9.1 正弦定理与余弦定理-9.1.1 正弦定理 课件(共121张PPT)-2025-2026学年高二下学期数学人教B版必修第四册

(共121张PPT)
9.1 正弦定理与余弦定理
9.1.1 正弦定理
第九章 解三角形
高二下学期数学人教B版必修第四册
目录
课标要点
03
01
02
04
必备知识解读
题型解析
高考考向分析
06
高考模拟
05
知识测评
学习目标
01
必备知识解读
02
知识点1 三角形的面积公式
1 三角形的面积公式
一般地，若记的面积为，则
（为了方便起见，在本书中我们约定，将3个内角，， 所对的边分别记为
）.
. .
2 三角形面积公式的推导
图9.1.1-1
图9.1.1-2
同理可推导出 .#1.1
续表
典例详解
例1-1 (2025·山西省怀仁市第一中学月考)在中，， ，
，则 的面积为( )
A
A. B. C. D.
【解析】因为 ，
所以.（【释疑解惑】由 ，并结合三角形中角的范围求解）
又，，所以的面积．
点评 在中要熟练记忆边角的对应关系，， ，
,初学时可借助几何图形理解记忆.
. .
知识点2 正弦定理
1 正弦定理
在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即
（用正弦定理可以证明，在三角形中，“大边对大角”.该结论会经常使用）.
. .
2 正弦定理的证明
（1）利用三角形的面积证明（见教材第4页）.
图9.1.1-3
（2）利用向量的数量积证明.
证明：如图9.1.1-3所示，当为锐角三角形时，过点 作单
位向量垂直于，则与的夹角为，与的夹角为 ，
与的夹角为.设，, .因为
,所以 ，即
，
所以,即 .
同理,过点作单位向量垂直于 ,
可得 .
所以 .
举一反三 POINT
当 为钝角三角形或直角三角形时利用同样的方法可以得出同一结论，同学们
不妨试一试.
3 正弦定理的常见变形
（1）,,,,, ;
（2） ;
（等比定理）
（3） （边之比等于对应角的正弦值之比）.
. .
典例详解
例2-2 ［教材改编P7练习B T1］在中，,,,则
( )
B
A. B. C. D.1
【解析】,,, 由正弦定理得 .
例2-3 已知的内角，，的对边分别为，，，若， ，则
等于( )
B
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】，，由正弦定理可得， ．
例2-4 在中，内角，，所对的边分别是，， ．已知
，则 ( )
B
A. B. C. D.
【解析】由 ，
得 ，
（【释疑解惑】设，则， ，代入等式并
消去 即可得）
， ，
可得,即 .
， .
. .
知识点3 解三角形
1 解三角形的概念
习惯上，我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素，已知三角形的若
干元素求其他元素一般称为解三角形（即求三角形中未知的元素）.
2 正弦定理在解三角形中的应用
利用正弦定理可以解决以下两类解三角形的问题：
（1）已知两角和任意一边，求另两边和另一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另两角和另一边.
. .
特别提醒 利用正弦定理解三角形时,经常用到下列结论:
（1）三角形内角和定理 .
, .
（3）在中，
（大边对大角）;
（两边之和大于第三边）；
（两边之差小于第三边）.
（4）若为锐角三角形，则,, ;
或 .
. .
. .
. .
典例详解
例3-5 ［教材改编P7练习A T2］在中，内角，，的对边分别是，， ，
如果， ， ，那么 等于( )
A
A. B. C. D.
【解析】由题可得 ，
由正弦定理 ，
可得 .
例3-6 ［教材改编P5 例3］在中，，，，则 __.
【解析】由正弦定理，得 .
因为，所以（根据“大边对大角”判断 的范围）,
则,故 .
. .
释疑惑 重难拓展
知识点4 正弦定理的推广
教材链接：对教材第7页【探索与研究】的探究.
设外接圆的半径为 ，通过探讨，
我们可以得到 .下面进行证明.
. .
证明：只需证 .
①若为直角（如图9.1.1-4所示），在中,可直接得 ；
②若 为锐角（如图9.1.1-5所示），作直径
，连接，则，在
中， ，即
；
③若为钝角（如图9.1.1-6所示），作直径，连接，则 ，在
中，，即 .
由①②③得，即 .
同理可证，， .所以 .
说明 上述证明过程实际上也是正弦定理的一种证明方法.
特别提醒 为外接圆的半径 的两种变形：
，， （可化边为角）；
，， （可化角为边）.
典例详解
例4-7 ，，分别为内角，，的对边．已知 ，
，则 外接圆的面积为( )
B
A. B. C. D.
【解析】 ，
， .
设外接圆的半径为 ，
由正弦定理可得 ，
可得 ，
外接圆的面积 ．
例4-8 在中，角，，所对的边分别为，，，若 ，且
，则 外接圆的面积为( )
A
A. B. C. D.
【解析】因为 ，
所以由正弦定理可得 ，又
，所以 ，
所以外接圆的半径为 ,
则外接圆的面积 .
. .
注意，而不是
知识点5 对三角形解的个数的探究
已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解.
教材深挖 POINT
教材第6页【例4】判断三角形是否存在，我们这里进一步探究三角形解的个数的问题
已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、
两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定.
因此“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时，需要分析三角形解的
情况，下面以已知,和 解三角形为例进行说明.
1 代数角度
条件 解的个数
0，即无解
1
. .
知识延伸 三角形解的个数也可由三角形中“大边对大角”来判定.
设为锐角，若，则，从而 为锐角，有一解.
若，则，由正弦定理得 ，
①当,即 时，无解；
②当 时，有一解；
③当，即 时，有两解.
事实上，三角形解的个数就是根据大边对大角、三角形内角和定理、正弦函数
的有界性等进行判断的.#1.1.3
2 几何角度
角的 类型 条件
图形
解的 个数 无解 一解 两解 一解
角的 类型 条件
图形
解的 个数 一解 无解
续表
典例详解
例5-9 ［多选题］下列对三角形解的个数的判断中正确的是( )
BC
A.,, ,有两解 B.,, ,有一解
C.,, ,无解 D.,, ,无解
【解析】对于A，由，得，所以 ，有一解，故A不正确.
对于B，由大边对大角知，有一解，故B正确.
对于C，由，得 ，无解，故C正确.
对于D，由，得，再结合及 可知有两解，
故D不正确.
例5-10 (2025·江苏省南京市六校联合体调研)在中，角，， 所对的边分别
为,,，已知满足 ,的三角形有两解，则 的取值范围为( )
C
A. B. C. D.
【解析】因为三角形有两解，所以即 【释疑解惑】可结
合几何图示理解该不等式组，也可以从代数角度理解，三角形有两解，即 的值有两
个，则,即.要使的值有两个，必有 ，根据“大边对
大角”即得
解得 ,
则的取值范围是 .
. .
题型解析
03
题型1 利用正弦定理解三角形
1 已知两角与任意一边解三角形
例11 ［教材改编P4例1］在中,已知， ， ,求, .
思路一
思路二
【解析】 , ,
.
由得 .
（【解题技巧】, ,这两个角的三角函数值应用较多，注
意记忆） ,
.
. .
设外接圆的半径为 ，
则 .
易知 ,
,
.
已知两角与任意一边解三角形的方法
事实上，解三角形本质上就是解基于边角的内蕴方程，已知三角形的两角与任意一
边解三角形的方法如下:
（1）由三角形内角和定理 可以计算出三角形的第三个角;
（2）由正弦定理 可计算出三角形的另两边.
【变式题】
1.(2025·吉林省长春市第八中学期中)的内角，，的对边分别为，， ，
若，，，则 ___.
【解析】 （利用正弦定理） 因为，，所以 ,
（根据勾股数， 可快速得到对应三角函数值.），从而
.
由正弦定理，得 .
. .
. .
. .
. .
图D 9.1.1-1
（数形结合） 如图D 9.1.1-1所示，作于点 ,由
,，知, .
又，所以，从而 .
故 .
2 已知两边与其中一边的对角解三角形
例12 已知中的下列条件，判断 是否有解,有解的解三角形.
（1）,, ;
【解析】， ， ,与三角形内角和为 相矛盾，故三
角形无解.
（2）,, ;
【解析】由正弦定理得，即 ，故三
角形无解.
（3）,, ;
【解析】由正弦定理得，
,
又, , 三角形有一解，
（大边对大角，由于，因此 只能为锐角）,
,
.
. .
（4）,, .
【解析】由正弦定理得， ，
或 ，均满足条件 ,
三角形有两解.
当 时， ，
;
当 时， , .
故 , ,或 , , .
易错警示在 中,已知两边和其中一边的对角解三角形时，可先用正弦定理求
出另一边对角的正弦值，此时解的个数可能不确定，应注意分析、讨论，避免漏解
或产生增解.
已知两边与其中一边的对角解三角形的方法
（1）用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值；
（2）若所求另一角的正弦值大于0且小于或等于1，则当已知的角不是直角时，利用
三角形中“大边对大角”看能否判定另一边所对的角是锐角，当已知的角为大边所对
的角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能
判断，此时就有两组解，分别求解即可；
（3）由三角形内角和定理求出第三个角；
（4）根据正弦定理求出第三条边.
【变式题】
2.(2025·重庆市渝高中学校月考)在中，,,,则 等于
( )
C
A. 或 B. C. D.
【解析】由,得， ,
由正弦定理得.又，所以,故 .
题型2 利用正弦定理实现边角互化
1 利用边角互化解三角形
例13 (2025·河北省承德市双滦区实验中学月考)在锐角三角形中，， 所对的
边分别为,.若 （要求的值，可考虑化边为角），则 等于( )
A
A. B. C. D.
【解析】 等价于 ，
由正弦定理，可知 ，
又为锐角三角形，所以 .
. .
因为 （关于边的齐次式），
所以,为外接圆半径 ，代入
题干等式，消去 即可得到该式.一般地，当等式两侧边或角的正弦次数相等时，可
进行边角互化解题 ,
又,所以 ,
又为锐角三角形，所以 .
. .
. .
例14 已知，，分别是的内角，，的对边，若 的周长为
，且（要求的值,考虑化角为边），则 ( )
B
A. B.2 C.4 D.
【解析】 （关于角的正弦的齐次式）， ，
又的周长为 ，
，解得 ．
. .
. .
边角互化是正弦定理非常重要的应用.这类需要在解题过程中将条件中的边角关系转
化为角的关系或边的关系的题目在高考中相当常见，因此要熟悉利用边角互化解三
角形的考题的特征.一般来说，当条件中含有特殊数，如 （往往和特殊角有关），
或者齐次特征明显时，常通过边角互化来解题.
【变式题】
3.已知在中，内角，，所对的边分别为,,，且 ,若
，,则 为( )
B
A. B. C. D.
【解析】 因为 ,
所以由正弦定理得 ,
又 ,
所以 .
由于,所以,所以 .
又,,所以 ,
即 ,整理得 ,
又,所以 ,
所以,所以 .
因为，所以 ,
又,,所以 ，
又,所以 .
因为,由正弦定理得 ,
又 ,
所以 .
由于,所以,所以，所以 .
2 利用边角互化判断三角形形状
例15 [教材改编P9例3]在中，，则 一定是( )
B
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
【解析】 在中， ,
由正弦定理可得（化为边角）,又,等式两边同除以
可得, ,
一定是直角三角形.
【另解】由，得,又,,
. .
. .
例16 在中，若,且，试判断 的
形状.
【解析】 ,
根据正弦定理可得 ,
是直角（此时题干条件还未用完,注意进一步探讨）， ,
, .
, , ,
故 是等腰直角三角形.
. .
,
根据正弦定理可得, 是直角.
, ,
, .
又 ， ， ，
, ，即 ,
故 是等腰直角三角形.
名师点评 判断出三角形为直角三角形后，不要匆忙下结论，还要进一步讨论它是否
为等腰直角三角形.同理，判断出三角形为等腰三角形时，也要进一步讨论它是否为
等腰直角三角形或者等边三角形.
. .
利用正弦定理判断三角形形状的常用方法
1.化边为角.先利用正弦定理将题目中的条件化边为角，再根据三角函数的有关知识
得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状注意：若,则 或
.
2.化角为边.利用正弦定理将题目中的条件化角为边，得到边的关系如 ,
，进而确定三角形的形状.
【变式题】
4.(2025·广东省广州市第六中学期中)在中，角，，的对边分别是,, ，
若,则 的形状是( )
D
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
【解析】已知 ,由正弦定理得
,所以
,即 ，所
以或 由，得或或 （舍去）,
故 的形状可能是等腰三角形或直角三角形.故选D.
题型3 与三角形面积有关的问题
1 解三角形求面积
例17 在中， ,,,则 的面积等于_____.
【解析】 （先求出已知两边的夹角，再利用三角形的面积公式
求解）
在中，根据正弦定理，得,即，解得 .
因为 ,所以 ，所以 ，
所以的面积 .
（先判断三角形的形状，再利用三角形的面积公式 底×高求解）
在中，根据正弦定理，得，所以，解得 .因为
,所以 为直角三角形，所以 ，
所以的面积 .
. .
2 由面积解三角形
例18 在中，内角，，所对的边分别为,,.已知 .
（1）证明： ；
【解析】由正弦定理得,即 因为
的右端为 ,联想到两角和的正弦公式，所以将
转化为 ，
于是 .
又，,所以 ,
所以或 ,
因此 （舍去）或，所以 .
. .
（2）若的面积,求角 的大小.
【解析】由得 ,由正弦定理,
得 ,
因为,所以 .
又,,所以 .
当时， ；
当时，由 且,得 ，又 ，
得,即， .
综上，或 .
. .
知识拓展
与三角形面积有关的公式
1.（其中,,分别为边,, 上的高）.
2. .
3.（其中,分别为的内切圆半径及 的周
长）.
4.（其中为 外接圆的半径）.
5.海伦公式：其中 （海伦公式
只需了解即可）
【变式题】
5.(2025·山东省滨州市月考)在中，,,,则 的面积
为_____.
【解析】在中，, ,
.
6.(2025·四川省成都市第七中学入学考试)已知的内角，， 的对边分别为
，，，已知， .
（1）求 ；
【答案】由 ，
得 ，
即，由，故 ，
故，又，故 .
（2）若的面积为2，求 .
【答案】由， ，
故 ，
解得 .
题型4 正弦定理与三角恒等变换的综合应用
1 三角形中的射影定理
母题 致经典·母题探究
图9.1.1-7
在中，角,,的对边分别是,,,易知 ，
则,即 ，由三角
形的正弦定理可得 ,同理可得
, .
. .
. .
我们也可由图形直接得到上述结论，如图9.1.1-7（钝角三角形和直角三角形类似可
证），在中，是边上的高，则, ，从而
.同理可得, .
我们称上述结论为三角形中的射影定理.
教材深挖：教材第10页【例5】用向量法也给出了证明，以三角形中的射影定理为背
景的考题较多，利用该结论，可以快速解答选择题和填空题，节省考试时间.
例19 (2025·云南省昆明市第十中学月考)的内角，，的对边分别为,, ，
若，则 __.
【解析】 （通解） 由已知及正弦定理得,
，因此 ，又
，所以 .
（秒解） 因为 ,由三角形的射影定理可知
,所以,所以,又 ,所以 .
子题
子题1 在中,角,,所对应的边分别为,,.已知,则
___.
2
【解析】由三角形的射影定理可知,则,于是 .
子题2 在中，角，，的对边分别为,, .若
，且,则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】由,得 ,由三角形
的射影定理可知，故，又 （利用“大边对大角”判
断为锐有），则 .
. .
2 基于隐含条件达成减元
例20 (2025·广东省广州市第十六中学质量检测)已知,,分别为三个内角, ,
的对边,，则 ( )
B
A. B. C. D.
给什么得 什么
求什么想 什么
差什么找 什么
【解析】由正弦定理及 ，
可得 ，
又，则 ，
于是 ，
整理可得 ，
即 .
因为，所以 ,
所以 ，
即，于是 .
又，所以，即 .
名师点评 本题有一定的难度，一方面的原因是考生虽然实现了边化角，但是面对整
个式子中同时有,, 时不知道如何减元，其实减元的关键是注意到主体
角是，而目标角是，结合在三角形中始终有一个隐含条件 和互补
两角的正弦值相等，将转化为 并展开化简，最后获解；另一方面的
原因是考生注意到 ，然后就
不知道如何处理了.本题是在正弦定理工具背景下考查三角恒等变换较好的例子，同
学们可以好好体会其中减元的处理方式.
例21 在中，角，，所对的边分别为，，，若， ，
角是锐角，则 周长的最大值为( )
D
A. B. C. D.
【解析】由正弦定理，得 ，
又，所以 ，
又是锐角，所以 .
由正弦定理，得 ，
可得
（在处理与三角形有关的最值问题时，我们一般把所求式子转化，通
过三角恒等变换化为关于某一内角的三角函数式，再结合该内角的范围求最值） ，
当，即时，取得最大值，为，所以 周长的最大值为
．
. .
正弦定理是研究三角形中边角关系的工具，对于正弦定理与三角恒等变换的综合问
题，一般是基于三角形内角和定理展开的，解题时注意利用相应半角的互余关系
如、角的互补关系如 达到减元的目的.
【变式题】
7.(2025·湖南省永州市明德湘南学校期末)已知锐角的内角，， 的对边分别
为，，，若，，则的周长取得最大值时 的面积
为( )
A
A. B. C. D.4
【解析】由正弦定理知，,又 ,
，, .
为锐角三角形，, .
,, ,
的周长为 .
当,即,为等边三角形时， 的周长取得最大值，此时
的面积 .
题型5 正弦定理在几何图形中的应用
例22 设为的内心，延长线段交线段于点，若 ，则
( )
B
A. B. C. D.
【解析】如图9.1.1-8所示，
图9.1.1-8
由正弦定理，知在中， ①,
在中， ②.
为的内心，即平分 ，
，
由,得 ，
故 .
知识延伸 本题的命制背景是三角形的内角平分线的性质：三角形两边之比等于其夹
角的角平分线分对边之比，即若的角平分线与边交于点，则 .
事实上，三角形外角平分线也有类似性质，即若的外角平分线与直线 交
于点，则 .
新考法 情境应用
图9.1.1-9
例23 新情境 黄金分割 (2025·辽宁省实验中学期中)德国著名的
天文学家、数学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，
一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金
矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，
其中底长与腰长之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的
D
A. B. C. D.
三角形，它是顶角为 的等腰三角形（另一种是顶角为 的等腰三角形）．例
如,五角星由五个黄金三角形与一个正五边形
组成，如图9.1.1-9所示，在黄金中， .根据这些信
息，可得 ( )
【解析】在 中，由正弦定理可知,
，
,
素养提升 通过引入黄金三角形，考查正弦定理的应用，从而开拓学生的数学视野，
激发学生的数学学习兴趣，提升数学学科核心素养.
则 .
高考考向分析
04
考情揭秘
高考对正弦定理的考 查主要涉及边角互化,除直接考查利用正弦定理解三角形外,还
常与三角恒等变换和几何图形中的相关计算相结合进行考查.命题题型有选择题、填
空题、解答题.以中等难度试题为主.
核心素养：数学运算（求角、求边、求面积）、直观想象（画出图形，依据图形构
建等式或不等式）.
考向 正弦定理与三角恒等变换的综合
例24 ［多选题］(2025· 全国一卷)已知的面积为 ，
， ,则( )
ABC
A. B.
C. D.
【解析】 ，
（发现所给式子中有, ，考虑利用二倍角公式化简变形）
所以 ，故A正确.
令,,,则为的外接圆半径 ,由
,得 .（该式子包含两种情况，需要分类讨
论）
若,则角为锐角，则,即 ，则
,所以 ,矛盾.
故,即，所以 ,又
,所以 .因为
,所以,所以 ,所以
,所以 ，故B正确.
,
所以 ，故C正确.（一般情况下，多选题各个选项之间有关联，所以
利用选项A及选项B中所得结论可以作出判断）
，故D错误.（由B选项可知， 为直角三角形，利用
勾股定理即可判断）
例25 (2023·全国乙卷)在中，内角,,的对边分别是,, ,若
,且，则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】因为 ,所以由正弦定理得
，则.在 中，
，则,.所以 .
例26 (2024· 新课标Ⅱ卷)记的内角,,的对边分别为,, ,已知
.
（1）求 ;
【解析】 （辅助角公式） 由，得 ，
所以 .
因为 ，所以 ，
所以，故 .
（同角三角函数的基本关系） 由 ，
又，消去 得，
，
解得，又，故 .
（2）若,，求 的周长.
【解析】由和正弦定理得， ，
又,，则，进而，得到 ，于是
，
所以
（【注意】解答题需写出 的计算过程）,
由正弦定理 ，
可得，解得, ，
故的周长为 .
. .
命题 探源 素养 探源 素养 考查途径
数学运算 求解三角形边长及角度.
逻辑推理 三角恒等变换及正弦定理运用.
变式探源 (2023· 新课标Ⅰ卷)已知在中，， .
（1）求 ;
【解析】在中， ,
因为，所以,所以 .
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
易得 ,
所以 ，
又，所以 .
（2）设,求 边上的高.
【解析】由（1）知，，所以为锐角，所以 ，
所以 ，
由正弦定理 ，
得 ，
故边上的高为 .
高考新题型专练
1.［多选题］(2025·河南省郑州市月考)符合下列条件的 有且只有一个的是
( )
AC
A.,, B.,,
C., D.,,
【解析】对于A，由正弦定理得,所以，又,所以 ，
所以满足条件的三角形只有一个；
对于B， ,构不成三角形；
对于C，,所以 , ，所以满足条件的三角形只有一个；
对于D，,所以,而 ，所以没有满足条件的三角形.
2.新考法 结构不良 (2025·山东省淄博市期中)在条件 ，
， 中任选一个，补充在下列问题中，
然后解答补充完整的题目．
已知,,分别为锐角的三个内角，，的对边， ，而且____．求角
的大小．
【答案】选取条件①：，由正弦定理得 ，
为锐角，，，又为锐角，故 .
选取条件②： ，由正弦定理得
，
为锐角，， ，
又为锐角，解得 .
选取条件③：,由正弦定理得 ，即
，
，为锐角，， ，
又为锐角，故 .
知识测评
05
建议时间：25分钟
1.在中，角，，所对的边分别为,,，,，则
的面积为( )
A
A. B. C.1 D.2
【解析】由，得,解得或
（舍去）,所以 .
2.在中，角，，所对的边分别为，，，， ， ，
则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】因为， ， ，所以由正弦定理 ，可得
，解得 ．
3.(2025·浙江省湖州市月考)在中，已知，则该 的形状
为( )
D
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.正三角形 D.等腰或直角三角形
【解析】化为 ，
,,, ,
,即 ,
,至少有一个是锐角,,, ,
即或 ,或 ,
故 是等腰三角形或直角三角形.
4.已知半径为4的圆的内接三角形的面积是，中角，， 所对的边
依次为，，,则 的值为( )
A
A.1 B. C.2 D.4
【解析】由三角形的面积公式,得 .
由正弦定理可知，， .
5.在中，角,,所对的边分别为,,，已知, ,则 _______
_______.
或
【解析】, , 由正弦定理，可得 ,又
, 或 .
6.中,角，，所对的边分别为,,.已知, ,
,求和 的值.
【答案】 在中,由,得 .
由 ，得 .
根据,得,所以为锐角, ,
所以 .
由正弦定理得,又,所以 .
.
由得，代入上式可得 ，即
，结合，解得或
（舍去）.因为 ,
所以由正弦定理得,又，所以 .
高考模拟
06
建议时间：35分钟
7.已知的内角,,的对边分别为,,，，且 ．若
，是上的点，平分，则 的面积为( )
B
A. B. C. D.
【解析】由正弦定理知， ，
， ，
， ，
， ．
又平分，由角平分线定理知， ，
．
8.(2025·湖南省永州市月考)在中，角，，的对边分别为,,.若 为
锐角三角形，且满足 ,则下列等式成立的
是( )
A
A. B. C. D.
【解析】 由题可知 ，即
，又，故，由正弦定理可知 .
,由正弦定理化角为边，可得
（任意三角形射影定理），所以
，因为，所以 .
. .
9.［多选题］(2025·江苏省南京市五校共同体月考)在 中，根据下列条件解三角
形，其中无解的是( )
AC
A.,, B.,,
C.,, D.,,
【解析】对于选项A，由正弦定理，得 ，所以此三
角形无解，满足题意；
对于选项B，由正弦定理，得，且 ，故此三
角形有两解；
对于选项C，由正弦定理，得 ，此三角形无解,
满足题意；
对于选项D，由正弦定理，得，且 ，所以
， ，此时三角形的解只有一解.
故选 .
10.[多选题]在中，角，，所对的边分别为，，，， ，
且的面积．若符合条件的有两个，则 的可能值是( )
BC
A.2 B. C. D.4
【解析】因为，且 ，所以 ，
即.因为，所以 .
若符合条件的有两个，则 ，
则，结合选项可知，的值可能为， .
故选 ．
11.(2025·福建省莆田市期末)的内角,,的对边分别为,, .已知
,则 ___.
【解析】 由已知及正弦定理得 ，即
，则.又 ，所以 .
由正弦定理得，又 ，所以
，即 ，
则.又 ，所以 .
12.在中， ,,,点在线段上.若 ,则
_ ____， ____.
【解析】在中，易得（由勾股数(3,4,5)可得）， .
在 中，由正弦定理得
.又
，所以 .
. .
13.在中，已知,且 .
（1）试确定 的形状；
【答案】设外接圆的半径为，根据正弦定理，得, ,代入
,
得, ①.
, ,
， ，
，代入化简即得
. .
. .
即 ,
②.
把②代入①，得，即 .
故 是直角三角形．
（2）求 的取值范围.
【答案】由（1）知,, ，
.
根据正弦定理得 ,
,
,
,即的取值范围是（1, .
14.新考法 结构不良 已知满足 ___，且，,求的值及
的面积.（从，， 这三个条件中选一个，补充到上
面问题中，并完成解答）
【答案】选择①时,, ，故
.
由得， ，
故 .
选择②时，，，故，又 为钝角，故无解.
选择③时，，由，得 ，
解得 ，
.
根据，得 ，
故 .
15.在锐角中，,且,,为,, 的对边.
（1）求 的值；
【答案】由为锐角三角形可得，于是 .
（2）若，试求当取得最大值时，的面积 的值.
【答案】由正弦定理得，则,,
易知取得最大值即 取得
最大值.
（辅助角公式）
,因此当时， 取得最大值，
最大值为,则 取得最大值，为1，此时
.
. .
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高二下学期数学人教B版必修第四册