学期重庆八中高一数学3月周考1试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年下学期重庆八中高一数学3月周考1试卷（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 104.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-16 00:00:00 | ||
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文档简介
重庆八中高 2028 级高一(下)数学练习(1)
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的
1. ( )
A. B. c. D.
2. ” ” 是 “ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知 ,则()
A. B. C. D.
4. 若点 是函数 的图象的一个对称中心，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
5. 已知 ，则 ( )
A. B. C. D. 或
6. 在三角形 中，内角 满足 ，则角 的值是( )
A. B. C. D.
7. 以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧， 三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形, 如图. 已知某勒洛三角形的三段圆弧的总长度为 ，则该勒洛三角形的面积为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数 的图象关于直线 对称,且两相邻对称中心之间的距离为 . 若关于 的方程 在区间 上总有实数解,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 不列说法正确的有( )
A. 若 ，则 为第二象限角
B. 经过 60 分钟，钟表的分针转过 弧度
C.
D. 终边在 轴上的角 的集合是
10. 图 1 所示的是一段根据正弦曲线设计安装的过山车轨道，建立平面直角坐标系，如图 2， 1 单位: ) 表示在时间 (单位: ) 时，过山车 (看作质点) 离地平面的高度，轨道最高点 距离地平面 ，最低点 距离地平面 ，当 时，过山车到达最高点 ，当 时， 过山车到达最低点 ，设 ，则()
A.
图1
图2
B.
C. 入口处 距离地平面
D. 一个周期内过山车距离地平面的高度不大于 22.5m 的时长是 4s
11. 若 ，则下列说法正确的有( )
A、 的最小正周期是
8. 方程 是 的一条对称轴
C. 的值域为
D. 在 上都不可能单调
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知角 的终边经过点 ，且 ，则 的值是_____.
13. 已知函数 的定义域为 ， 关于点 中心对称且 ，则 _____.
14. 已知函数 在区间 上恰有两个零点，则 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知 .
(1)求 的值；
(2)已知 ，先化简 再求值.
16. (15 分)已知函数 的部分图象如图所示，其中点 ， .
(1)求 的解析式;
(2)若关于 的方程 在 上有两个不相等的实数根 , 求 的值.
17. (15分)如图，某游乐场的摩天轮的半径为 30 米，中心轴距地面 40 米. 启动后，逆时针
匀速旋转一周需要 12 分钟. 乘客甲从摩天轮最低处登舱，开启后该舱的底部离地面的高度 (单位:米) 忽略座舱本身高度)与启动的时间 (单位:分钟) 的关系可表示为 、+其中 .
(1)求 的函数表达式；
(2)当乘客甲所在舱的底部距离地面 55 米及以上时，乘客甲可以将游乐场的全景尽收眼底，当 时，乘客甲有多长时间可以看到游乐场的全景？
(3)若乘客乙在乘客甲登舱 3 分钟后登舱，当 时，求甲乙两位乘客所在舱的底部距离地面的高度差的最大值.
18.(17分)已知函数 。
(1)若 ，当 时，求 值域；
(2)若函数 的最小值为 ，求实数 的值；
(3)对任意 ，总存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围.
19.(17分)已知函数 的周期为 ，图象的一个对称中心为 ,将函数 图象上的所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍 (纵坐标不变),再将所得图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象.
(1)求函数 与 的解析式；
(2)当 时，求方程 解的个数；
(3)求实数 与正整数 ，使得 在区间 内恰有 2025 个零点.
重庆八中高 2028 级高一(下)数学练习(1)
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B B C C C D B ABD ACD BCD
1.【解答】解: 因为 ,所以
. 故选: .
2.【解答】解: 若 ,可得 或 ,
若 ,可得 ,
所以 “ 是 “ 的必要不充分条件. 故选: .
3.【解答】解: 因为 ,所以 ,而 , 所以 . 故选: .
4.【解答】解: 根据正切函数的性质, 的对称中心横坐标满足 , 即 的对称中心是 ,即 ,
又 ，则 时 最小，最小值是 ，即 . 故选: .
5.【解答】解: 根据 ,可得 ,
由 ,得 ,
结合 ,可知 ,
可得 ,
所以
. 故选: .
6.【解答】解: 因为 ,所以 ,
所以 ,所以 ,
所以 ,由题可得 ,所以 ,
因为 为三角形的内角,所以 . 故选: .
7.【解答】解: 根据勒洛三角形的周长为 ,可知其中一段圆弧的长度为 ,
设正三角形的边长为 ,则 ,解得 ,
所以其中一段圆弧与相应的边构成扇形的面积 .
可得该物洛三角形的面积 。故选: .
8.【解答】解: 函数 ,
两相邻对称中心之间的距离为 ，所以 ，所以 ，
函数的图象关于直线 对称,则 ,
解得 ,由于 ,所以 ,所以 .
关于 的方程 在区间 上总有实数解,
即 在区间 上总有实数根,
由于 ,则 ,所以 ,
即 ,解得 ,所以 的取值范围是 . 故选: .
9.【解答】解: 对于 ,若 ,则 为第二象限或第四象限角,若 ,则 为第一象限角或第二象限角，同时满足两条件可得，若 且 ，则 为第二象限角，故正确； 对于 ，经过 60 分钟，钟表的分针顺时针转过一圈，是 弧度，故正确；
对于 ,故选项 错误;
对于 ,终边在 轴上的角的集合是 ,故正确. 故选: .
10.【解答】解: 对于 ,设 的最小正周期为 ,则 ,解得 ,
由题意得 ,得 ,则 正确.
对于 ,令 ,可得 ,又 ,
解得 错误.
对于 ,因为 ,所以 正确.
对于 ，由 ，得 ，所以 ，
解得 正确. 故选: .
11.【解答】解: 对于选项 ,由题意,可得 , 可得 是 的一个周期,故 错误;
对于选项 ,因为 ,
所以 是 的一条对称轴,故 正确;
对于选项 ,当 时,可得 ,
由 ，则 ，故 ，可得 ，
因为 在 上为增函数,可得当 时, ,
由 知 是 的周期,可得 的值域为 ,故 正确;
对于选项 ,当 时,可得 ,令 ,
由复合函数单调性可得 的单调性与 的单调性一致,
由于 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 ,
由于 的最小正周期为 ,
所以 单调递增区间为 ,单调递减区间为 ,
可得 单调区间的长度为 ，由于 ，区间 的长度为 ， 则 在 上都不可能单调,故 正确. 故选: BCD.
12.【解答】因为角 的终边经过点 ,且 ,
可得 ，所以 ，所以 . 故答案为: .
13.【解答】解: 因为 ,所以 ,
所以函数 是以 4 为周期的周期函数,
因为 定义域为 且关于 对称,所以 ,所以 . 故答案为: 0 .
14.【解答】解: 在 上恰有两个零点,
则 在 上有两个实数解,由 可得 ,
又 ,故有 在 上有两个不同的实数解,
当 时, ,所以 ,
解得 . 故答案为: .
15. 【解答】解:(1)法一:将 平方，联立 ，得 ，
解得 ，于是 ， 且 ， ，
则 .
法二: 因为 ,联立 ,解得 或
因为 , 舍去,则 所以 ;
( 2 )因为
16.【解答】解:(1)因为 在函数图象上且纵坐标互为相反数，可知 ， ,根据 ,解得 ; 将 代入 ,解得 , ,因为 ,所以 ,所以 ;
(2) ，即 在 上有两个不相等的实数根，
当 时, ,
设 ,可知 在 上单调递减,在 上单调递增,
又 ,所以 ,即 ,
所以 .
17.【解答】解: (1) 根据题意可得 ,周期 ,所以 ,
所以 ,
乘客从最低点登舱，此时 ，所以 ，代入 得: ,即 ,又 ,所以 ,
所以 ;
(2)令 ，所以 ，又 ，解得 ，
所以乘客甲有 4 分钟可以看到游乐场的全景；
(3)由题意得乘客乙所在舱的底部距离地面的高度(单位:米)为 ， 所以两人所在舱的底部距离地面的高度差为:
,
又 ，所以 ，
所以当 或 ,即 或 时, 取得最大值 ,
所以甲乙两位乘客所在舱的底部距离地面的高度差的最大值为 米.
18.【解答】解: (1) 已知函数 ,
当 时, ,令 ,设 , ,则 . 所以 值域为 .
(2) .
令 . 设 .
① 当 时， ，因此无解；
② 当 时， ，
即 ，因此 ，或 (舍去).
③当 时， ，因此 (舍去)；综上所述， ；
(3)因为 ，得 ，
由已知，即任意 恒成立，
,即 恒成立.
令 ，代入得: ，
令 ，当且仅当 ，即 时等号成立.
故 ,即 的取值范围是 .
19.【解答】解: (1) 函数 的周期为 , 又曲线 的一个对称中心为 ,故 ,得 , .
将函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变) 后可得 的图象,再将 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象,
.
( 2 )当 时，所求为方程 在区间 内解的个数.
代入 ，并记 ，
问题化为 ,
即 ,解得 或 ,
在 内分别有 1 个，0 个，2 个解，即所求解的个数为 3 个.
(3)依题意， ，令 ，
当 ,即 时, ,
从而 不是方程 的解,
方程 等价于方程 .
令 ,
的图象在区间 内关于直线 对称,
则 的图象在区间 内关于直线 对称,
,则 时,直线 与曲线 在区间 内总有偶数个交点;
的图象在区间 内关于直线 对称, ,则 时,
则 的图象在区间 内关于直线 对称, ,则 时,
直线 与曲线 在区间 内总有偶数个交点.
由函数 的周期性，可知当 时，
第 7 页(共8页)
直线 与曲线 在区间 内总有偶数个交点,
从而不存在正整数 ,使得直线 与曲线 在区间 内恰有 2025 个零点;
由单调区间 ，当 或 时，直线 与曲线 在 内有 3 个交点 (在两个区间内为1+2或2+1个),
由周期性, .
综上,当 时,函数 在区间 内恰有 2025 个零点.
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的
1. ( )
A. B. c. D.
2. ” ” 是 “ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知 ,则()
A. B. C. D.
4. 若点 是函数 的图象的一个对称中心，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
5. 已知 ，则 ( )
A. B. C. D. 或
6. 在三角形 中，内角 满足 ，则角 的值是( )
A. B. C. D.
7. 以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧， 三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形, 如图. 已知某勒洛三角形的三段圆弧的总长度为 ，则该勒洛三角形的面积为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数 的图象关于直线 对称,且两相邻对称中心之间的距离为 . 若关于 的方程 在区间 上总有实数解,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 不列说法正确的有( )
A. 若 ，则 为第二象限角
B. 经过 60 分钟，钟表的分针转过 弧度
C.
D. 终边在 轴上的角 的集合是
10. 图 1 所示的是一段根据正弦曲线设计安装的过山车轨道，建立平面直角坐标系，如图 2， 1 单位: ) 表示在时间 (单位: ) 时，过山车 (看作质点) 离地平面的高度，轨道最高点 距离地平面 ，最低点 距离地平面 ，当 时，过山车到达最高点 ，当 时， 过山车到达最低点 ，设 ，则()
A.
图1
图2
B.
C. 入口处 距离地平面
D. 一个周期内过山车距离地平面的高度不大于 22.5m 的时长是 4s
11. 若 ，则下列说法正确的有( )
A、 的最小正周期是
8. 方程 是 的一条对称轴
C. 的值域为
D. 在 上都不可能单调
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知角 的终边经过点 ，且 ，则 的值是_____.
13. 已知函数 的定义域为 ， 关于点 中心对称且 ，则 _____.
14. 已知函数 在区间 上恰有两个零点，则 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知 .
(1)求 的值；
(2)已知 ，先化简 再求值.
16. (15 分)已知函数 的部分图象如图所示，其中点 ， .
(1)求 的解析式;
(2)若关于 的方程 在 上有两个不相等的实数根 , 求 的值.
17. (15分)如图，某游乐场的摩天轮的半径为 30 米，中心轴距地面 40 米. 启动后，逆时针
匀速旋转一周需要 12 分钟. 乘客甲从摩天轮最低处登舱，开启后该舱的底部离地面的高度 (单位:米) 忽略座舱本身高度)与启动的时间 (单位:分钟) 的关系可表示为 、+其中 .
(1)求 的函数表达式；
(2)当乘客甲所在舱的底部距离地面 55 米及以上时，乘客甲可以将游乐场的全景尽收眼底，当 时，乘客甲有多长时间可以看到游乐场的全景？
(3)若乘客乙在乘客甲登舱 3 分钟后登舱，当 时，求甲乙两位乘客所在舱的底部距离地面的高度差的最大值.
18.(17分)已知函数 。
(1)若 ，当 时，求 值域；
(2)若函数 的最小值为 ，求实数 的值；
(3)对任意 ，总存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围.
19.(17分)已知函数 的周期为 ，图象的一个对称中心为 ,将函数 图象上的所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍 (纵坐标不变),再将所得图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象.
(1)求函数 与 的解析式；
(2)当 时，求方程 解的个数；
(3)求实数 与正整数 ，使得 在区间 内恰有 2025 个零点.
重庆八中高 2028 级高一(下)数学练习(1)
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B B C C C D B ABD ACD BCD
1.【解答】解: 因为 ,所以
. 故选: .
2.【解答】解: 若 ,可得 或 ,
若 ,可得 ,
所以 “ 是 “ 的必要不充分条件. 故选: .
3.【解答】解: 因为 ,所以 ,而 , 所以 . 故选: .
4.【解答】解: 根据正切函数的性质, 的对称中心横坐标满足 , 即 的对称中心是 ,即 ,
又 ，则 时 最小，最小值是 ，即 . 故选: .
5.【解答】解: 根据 ,可得 ,
由 ,得 ,
结合 ,可知 ,
可得 ,
所以
. 故选: .
6.【解答】解: 因为 ,所以 ,
所以 ,所以 ,
所以 ,由题可得 ,所以 ,
因为 为三角形的内角,所以 . 故选: .
7.【解答】解: 根据勒洛三角形的周长为 ,可知其中一段圆弧的长度为 ,
设正三角形的边长为 ,则 ,解得 ,
所以其中一段圆弧与相应的边构成扇形的面积 .
可得该物洛三角形的面积 。故选: .
8.【解答】解: 函数 ,
两相邻对称中心之间的距离为 ，所以 ，所以 ，
函数的图象关于直线 对称,则 ,
解得 ,由于 ,所以 ,所以 .
关于 的方程 在区间 上总有实数解,
即 在区间 上总有实数根,
由于 ,则 ,所以 ,
即 ,解得 ,所以 的取值范围是 . 故选: .
9.【解答】解: 对于 ,若 ,则 为第二象限或第四象限角,若 ,则 为第一象限角或第二象限角，同时满足两条件可得，若 且 ，则 为第二象限角，故正确； 对于 ，经过 60 分钟，钟表的分针顺时针转过一圈，是 弧度，故正确；
对于 ,故选项 错误;
对于 ,终边在 轴上的角的集合是 ,故正确. 故选: .
10.【解答】解: 对于 ,设 的最小正周期为 ,则 ,解得 ,
由题意得 ,得 ,则 正确.
对于 ,令 ,可得 ,又 ,
解得 错误.
对于 ,因为 ,所以 正确.
对于 ，由 ，得 ，所以 ，
解得 正确. 故选: .
11.【解答】解: 对于选项 ,由题意,可得 , 可得 是 的一个周期,故 错误;
对于选项 ,因为 ,
所以 是 的一条对称轴,故 正确;
对于选项 ,当 时,可得 ,
由 ，则 ，故 ，可得 ，
因为 在 上为增函数,可得当 时, ,
由 知 是 的周期,可得 的值域为 ,故 正确;
对于选项 ,当 时,可得 ,令 ,
由复合函数单调性可得 的单调性与 的单调性一致,
由于 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 ,
由于 的最小正周期为 ,
所以 单调递增区间为 ,单调递减区间为 ,
可得 单调区间的长度为 ，由于 ，区间 的长度为 ， 则 在 上都不可能单调,故 正确. 故选: BCD.
12.【解答】因为角 的终边经过点 ,且 ,
可得 ，所以 ，所以 . 故答案为: .
13.【解答】解: 因为 ,所以 ,
所以函数 是以 4 为周期的周期函数,
因为 定义域为 且关于 对称,所以 ,所以 . 故答案为: 0 .
14.【解答】解: 在 上恰有两个零点,
则 在 上有两个实数解,由 可得 ,
又 ,故有 在 上有两个不同的实数解,
当 时, ,所以 ,
解得 . 故答案为: .
15. 【解答】解:(1)法一:将 平方，联立 ，得 ，
解得 ，于是 ， 且 ， ，
则 .
法二: 因为 ,联立 ,解得 或
因为 , 舍去,则 所以 ;
( 2 )因为
16.【解答】解:(1)因为 在函数图象上且纵坐标互为相反数，可知 ， ,根据 ,解得 ; 将 代入 ,解得 , ,因为 ,所以 ,所以 ;
(2) ，即 在 上有两个不相等的实数根，
当 时, ,
设 ,可知 在 上单调递减,在 上单调递增,
又 ,所以 ,即 ,
所以 .
17.【解答】解: (1) 根据题意可得 ,周期 ,所以 ,
所以 ,
乘客从最低点登舱，此时 ，所以 ，代入 得: ,即 ,又 ,所以 ,
所以 ;
(2)令 ，所以 ，又 ，解得 ，
所以乘客甲有 4 分钟可以看到游乐场的全景；
(3)由题意得乘客乙所在舱的底部距离地面的高度(单位:米)为 ， 所以两人所在舱的底部距离地面的高度差为:
,
又 ，所以 ，
所以当 或 ,即 或 时, 取得最大值 ,
所以甲乙两位乘客所在舱的底部距离地面的高度差的最大值为 米.
18.【解答】解: (1) 已知函数 ,
当 时, ,令 ,设 , ,则 . 所以 值域为 .
(2) .
令 . 设 .
① 当 时， ，因此无解；
② 当 时， ，
即 ，因此 ，或 (舍去).
③当 时， ，因此 (舍去)；综上所述， ；
(3)因为 ，得 ，
由已知，即任意 恒成立，
,即 恒成立.
令 ，代入得: ，
令 ，当且仅当 ，即 时等号成立.
故 ,即 的取值范围是 .
19.【解答】解: (1) 函数 的周期为 , 又曲线 的一个对称中心为 ,故 ,得 , .
将函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变) 后可得 的图象,再将 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象,
.
( 2 )当 时，所求为方程 在区间 内解的个数.
代入 ，并记 ，
问题化为 ,
即 ,解得 或 ,
在 内分别有 1 个，0 个，2 个解，即所求解的个数为 3 个.
(3)依题意， ，令 ，
当 ,即 时, ,
从而 不是方程 的解,
方程 等价于方程 .
令 ,
的图象在区间 内关于直线 对称,
则 的图象在区间 内关于直线 对称,
,则 时,直线 与曲线 在区间 内总有偶数个交点;
的图象在区间 内关于直线 对称, ,则 时,
则 的图象在区间 内关于直线 对称, ,则 时,
直线 与曲线 在区间 内总有偶数个交点.
由函数 的周期性，可知当 时，
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直线 与曲线 在区间 内总有偶数个交点,
从而不存在正整数 ,使得直线 与曲线 在区间 内恰有 2025 个零点;
由单调区间 ，当 或 时，直线 与曲线 在 内有 3 个交点 (在两个区间内为1+2或2+1个),
由周期性, .
综上,当 时,函数 在区间 内恰有 2025 个零点.
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