【期末复习】综合实践（二）微项目研究问题 专题练习（含解析）

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28【期末复习】综合实践（二）微项目研究问题 专题练习
1．【教材呈现】
已知a+b＝5，ab＝3，求（a﹣b）2的值．
同学们探究出解这道题的两种方法：
方法一 方法二
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2 ∴a2+b2＝（a+b）2+A ∵a+b＝5，ab＝3， ∴a2+b2＝25﹣6＝19 ∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 ∴（a﹣b）2＝19﹣6＝13 ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， （a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2， ∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣B， ∵a+b＝5，ab＝3， ∴（a﹣b）2＝13．
（1）请将方法一，方法二补充完整方法一中的A＝　 　 ，方法二中的B＝　 　 ．
【知识应用】
（2）请参照上述方法解答以下问题：已知，求的值．
【知识迁移】
（3）如图，以Rt△ABC的直角边AB，BC为边作正方形ABDE和正方形BCFG．若△ABC的面积为5，正方形ABDE和正方形BCFG面积和为36，求AG的长度．
2．阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如：这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）
如：；
再如：．
解决下列问题：
（1）分式是　 　 （填“真分式”或“假分式”）；
（2）如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值．
（3）把分式化成一个带分式（即：整式与真分式的和的形式），体现化简过程．
3．规定：形如关于x，y的方程x+ky＝b与kx+y＝b的两个方程互为共轭二元一次方程，其中k≠1．由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组，k、b称之为共轭系数．
（1）方程3x+y＝5的共轭二元一次方程是 　 　 ；
（2）若关于x，y的二元一次方程组为共轭方程，求此共轭方程组的共轭系数；
（3）对于共轭二元一次方程组，小聪通过探究发现，无论k、b为何值（k≠1），解x、y一定相等．你同意他的结论吗？请说明理由．
4．规定一种新的运算“Δ（xα）”，其中x≠0，α为正整数．其运算规则如下：
①Δ（xα）＝αxα﹣1；②c Δ（xα）＝c αxα﹣1（其中c为常数）．
（1）计算：Δ（x8）＝　 　 ，k Δ（x）＝　 　 （其中k为常数）；
（2）m Δ（x3）+n Δ（x2）（其中p，q均不为0）．
①求a，m，n的值；
②化简并计算：．
5．在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是150cm×90cm的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板．为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得3张150cm×30cm的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示．（单位：cm）
（1）每张原材料板材可以裁得A型纸板　 　 张或裁得B型纸板　 　 张；
（2）现有260张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式无盖长方体纸盒和横式无盖长方体纸盒，若横式无盖长方体纸盒个数为竖式无盖长方体纸盒个数的两倍，问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完，两种纸盒各做多少个？
6．【实验操作】七年级同学“探寻古城墙、研读长安城”研学时，小明发现城墙某段道路（AB∥CD）两旁安置了两座可旋转探照灯，课后利用所学知识进行了综合实践学习．经观察，灯E射线从EB开始顺时针旋转至EA便立即回转，灯F射线从FC开始顺时针旋转至FD便立即回转，两灯不停交叉照射，光束交于点G．
【猜想验证】（1）如图1，转至某刻，∠G＝60°，∠AEG＝25°，则∠CFG＝　 　 °；
【应用迁移】（2）灯E、灯F转动的速度分别是每秒2°、每秒4°．若两灯同时开始转动，如图2所示，则在灯E射线到达EA之前，灯F转动几秒时，∠EGF＝90°？
【实践创新】（3）交相辉映处，饱读长安城，小明设想E、F处各有一条彩色光线，始终分别平分∠BEG、∠CFG，若两条角平分线所在直线交于点H，请你在图3中补全图形并探究∠EHF与∠EGF的数量关系，并说明理由．
28【期末复习】综合实践（二）微项目研究问题 专题练习
1．【教材呈现】
已知a+b＝5，ab＝3，求（a﹣b）2的值．
同学们探究出解这道题的两种方法：
方法一 方法二
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2 ∴a2+b2＝（a+b）2+A ∵a+b＝5，ab＝3， ∴a2+b2＝25﹣6＝19 ∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 ∴（a﹣b）2＝19﹣6＝13 ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， （a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2， ∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣B， ∵a+b＝5，ab＝3， ∴（a﹣b）2＝13．
（1）请将方法一，方法二补充完整方法一中的A＝　﹣2ab ，方法二中的B＝　4ab ．
【知识应用】
（2）请参照上述方法解答以下问题：已知，求的值．
【知识迁移】
（3）如图，以Rt△ABC的直角边AB，BC为边作正方形ABDE和正方形BCFG．若△ABC的面积为5，正方形ABDE和正方形BCFG面积和为36，求AG的长度．
【分析】（1）根据题目的推理过程，即可填空；
（2）根据，，找到两者的关系，即可求解；
（3）设AB＝a，BC＝b，则AG＝a﹣b，根据（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝36﹣20＝16，即可求解．
【解答】解：（1）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
故答案为：﹣2ab，4ab；
（2）；
（3）设AB＝a，BC＝b，则AG＝a﹣b，
由题意可得：a2+b2＝36，，
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝36﹣20＝16，
∵a﹣b＞0，
∴AG＝a﹣b＝4．
2．阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如：这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）
如：；
再如：．
解决下列问题：
（1）分式是　假分式　 （填“真分式”或“假分式”）；
（2）如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值．
（3）把分式化成一个带分式（即：整式与真分式的和的形式），体现化简过程．
【分析】（1）依据题意，由假分式的定义即可判断得解；
（2）依据题意得，结合题意可得x+1＝±1从而求出结果；
（3）根据题意化简即可得出结果．
【解答】解：（1）根据“假分式”的定义可知，
分式是假分式．
故答案为：假分式；
（2），
∵分式的值为整数，
∴x+1＝±1．
解得：x＝0或x＝﹣2；
（3）．
3．规定：形如关于x，y的方程x+ky＝b与kx+y＝b的两个方程互为共轭二元一次方程，其中k≠1．由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组，k、b称之为共轭系数．
（1）方程3x+y＝5的共轭二元一次方程是 x+3y＝5　 ；
（2）若关于x，y的二元一次方程组为共轭方程，求此共轭方程组的共轭系数；
（3）对于共轭二元一次方程组，小聪通过探究发现，无论k、b为何值（k≠1），解x、y一定相等．你同意他的结论吗？请说明理由．
【分析】（1）根据题中共辄二元一次方程的定义判断即可；
（2）根据题中共辄二元一次方程的定义判断即可求出共辄系数；
（3）表示出方程组的解，根据x与y相等确定出k的范围，即可作出判断．
【解答】解：（1）方程3x+y＝5的共辄二元一次方程是x+3y＝5；
故答案为：x+3y＝5；
（2）∵关于x，y的二元一次方程组为共辄方程，
∴2﹣5a＝1﹣2b，﹣b﹣4＝﹣5﹣a，
整理得：，
①﹣②×2得：3a＝3，
解得：a＝1，
把a＝1代入②得：1﹣b＝﹣1，
解得：b＝2，
∴2﹣5a＝2﹣5＝﹣3，﹣b﹣4＝﹣2﹣4＝﹣6，
则此共辄方程组的共辄系数为﹣3，﹣6；
（3）不同意他的说法，理由为：
方程组，
①×k﹣②得：（k2﹣1）y＝kb﹣b，
②×k﹣①得：（k2﹣1）x＝kb﹣b，
当k2﹣1≠0，即k≠±1时，x＝y，
则当k≠±1时，无论b为何值，x与y的值相等．
4．规定一种新的运算“Δ（xα）”，其中x≠0，α为正整数．其运算规则如下：
①Δ（xα）＝αxα﹣1；②c Δ（xα）＝c αxα﹣1（其中c为常数）．
（1）计算：Δ（x8）＝　8x7 ，k Δ（x）＝k （其中k为常数）；
（2）m Δ（x3）+n Δ（x2）（其中p，q均不为0）．
①求a，m，n的值；
②化简并计算：．
【分析】（1）根据新定义的运算规则计算即可；
（2）①根据新定义的运算规则，列出方程组即可求出a，m，n的值；
②由①可得出P和q的关系为p+q＝pq，再根据分式混合运算的法则化简原式，代入p+q＝pq即可．
【解答】（1）解：Δ（x8）＝8x8﹣1＝8x7，
k Δ（x）＝k 1x1﹣1＝k 1 x0＝k 1 1＝k，
故答案为：8x7，k；
（2）解：①∵m Δ（x3）＝m 3x3﹣1＝3mx2，
n Δ（x2）＝n 2nx2﹣1＝2nx，
Δ（x） 1x1﹣1，
∴3mx2+2nxax3+（n﹣1）x2+（2m+6）x+1，
∴
∴a＝0，m＝1，n＝4；
②由①知，1，
∴1，
∴p+q＝pq，
∴3．
5．在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是150cm×90cm的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板．为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得3张150cm×30cm的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示．（单位：cm）
（1）每张原材料板材可以裁得A型纸板　9　 张或裁得B型纸板　15　 张；
（2）现有260张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式无盖长方体纸盒和横式无盖长方体纸盒，若横式无盖长方体纸盒个数为竖式无盖长方体纸盒个数的两倍，问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完，两种纸盒各做多少个？
【分析】（1）根据题意，可得每张原材料板材可以裁得A型纸板3×3＝9（张），每张原材料板材可以裁得B型纸板3×5＝15（张）；
（2）设用x张原材料板材裁剪A型纸板，则用（260﹣x）张原材料板材裁剪B型纸板，设竖式无盖长方体纸盒y个，横式无盖长方体纸盒2y个，根据题意可得方程组，再解方程组即可．
【解答】解：（1）根据题意，每张原材料板材可裁得3张150cm×30cm的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，
∴每张原材料板材可以裁得A型纸板3×3＝9（张），每张原材料板材可以裁得B型纸板3×5＝15（张）；
故答案为：9，15；
（2）设用x张原材料板材裁剪A型纸板，则用（260﹣x）张原材料板材裁剪B型纸板，设竖式无盖长方体纸盒y个，横式无盖长方体纸盒2y个，根据题意得：
，
解得，
∴260﹣x＝60（张），
2y＝2×180＝360（个），
答：有200张原材料板材裁剪A型纸板，用60张原材料板材裁剪B型纸板，能做竖式无盖长方体纸盒180个，横式无盖长方体纸盒360个．
6．【实验操作】七年级同学“探寻古城墙、研读长安城”研学时，小明发现城墙某段道路（AB∥CD）两旁安置了两座可旋转探照灯，课后利用所学知识进行了综合实践学习．经观察，灯E射线从EB开始顺时针旋转至EA便立即回转，灯F射线从FC开始顺时针旋转至FD便立即回转，两灯不停交叉照射，光束交于点G．
【猜想验证】（1）如图1，转至某刻，∠G＝60°，∠AEG＝25°，则∠CFG＝　35　 °；
【应用迁移】（2）灯E、灯F转动的速度分别是每秒2°、每秒4°．若两灯同时开始转动，如图2所示，则在灯E射线到达EA之前，灯F转动几秒时，∠EGF＝90°？
【实践创新】（3）交相辉映处，饱读长安城，小明设想E、F处各有一条彩色光线，始终分别平分∠BEG、∠CFG，若两条角平分线所在直线交于点H，请你在图3中补全图形并探究∠EHF与∠EGF的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）过点G作GH∥AB，根据平行线的性质得到∠EGH＝∠AEG＝25°，然后求出∠FGH＝∠EGF﹣∠EGH＝35°，得到GH∥CD，即可求出∠CFG＝∠FGH＝35°；
（2）设灯F转动几秒时，∠EGF＝90°，根据题意得到∠BEG＝2t，∠CFG＝4t，∠AEG＝180°﹣2t，∠DFG＝180°﹣4t，然后求出0≤t≤90，然后分点G在EF左边和点G在EF右边两种情况，分别根据∠EGF＝90°列方程求解即可；
（3）首先根据题意画出图形，然后根据题意表示出，∠EGF＝180°﹣2t∠H＝t，进而求解即可．
【解答】解：（1）如图所示，过点G作GH∥AB，
∵AB∥CD，∠AEG＝25°，
∴∠EGH＝∠AEG＝25°，
∵∠EGF＝60°，
∴∠FGH＝∠EGF﹣∠EGH＝35°，
∵AB∥CD，GH∥AB，
∴GH∥CD，
∴∠CFG＝∠FGH＝35°，
故答案为：35；
（2）设灯F转动几秒时，∠EGF＝90°，
∵灯E、灯F转动的速度分别是每秒2度、每秒4度，
∴∠BEG＝2t，∠CFG＝4t，
∴∠AEG＝180°﹣2t，∠DFG＝180°﹣4t，
∴当灯E射线到达EA时，t＝180°÷2＝90秒，
∴0≤t≤90，
如图所示，当点G在EF左边时．
由（1）可得，∠EGF＝∠AEG+∠CFG＝90°，
∴180°﹣2t+4t＝90°，
解得t＝﹣45，不符合题意，舍去，
如图所示，当点G在EF右边时．
由（1）可得，∠EGF＝∠BEG+∠DFG＝90°，
∴2t+180°﹣4t＝90°，
解得t＝45，符合题意，
∴灯F转动45秒时，∠EGF＝90°；
（3）如图所示，
∵EI，FH分别平分∠BEG，∠CFG，
∴，，
∴∠HEG＝180°﹣∠GEI＝180°﹣t，
由（1）可得，∠EGF＝∠BEG+∠DFG＝2t+180°﹣4t＝180°﹣2t，
∴∠H＝360°﹣∠GFH﹣∠G﹣∠HEG＝360°﹣2t﹣（180°﹣2t）﹣（180°﹣t）＝t，
∴2∠H+∠EGF＝2t+180°﹣2t＝180°．