9.1 正弦定理与余弦定理-9.1.2 余弦定理 课件(共137张PPT)-2025-2026学年高二下学期数学人教B版必修第四册
文档属性
| 名称 | 9.1 正弦定理与余弦定理-9.1.2 余弦定理 课件(共137张PPT)-2025-2026学年高二下学期数学人教B版必修第四册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 7.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-16 00:00:00 | ||
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文档简介
(共137张PPT)
9.1 正弦定理与余弦定理
9.1.2 余弦定理
第九章 解三角形
高二下学期数学人教B版必修第四册
目录
课标要点
03
01
02
04
必备知识解读
题型解析
高考考向分析
06
高考模拟
05
知识测评
学习目标
01
必备知识解读
02
知识点1 余弦定理
1 余弦定理
文字表述 三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角
余弦的积的2倍.
公式表述 , ,
.
另一种形 式 ，, .
适用于已知三边来确定角的问题.
2 余弦定理的证明
图9.1.2-1
证明：如图9.1.2-1所示，注意到,,, ,
所以, ,而且
类似地，可得, .
，因此,又 ,因此
.
3 余弦定理在解三角形中的应用
利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题：
（1）已知三边，解三角形；
（2）已知两边和它们的夹角，解三角形.
特别提醒
1.余弦定理把用“边角边”和“边边边”判定三角形全等的定理从数量化的角度进行
了刻画，使其变成了可以计算的公式.
2.因为余弦函数在,上单调递减，所以由确定的角
是唯一的，因此用余弦定理求解三角形的内角时就不必分类讨论了.
典例详解
例1-1 (2025·河南省许昌高级中学月考)在中，角，，的对边分别为 ，
，，若，则角 的值为( )
A
A. B. C.或 D.或
【解析】由余弦定理知,又 ,故 .
例1-2 [教材改编P9例1] 的内角，，的对边分别为,,.已知 ,
,，则 ( )
D
A. B. C.2 D.3
【解析】在中，由余弦定理，得 ，
整理得 ，
解得或 （舍去）.
点评 利用余弦定理求边长，实质上是解一元二次方程.解题时，应根据已知条件对
方程的根进行取舍.
释疑惑 重难拓展
知识点2 余弦定理与勾股定理之间的关系
教材链接：第11页【练习A】第1题.
1.勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般
三角形中三边平方之间的关系.
2.由余弦定理和余弦函数的性质，我们可以判断三角形的形状,以
为例：
为锐角， ,即
为直角， ,即
为钝角， ,即
由上可知，余弦定理也是用边长之间的关系去判断三角形的形状，从这个意义
上讲，勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.
典例详解
例2-3 已知锐角三角形的三边长分别为2，5，，则实数 的取值范围是( )
B
A. B.， C. D.
【解析】由题意得
解得 ．
知识点3 解三角形问题的类型与解法
正弦定理、余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素，如果其中三个
元素是已知的（至少要有一个元素是边），那么这个三角形一定可解.
关于斜三角形的解法，根据已知条件及适用的定理，可以归纳为以下四种类型:#1.1
类型 一般解法 解的个数
已知两角及一 边，如,, （1）由 ,求出 ； （2）根据正弦定理及求， . 一解
类型 一般解法 解的个数
已知两边和它 们的夹角，如 ,, （1）根据余弦定理 ，求出边 ； （2）根据，求出 ； （3）根据，求出 . 求出第三边后，也可用正弦定理求角，这样往往可以使 计算简便，应用正弦定理求角时，为了避开讨论 （因为正弦函数在区间 上是不单调的），可先求 较小边所对的角，它必是锐角. 一解
续表
. .
类型 一般解法 解的个数
已知三边 可以连续用余弦定理求出两角，再由 求出第三个角. 也可先由余弦定理求出一个角，然后根据正弦定理求出 第二个角（先求较小边所对的角），最后由 求出第三个角. 一解
已知两边及其 中一边所对的 角，如， ， （1）根据正弦定理，经讨论求 ； （2）求出后，由 求 ； （3）再根据正弦定理求出 . 也可以先根据余弦定理，列出关于 的一元二次方程 ，解一元二次方程，求出 ，然后应用正弦定理或余弦定理求出其他元素. 两解、一
解或无解
续表
. .
典例详解
例3-4 [教材改编P11T5] 已知中，,求 中各角的
度数,并判断 的形状.
【解析】由已知 ,
令,,（由比例的性质引入参数,用表示,,） ,
由余弦定理，得 ，
, .
. .
,
, .
.
故 为锐角三角形.
由 ,
得（一定要先求小边所对的角） ，
又 ，且， ,
.
故 为锐角三角形.
. .
归纳总结 三角形是否唯一确定可以利用初中所学的三角形全等的判定定理来判断.
条件 三角形形状
已知两角和一边或 唯一确定
已知两边及其夹角 已知三边 已知两边和其中一边的对角 不能唯一确定
题型解析
03
题型1 利用余弦定理解三角形
1 已知三边解三角形
例5 在中，角，，所对的边分别是，，．若，， ，
则 __.
【解析】，， ，
由余弦定理可得
, .
又 ， ．
例6 [教材改编P11 T4]已知三角形的三边长分别为，， ，则该三角
形的面积为( )
B
A. B. C. D.10
【解析】设边，，所对的角分别为,,，则由余弦定理可得 （求任一内角
的余弦值均可），从而 ，
三角形的面积 .
名师点评 已知三边求三角形的面积可以用海伦公式来求解，同学们可以尝试一下.
. .
2 已知两边及其夹角解三角形
例7 (2026·四川省平武中学入学考试) 在中，,, ,则
( )
A
A. B. C. D.
【解析】因为 ，所以由余弦定理，得
，所以
.
3 已知两边和其中一边的对角解三角形
例8 ［多选题］在中,角,,的对边分别为,,，已知 , ,
,则 的面积可能为( )
BC
A. B. C. D.
【解析】 （余弦定理） 由，得 ，
（【解题方法】通过余弦定理构建关于边的一元二次方程，解方程即可得边长）
解得或 .
当时，；当时， .
. .
（正弦定理） 由,得, .
或 （均满足），或 .
或
.
名师点评 已知三角形的两边和其中一边的对角时，有时会产生两个解,因此要注意
检验，以免产生增解.
. .
4 已知三边间关系求角
例9（1）(2025·山东省日照市开学考试)的内角,,的对边分别为,, .若
的面积为，则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】根据题意及三角形的面积公式知 ，所以
，
（【想一想】为什么选用此公式？由联想到余弦定理 ，
因此选用含 的面积公式）
又角为的内角，所以 .
. .
（2）在中，角，，的对边分别为,,，若满足 ,则角
的大小为_____.
【解析】 （余弦定理） ,
,
整理可得,,又 ,
.
（正弦定理） 由正弦定理可得 ,又
, ,又
,, , .
当题干中给出,, 三边关系时，我们往往可以通过运算得到形如“
”的形式，进而利用余弦定理即可求出相应角的余弦值.若所给关
系式中含有某个角的余弦，我们可以考虑先使用余弦定理，将该角的余弦转化为三
边间的关系，再进行化简，根据化简所得结果进行求解.
【变式题】
1.(2025·天津市南仓中学月考)已知的内角，，所对的边分别为，， ，
设向量，，若，则角 的大小为( )
B
A. B. C. D.
【解析】，， ，
，即 .
由余弦定理得 .
， .
题型2 利用正、余弦定理实现边角互化
1 利用边角互化解三角形
例10 的三个内角，，所对的边分别是,,，若 ，则角
的大小为( )
B
A. B. C. D.
【解析】由正弦定理可将 化为
,整理可得 ,
由余弦定理可得 ,
, .
例11 在中，角,,的对边分别为,,，已知 ，且
,则 的值为___.
4
思路点拨 “”（条件一）含有边的平方项，“ ”
（条件二）含有正、余弦，因此可以考虑将条件二中的角转化为边，实现与条件一
的融合，也可以利用余弦定理实现边到角的转化.
【解析】 在中，因为 ，则由正弦定理及余
弦定理有 ，
化简并整理得 .
又，所以 ，
解得或 （舍去）.
由余弦定理得 .
因为,，所以 ①.
又 ，
所以 ，
从而，即 .
由正弦定理得，故 ②.
由①②解得 .
名师点评 解此类边角混合条件的题目时要注重分析条件与结论在式子结构、角、函
数名称等方面的差异，合理利用正弦定理与余弦定理，以及三角形内角和定理进行
边角转化，将条件统一成边的条件或角的条件．
边角互化是利用正、余弦定理解三角形的重要途径.一般地，若条件式含有角的余弦
或角的正弦齐次式，则可用余弦定理或正弦定理化角为边；若条件式含有边的二次
式或条件式等号两边为齐次式，则可利用余弦定理或正弦定理化边为角.通过边角互
化，可使边角关系具体化.
【变式题】
2.在中，角，，所对的边分别为,,.若 ，
，则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】由, 结合正弦定理，可得
,，所以 ，又
,所以 .
2 利用边角互化判断三角形的形状
例12 (2025·云南省丽江市第一高级中学月考)在中，角，， 所对的边分别
为,,，，,则 是( )
D
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
【解析】 （利用边的关系判断） 由 可得
,
.
又 , .
, （正弦定理）.
又, ,
,, 为等边三角形.
. .
（利用角的关系判断） ，
,
,
, .
, ,
,
，即 .
又, ,
. , ,
为等边三角形.
判断三角形形状的方法
在判断三角形的形状时，一般考虑从两个方向进行变形:一个方向是边，走的是代数
变形的途径，通常是正、余弦定理的综合应用；另一个方向是角，走的是三角恒等
变换的途径.充分利用正、余弦定理进行边角互化，由三角形的边或角的代数运算或
三角运算，发现边与边或角与角的关系，从而做出正确判断.
. .
. .
. .
. .
【变式题】
3.在中，已知角,,的对边分别为,, ，且
,则 是( )
B
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
【解析】 （角化边） 因为 ，
所以 .
根据余弦定理可得
，
即 ，
所以 为直角三角形.
（边化角） 因为 ，所以由正弦定理得
，
即，得 ，
所以 ，所以 为直角三角形.
题型3 正、余弦定理下的几何图形的计算
1 三角形中的问题
例13 (2026·河北省石家庄市第三十八中学开学考试)记的内角,, 的对边分
别为,,.已知,点在边上,
（1）证明: ;
【解析】因为，所以由正弦定理得,，又 ，
所以 ,
又，所以 .
（2）若,求 .
【解析】因为 ，如图9.1.2-2，
图9.1.2-2
在中， ①,
在中， ②.
由①②得，整理得 ．
又，所以 ，
解得或 .
当,时， （舍去）．
当, 时，
．
所以 ．
名师点评 题目出现多个三角形时，要弄清楚各三角形中的边角关系，分析已知和未
知的关系，合理选择正弦定理与余弦定理来求解.
2 平面多边形中的问题
例14 (2025·江西省上饶市期中)如图9.1.2-3所示,在平面四边形中, ,
,, ．
图9.1.2-3
（1）若,求 ；
【解析】在中，由正弦定理得,即 ,解得
．
（2）若,求 ．
【解析】设,,在中, ,
.
在 中,由余弦定理得
．
又 ,
所以 （此类题经常利用公共边创造的互余关系列式，体现了方
程思想的应用）,即 ，
整理得,解得或（舍去）,即 ．
. .
正、余弦定理本身是研究几何图形计算的工具，因此在面对几何图形时，关键是寻
找相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定理，特别是涉及公共边时，要利用
公共边来进行过渡,即利用公共边创造的互补或互余关系列式，其本质是构建关于角
的关系的方程.
【变式题】
图9.1.2-4
4.(2025·北京市顺义牛栏山第一中学月考)如图9.1.2-4，在
中，,,点在边上，且， .
（1）求 ;
【答案】在 中，
因为,所以 ，
所以 .
（2）求 的值.
【答案】在中，由正弦定理得 ，
所以 .
在 中，由余弦定理得
，所以
，所以 .
题型4 余弦定理工具下的三角恒等变换
母题 致经典·母题探究
倍角关系下的边角关系
例15 (2022·全国乙卷)记的内角，，的对边分别为,, ,已知
.
（1）若,求 ;
【解析】由， 可得 .
将代入可得 ，
因为，，所以 ，
又,，所以 ，即 ，
与联立，解得 .
（2）证明: .
【解析】 由 可得，
，
由正弦定理可得， ，
即 .
由余弦定理得，,, ，
代入（*）式并整理得， .（【另解】也可以利用三角形的射影定理，
将（*）式左边化为 ，然后利用余弦定
理将（*）式右边化为 ，联立即可得证）
因为 ，
所 ，
，
又 ,
所以 ，
由正弦定理可得 .
子题
(2025·广东省深圳市期中)设
（1）求 的值；
【解析】因为,所以 ,
由正、余弦定理可得 ,
因为,,所以,从而 .
（2）求 的值.
【解析】由余弦定理得 ,
由于 ,
所以 ,
故 .
余弦定理与同角三角函数基本关系、两角和与差的三角函数、向量等知识综合命题
是高考的一种趋势.通常此类问题的第一问考查正弦或余弦定理，一般是利用定理进
行边角互化求解;第二问通常求最值、面积，一般需利用向量运算、三角恒等变换等
来化简函数解析式，或用正弦或余弦定理、三角恒等变换的思想将有关问题转化为
某一个角的三角函数，再利用相应公式及性质求解.
【变式题】
5.(2025·甘肃省武威市第八中学期末)在中,，，所对的边分别为,, ,已知
.
（1）求 的大小；
【答案】由已知及三角形内角和定理得
，即
.
因为,所以 .
又,所以.又 ,所以 .
（2）若,求 的取值范围.
【答案】因为, ,所以由余弦定理,得
.
又,于是有,解得 ,
即的取值范围为 .
题型5 正、余弦定理与向量的综合应用
例16 (2025·江苏省无锡市天一中学检测)在中，，，分别为，， 的对
边，为的外心，且有， ，若
，，，则 ( )
A
A.1 B. C.0 D.
【解析】 ,
,
即 ,
,可得,又, ,
,
, , .
图9.1.2-5
如图9.1.2-5,为的外心,为 的中垂线，
（【知识回顾】三角形三边垂直平分线的交点为三角形的外心）
又为等腰三角形，且 ,
, 均为等边三角形.
若 ,
则 ,
,化为 ①.
,
,化为 ②.
由①②解得, ,
.
在平行四边形中，,又 ,
,（【依据】平面向量基本定理中的唯一性）, .
. .
题型6 三角形的周长问题
1 求周长
例17 (2025·河北省唐县第一中学期末)在中， .
（1）求 ;
【解析】因为 ，
所以 ，
因为，所以 ，
所以， .
（2）若,且的面积为，求 的周长.
【解析】因为的面积，所以 .
由余弦定理可得，所以 ，所以
的周长为 .
2 与周长有关的最值（取值范围）问题
例18 (2025·山东省济南市济北中学月考)记的内角，，的对边分别为 ，
，，已知 ．
（1）求角 的大小；
【解析】因为 ,
所以 ,
故 ,
即,故 ,
结合,故 .
（2）若，求 周长的取值范围．
【解析】因为,所以,即 .
由余弦定理得
,
解得,故,当且仅当 时，等号成立.
综上可知，的周长的取值范围是, .
求三角形周长问题的基本思路
求解此类问题，一般需要综合利用正、余弦定理的相关知识求出三边的长或者得到
与三边有关的关系式，解题时注意整体思想的应用.
求最值（或取值范围）时，通常需要构造目标函数，利用基本不等式或函数性质求解.
【变式题】
6.(2025·福建省漳平第二中学月考)已知的内角,,所对的边分别是,, ,
.
（1）求角 ；
【答案】因为 ，
故由正弦定理可得 ，
即 ，
由余弦定理得 ，
又，所以 .
（2）若外接圆的直径为2，求 周长的取值范围.
【答案】 因为外接圆的直径为 ，
所以由正弦定理得，则 ，
由余弦定理得 ，
所以 （【学以致用】利用基本不等式求解），所以
，
即，当且仅当 时，等号成立，
由三角形性质知,所以，所以 ，
（取等号时， 为等边三角形）
故周长的取值范围为 .
. .
因为外接圆的直径为 ，
由正弦定理得，则 ，
，
因为，可得 ，
所以 ，（【学以致用】利用函数的单调性求解）
所以，故周长的取值范围为 .
新考法 情境应用
图9.1.2-6
例19 新情境 八卦图 《易经》中记载着一种几何图形——八卦
图，图9.1.2-6就是根据八卦图设计出来的，图中正八边形代表八
卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代
表八卦田．某中学开展劳动实习，去测量当地某块八卦田的面积，
现测得正八边形的边长为，代表阴阳太极图的圆的半径为 ，
则每个小曲边梯形的面积为_______________ .
【解析】 如图9.1.2-7所示，设 ，
图9.1.2-7
因为，则在 中，由余弦定理可得
，解得 .
因为 .
所以每个小曲边梯形的面积 .
由题图可知，正八边形分割成了8个全等的等腰三角形，顶角为
， 设等腰三角形的腰长为，在中， ， ，
由正弦定理可得，解得 ，
所以一个等腰三角形的面积为
，
则每个小曲边梯形的面积为 ．
素养提升 本题由中国传统文化《易经》中的八卦图引入.近年高考多次引用中国传
统文化作为题目情境，主要考查学生对中国传统文化的了解及从题目情境中抽取有
用信息来解题的能力，培养了学生逻辑推理、直观想象等核心素养.
高考考向分析
04
考情揭秘
正、余弦定理是解决数与形的工具，是高考的“常客”.小题主要考查对这两个定理的
直接应用,涉及一些含有边角混合代数式的变形问题和三角形的面积计算问题等.解答
题往往考查三角恒等变换和解三角形.如果求边长或角,需要利用方程思想;如果求范
围或最值,需要利用函数思想或基本不等式.试题难度中等.
核心素养：数学运算（求角、求边长、求面积等），直观想象（画出图形，依据图
形构建等式或不等式），数学建模（借助正、余弦定理解实际问题）.
考向1 利用余弦定理解三角形
例20 (2025· 全国二卷)在中,,,,则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】，因为 ，所以.
（【秒解】根据边的大小关系排除，因为,,所以 为最小角，所以
，排除B,C,D,故选A）
例21 (2024·全国甲卷)在中，内角，，所对的边分别为,,，若 ,
,则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】由正弦定理得,因为，所以 .
由余弦定理得，所以 ，
所以 ，所以
，
又，，所以 .
考向2 正、余弦定理与三角形面积公式的综合
1 求三角形面积
例22 (2025·上海春季)在中，角,,所对的边分别为,,,且 .
（1）若,,求 的值；
【解析】因为,所以由正弦定理得，，则，即 ，
因为，所以 ，
又，所以，解得 ，
所以 .
（2）若，求 的面积的最大值.
【解析】由余弦定理得 ，（基本不等式）
当且仅当时，取得最小值 ，
，
显然为锐角，所以当取得最小值时，取得最大值 .
因为 ，
所以 ，
即的面积的最大值为 .
例23 (2023·全国乙卷)在中，已知 ，， .
（1）求 ;
图9.1.2-8
【解析】如图9.1.2-8，由余弦定理得，得 .
由正弦定理 ，
得 .
（【另解】根据余弦定理求 ，然后由同角三角函数的
基本关系求 ）
（2）若为上一点，且 ，求 的面积.
【解析】 第1步：结合角的正切值，直接求
由，得 ,
又，所以 ，
第2步：求 的面积
故的面积为 .
第1步：求 的面积
的面积为 ，
第2步：求与 的面积的比值
，
第3步：求 的面积
故的面积为 .
命题 探源 求三角形面积是正、余弦定理在高考中最常见的应用场景，主要考查利用 正、余弦定理进行边角互化和对三角形面积公式的熟练使用. 素养 探源 素养 考查途径
数学运算 三角形面积的求解.
逻辑推理 由三个正三角形面积之间的关系转换成 三条边的关系.
变式探源 (2022·新高考全国Ⅱ卷)记的内角,,的对边分别为,，,分别以 ,
,为边长的三个正三角形的面积依次为,,.已知, .
（1）求 的面积;
【解析】由，得
，即，又，所以 .
由，得或（舍去），所以 ，
则的面积 .
（2）若,求 .
【解析】由，及正弦定理知 ，
即，得 .
2 由三角形面积解三角形
例24 (2024· 新课标Ⅰ卷)记的内角，，的对边分别为，， ，已知
, .
（1）求 ；
【解析】由余弦定理得 ,
又 ， .
, ,
又 , .
（2）若的面积为，求 .
【解析】由（1）得 ，
由正弦定理，得 ，（【扫清障碍】）
.
的面积,解得 .
. .
考向3 正、余弦定理在几何图形计算中的应用
1 三角形中的问题
例25 (2023· 新课标Ⅱ卷)记的内角,,的对边分别为,,,已知 面积为
,为的中点，且 .
（1）若，求 ;
【解析】因为为 的中点，所以
,
（【小技巧】三角形的中线平分三角形的面积）
解得，所以， ．
因为，所以 ．
在中，由余弦定理，得 ,
所以 ．
在 中，由余弦定理，得
，所以 ．
在中，由余弦定理，得 ，所以
.
（【另解】在中，由正弦定理，得 ，所以
，所以 ）
所以 ．
（2）若，求, .
【解析】因为为的中点，所以 ．
因为 ，
所以 ，
则在与 中，
由余弦定理，得 ，
得 ，
所以，所以，所以 .
在中，由余弦定理，得 ,
所以 ，
解得 .
则由解得 ．
2 平面多边形中的问题
例26 (全国Ⅰ卷)在平面四边形中, , ,, .
（1）求 ;
思路点拨 在中，利用正弦定理，求出 ，利用大边对大角，判断出
的取值范围，再利用同角三角函数的基本关系，求出 ；
【解析】在中，由正弦定理得 ,
结合题设知，，所以 .
由题设知， ，
所以 .
（2）若,求 .
思路点拨 利用（1）的结果，求出 的值，再利用余弦定理即可求解．
【解析】由题设及（1）知， .
在 中，由余弦定理得
.
所以 .
考向4 正、余弦定理与三角恒等变换的综合
例27 (2025·天津)在中,角,,的对边分别为,,.已知 ,
, .
（1）求 的值；
【解析】因为,所以由正弦定理可得 ,因
为,所以,所以,所以 .
又,所以 .
（2）求 的值;
【解析】因为,, ,
所以由 ,
可得 ,
化简得，又，故 .
由,得 .
（3）求 的值.
【解析】由正弦定理,得 ,
解得 .
因为，所以 为锐角，
.
， .
所以
.
考向5 运动状态下的解三角形问题
母题 致经典·母题探究
命题探源 所谓运动变化，实质是题设提供的解三角形边角条件不足，导致三角形
只能局部可解，进而导致边或者角有范围或最值产生.对于这类问题要善于从函数的
视角来看待或者从不等式工具特征角度来看待.高考重视对局部可解三角形的研究，
重视从运动变化视角来考查.
例28 (2022·新高考全国Ⅰ卷)记的内角，，的对边分别为,, ,已知
.
（1）若,求 ；
【解析】因为 ，
所以，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为，所以 .
（2）求 的最小值.
【解析】由（1）得,则 ,所以
，
所以，且 ,
所以, ，
所以，解得 .
. .
由正弦定理得
，当且仅当 时取等号，
所以的最小值为 .
子题
(2022·全国甲卷)已知中，点在边上, ,, .当
取得最小值时， ________.
【解析】设,则 .根据题意作出大致图形，如图9.1.2-9.
图9.1.2-9
在 中，由余弦定理得
.
在 中，由余弦定理得
,则
,
（当且仅当，即 时等号成立）,
，
当取得最小值时， .
考向6 三角下的结构不良试题
例29 (2025·北京)在中，内角，,的对边分别为，，， ,
.
（1）求 ;
【解析】因为，,所以 ，由正弦定理知，
.
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得 存在,
求 边上的高.
条件 ;
条件 ；
条件的面积为 .
【解析】若选择条件 ，
由（1）知,所以 ，
又，所以为钝角， ，
此时 不存在，故不能选择条件①.
若选择条件 ，
则，,此时 存在.
设边上的高为，则，即边上的高为 .
若选择条件的面积为 ，
因为 ，
所以 .
由余弦定理可得 ，所以
.
设边上的高为 ，
则，得 ，
即边上的高为 .
例30 (2024·北京)在中,内角,,的对边分别为,,,为钝角, ，
.
（1）求 ；
【解析】由题知， .
又为钝角，所以 为锐角，
故，所以.又，所以.又 为钝
角,所以 .
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得 存在，
求 的面积.
条件①： ；
条件②： ；
条件③： .
【解析】若选①，结合（1）得,所以，, ,
则 不存在，所以条件①不符合要求，故不选择条件①.
若选②，由题知，又，即 ，所以
.
又，所以
.
所以 .
若选③，由题知，所以 .
由得，,即 ,
解得 （负值舍去）.
所以 .
高考新题型专练
1.［多选题］(2025·江苏省镇江市月考)在中，内角，， 所对的边分别为
，，，， ，则( )
BCD
A.为锐角三角形 B.当时，
C.周长的最大值为3 D.面积的最大值为
【解析】由，可得 ，化简
可得 .
因为，所以，可得，， 的大小不确定，可能为直角或钝
角，A错误.
当时，， ，B正确.
由，可得 ，变形可得
，解得，当且仅当 时取等号，所以
的周长 ，C正确.
由，可得，当且仅当 时取等号，所以
的面积，D正确．故选 ．
2.新考法 结构不良 (2025·北京市第三中学期中)已知在中， ，
.
（1）求 的大小；
【答案】因为,所以由正弦定理,得 ,
又，所以 .
因为，所以 ，
所以,即 .
（2）在三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求 边上的
中线的长度.
；②周长为；③面积 .
【答案】由题设及（1）知，，，所以,即 是等
腰三角形，且，所以，即 .
条件与 矛盾，故条件①不成立，所以不能选择条件①.
若选择条件②周长为，则，解得 ，
此时 存在且唯一确定，所以条件②满足题意.
图D 9.1.2-1
如图D 9.1.2-1,设为的中点，连接 ，在
中，,, .
由余弦定理，得
即，所以边上的中线的长度为 .
若选择条件③面积 ,则
，解得 ，此时
存在且唯一确定，所以条件③满足题意.
，
如图D 9.1.2-1，设为的中点，连接，在中，,, .
由余弦定理，得
，
即，所以边上的中线的长度为 .
知识测评
05
建议时间：25分钟
1.设的内角,,的对边分别为,,，若,,，则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】由余弦定理得， ，
.
2.(2025·北京市十一学校月考)在中，如果 ，， ，那
么 ( )
D
A. B.6 C.1 D.
【解析】在中， ，， ，由余弦定理可得
，所以
．
3.(2025·广东省广州市月考)设的内角，，的对边分别为，， .若
，，且，则 ( )
C
A.3 B. C.2 D.
【解析】由余弦定理，得 ，即
，所以，又，得 .
4.(2025·广东省茂名市期中)在中，三个内角，，所对的边分别为，， ，
若，则角 的大小为( )
D
A. B. C. D.
【解析】在中，根据 ，利用正弦定理可
得，即 ，
，又 , ．
5.(2025·甘肃省平凉市第一中学期中)的内角,,的对边分别为,, .已知
,,则 ( )
A
A.6 B.5 C.4 D.3
【解析】由题意及正弦定理得， ，所以由余弦定理得，
，得 .
6.(2025·陕西省西安市第八十三中学期中)中，角,,的对边分别是,, .已知
,,则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】由余弦定理得 ，所以
，所以，即，又 ，
所以 .
7.若锐角三角形的面积为,且,,则 等于___．
7
【解析】由已知得的面积为,所以 .
又为锐角三角形,所以 ,由余弦定理得
.
图9.1.2-1
8.如图9.1.2-1所示，已知在四边形中， ，
，， ， ，求 的
长．
【答案】设，在 中，由余弦定理得
，即
，
，舍去，即 .
在中，由正弦定理得 ，
.
高考模拟
06
建议时间：45分钟
9.(2025·广东省广州奥林匹克中学期中)在中，，边上的高等于 ,则
( )
C
A. B. C. D.
【解析】 设中角，，的对边分别是,, ，由题意可得
，则.在 中，由余弦定理可得
，则 .
由余弦定理，可得 .
设边上的高为，由得,.在 中，
，则 ，
结合同角三角函数基本关系可得 ,
又,所以 .
设边上的高为，则易求得,, ,
， .
在中，由余弦定理可得 .
设中角，，的对边分别为,, ，则由
，得 .
由正弦定理得，所以 ，展开整理得
，下同方法2.
10.［多选题］在中，角,,的对边分别为,,，若 ，且
，，则 的面积为( )
AC
A.3 B. C. D.6
【解析】 在中， ，
由余弦定理得 ，
整理得 ，
或 ，
或 （舍去）.
,,， ，
由余弦定理可得 ，
解得或 .
当时， ;
当时， ．
, ,
,或 ,或. ,
,,则 .
下同方法1.
11.［多选题］在中，内角，，所对的边分别为，， ．若
， ，则下列选项正确的是( )
ACD
A. B.
C. D. 为钝角三角形
【解析】由，得 ，
又 ，
两式作商得，所以 ，故A正确.
由，得 ，
由余弦定理，得 ,故B错误.
由，可得 ,故C正确．
由，可得 为钝角，故D正确.
12.(2025·江苏省南京外国语学校月考)的内角,,的对边分别为,, .若
,,，则 的面积为_____.
【解析】 因为,，，所以由 ，得
，解得，所以，所以 的面
积 .
因为,，，所以由 ，得
，解得，所以 ，所以
，所以，所以的面积 ．
13.(2025·北京市平谷区期中)若的面积为，且 为钝角，则
__; 的取值范围是________.
【解析】的面积 ，所以
.因为 ,所以.因为为钝角，所以 ,
，所以 ,所以,所以
，故 的取
值范围为 .
. .
14.(2025·福建省莆田市第一中学月考)的内角,,的对边分别为,, .已知
的面积为 .
（1）求 ;
【答案】由题设得,即 .
由正弦定理得,故 .
（2）若,,求 的周长.
【答案】由得,所以 ,
即 .
所以,故 .
由题设得,解得 .
由余弦定理得,即 ,
得 .
故的周长为 .
15.在中，，，分别是内角，，的对边．若 同时满足下列四个
条件中的三个：；；； ．
（1）请指出符合题意的三个条件，并说明理由；
【答案】符合题意的三个条件是②③④，理由如下：
条件，则或 ，
或（舍去），即 .
条件 ，
由余弦定理知， ，
， ，
， 只能选择一个.
若选①③④，由于，，即 ，
，与 相矛盾，故①③④不能同时选，
符合题意的三个条件是②③④．
（2）求 的面积．
【答案】，， ，
，即 ，
解得或 （舍去），
的面积 ．
谢谢观看
高二下学期数学人教B版必修第四册
9.1 正弦定理与余弦定理
9.1.2 余弦定理
第九章 解三角形
高二下学期数学人教B版必修第四册
目录
课标要点
03
01
02
04
必备知识解读
题型解析
高考考向分析
06
高考模拟
05
知识测评
学习目标
01
必备知识解读
02
知识点1 余弦定理
1 余弦定理
文字表述 三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角
余弦的积的2倍.
公式表述 , ,
.
另一种形 式 ，, .
适用于已知三边来确定角的问题.
2 余弦定理的证明
图9.1.2-1
证明：如图9.1.2-1所示，注意到,,, ,
所以, ,而且
类似地，可得, .
，因此,又 ,因此
.
3 余弦定理在解三角形中的应用
利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题：
（1）已知三边，解三角形；
（2）已知两边和它们的夹角，解三角形.
特别提醒
1.余弦定理把用“边角边”和“边边边”判定三角形全等的定理从数量化的角度进行
了刻画，使其变成了可以计算的公式.
2.因为余弦函数在,上单调递减，所以由确定的角
是唯一的，因此用余弦定理求解三角形的内角时就不必分类讨论了.
典例详解
例1-1 (2025·河南省许昌高级中学月考)在中，角，，的对边分别为 ，
，，若，则角 的值为( )
A
A. B. C.或 D.或
【解析】由余弦定理知,又 ,故 .
例1-2 [教材改编P9例1] 的内角，，的对边分别为,,.已知 ,
,，则 ( )
D
A. B. C.2 D.3
【解析】在中，由余弦定理，得 ，
整理得 ，
解得或 （舍去）.
点评 利用余弦定理求边长，实质上是解一元二次方程.解题时，应根据已知条件对
方程的根进行取舍.
释疑惑 重难拓展
知识点2 余弦定理与勾股定理之间的关系
教材链接：第11页【练习A】第1题.
1.勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般
三角形中三边平方之间的关系.
2.由余弦定理和余弦函数的性质，我们可以判断三角形的形状,以
为例：
为锐角， ,即
为直角， ,即
为钝角， ,即
由上可知，余弦定理也是用边长之间的关系去判断三角形的形状，从这个意义
上讲，勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.
典例详解
例2-3 已知锐角三角形的三边长分别为2，5，，则实数 的取值范围是( )
B
A. B.， C. D.
【解析】由题意得
解得 ．
知识点3 解三角形问题的类型与解法
正弦定理、余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素，如果其中三个
元素是已知的（至少要有一个元素是边），那么这个三角形一定可解.
关于斜三角形的解法，根据已知条件及适用的定理，可以归纳为以下四种类型:#1.1
类型 一般解法 解的个数
已知两角及一 边，如,, （1）由 ,求出 ； （2）根据正弦定理及求， . 一解
类型 一般解法 解的个数
已知两边和它 们的夹角，如 ,, （1）根据余弦定理 ，求出边 ； （2）根据，求出 ； （3）根据，求出 . 求出第三边后，也可用正弦定理求角，这样往往可以使 计算简便，应用正弦定理求角时，为了避开讨论 （因为正弦函数在区间 上是不单调的），可先求 较小边所对的角，它必是锐角. 一解
续表
. .
类型 一般解法 解的个数
已知三边 可以连续用余弦定理求出两角，再由 求出第三个角. 也可先由余弦定理求出一个角，然后根据正弦定理求出 第二个角（先求较小边所对的角），最后由 求出第三个角. 一解
已知两边及其 中一边所对的 角，如， ， （1）根据正弦定理，经讨论求 ； （2）求出后，由 求 ； （3）再根据正弦定理求出 . 也可以先根据余弦定理，列出关于 的一元二次方程 ，解一元二次方程，求出 ，然后应用正弦定理或余弦定理求出其他元素. 两解、一
解或无解
续表
. .
典例详解
例3-4 [教材改编P11T5] 已知中，,求 中各角的
度数,并判断 的形状.
【解析】由已知 ,
令,,（由比例的性质引入参数,用表示,,） ,
由余弦定理，得 ，
, .
. .
,
, .
.
故 为锐角三角形.
由 ,
得（一定要先求小边所对的角） ，
又 ，且， ,
.
故 为锐角三角形.
. .
归纳总结 三角形是否唯一确定可以利用初中所学的三角形全等的判定定理来判断.
条件 三角形形状
已知两角和一边或 唯一确定
已知两边及其夹角 已知三边 已知两边和其中一边的对角 不能唯一确定
题型解析
03
题型1 利用余弦定理解三角形
1 已知三边解三角形
例5 在中，角，，所对的边分别是，，．若，， ，
则 __.
【解析】，， ，
由余弦定理可得
, .
又 ， ．
例6 [教材改编P11 T4]已知三角形的三边长分别为，， ，则该三角
形的面积为( )
B
A. B. C. D.10
【解析】设边，，所对的角分别为,,，则由余弦定理可得 （求任一内角
的余弦值均可），从而 ，
三角形的面积 .
名师点评 已知三边求三角形的面积可以用海伦公式来求解，同学们可以尝试一下.
. .
2 已知两边及其夹角解三角形
例7 (2026·四川省平武中学入学考试) 在中，,, ,则
( )
A
A. B. C. D.
【解析】因为 ，所以由余弦定理，得
，所以
.
3 已知两边和其中一边的对角解三角形
例8 ［多选题］在中,角,,的对边分别为,,，已知 , ,
,则 的面积可能为( )
BC
A. B. C. D.
【解析】 （余弦定理） 由，得 ，
（【解题方法】通过余弦定理构建关于边的一元二次方程，解方程即可得边长）
解得或 .
当时，；当时， .
. .
（正弦定理） 由,得, .
或 （均满足），或 .
或
.
名师点评 已知三角形的两边和其中一边的对角时，有时会产生两个解,因此要注意
检验，以免产生增解.
. .
4 已知三边间关系求角
例9（1）(2025·山东省日照市开学考试)的内角,,的对边分别为,, .若
的面积为，则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】根据题意及三角形的面积公式知 ，所以
，
（【想一想】为什么选用此公式？由联想到余弦定理 ，
因此选用含 的面积公式）
又角为的内角，所以 .
. .
（2）在中，角，，的对边分别为,,，若满足 ,则角
的大小为_____.
【解析】 （余弦定理） ,
,
整理可得,,又 ,
.
（正弦定理） 由正弦定理可得 ,又
, ,又
,, , .
当题干中给出,, 三边关系时，我们往往可以通过运算得到形如“
”的形式，进而利用余弦定理即可求出相应角的余弦值.若所给关
系式中含有某个角的余弦，我们可以考虑先使用余弦定理，将该角的余弦转化为三
边间的关系，再进行化简，根据化简所得结果进行求解.
【变式题】
1.(2025·天津市南仓中学月考)已知的内角，，所对的边分别为，， ，
设向量，，若，则角 的大小为( )
B
A. B. C. D.
【解析】，， ，
，即 .
由余弦定理得 .
， .
题型2 利用正、余弦定理实现边角互化
1 利用边角互化解三角形
例10 的三个内角，，所对的边分别是,,，若 ，则角
的大小为( )
B
A. B. C. D.
【解析】由正弦定理可将 化为
,整理可得 ,
由余弦定理可得 ,
, .
例11 在中，角,,的对边分别为,,，已知 ，且
,则 的值为___.
4
思路点拨 “”（条件一）含有边的平方项，“ ”
（条件二）含有正、余弦，因此可以考虑将条件二中的角转化为边，实现与条件一
的融合，也可以利用余弦定理实现边到角的转化.
【解析】 在中，因为 ，则由正弦定理及余
弦定理有 ，
化简并整理得 .
又，所以 ，
解得或 （舍去）.
由余弦定理得 .
因为,，所以 ①.
又 ，
所以 ，
从而，即 .
由正弦定理得，故 ②.
由①②解得 .
名师点评 解此类边角混合条件的题目时要注重分析条件与结论在式子结构、角、函
数名称等方面的差异，合理利用正弦定理与余弦定理，以及三角形内角和定理进行
边角转化，将条件统一成边的条件或角的条件．
边角互化是利用正、余弦定理解三角形的重要途径.一般地，若条件式含有角的余弦
或角的正弦齐次式，则可用余弦定理或正弦定理化角为边；若条件式含有边的二次
式或条件式等号两边为齐次式，则可利用余弦定理或正弦定理化边为角.通过边角互
化，可使边角关系具体化.
【变式题】
2.在中，角，，所对的边分别为,,.若 ，
，则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】由, 结合正弦定理，可得
,，所以 ，又
,所以 .
2 利用边角互化判断三角形的形状
例12 (2025·云南省丽江市第一高级中学月考)在中，角，， 所对的边分别
为,,，，,则 是( )
D
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
【解析】 （利用边的关系判断） 由 可得
,
.
又 , .
, （正弦定理）.
又, ,
,, 为等边三角形.
. .
（利用角的关系判断） ，
,
,
, .
, ,
,
，即 .
又, ,
. , ,
为等边三角形.
判断三角形形状的方法
在判断三角形的形状时，一般考虑从两个方向进行变形:一个方向是边，走的是代数
变形的途径，通常是正、余弦定理的综合应用；另一个方向是角，走的是三角恒等
变换的途径.充分利用正、余弦定理进行边角互化，由三角形的边或角的代数运算或
三角运算，发现边与边或角与角的关系，从而做出正确判断.
. .
. .
. .
. .
【变式题】
3.在中，已知角,,的对边分别为,, ，且
,则 是( )
B
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
【解析】 （角化边） 因为 ，
所以 .
根据余弦定理可得
，
即 ，
所以 为直角三角形.
（边化角） 因为 ，所以由正弦定理得
，
即，得 ，
所以 ，所以 为直角三角形.
题型3 正、余弦定理下的几何图形的计算
1 三角形中的问题
例13 (2026·河北省石家庄市第三十八中学开学考试)记的内角,, 的对边分
别为,,.已知,点在边上,
（1）证明: ;
【解析】因为，所以由正弦定理得,，又 ，
所以 ,
又，所以 .
（2）若,求 .
【解析】因为 ，如图9.1.2-2，
图9.1.2-2
在中， ①,
在中， ②.
由①②得，整理得 ．
又，所以 ，
解得或 .
当,时， （舍去）．
当, 时，
．
所以 ．
名师点评 题目出现多个三角形时，要弄清楚各三角形中的边角关系，分析已知和未
知的关系，合理选择正弦定理与余弦定理来求解.
2 平面多边形中的问题
例14 (2025·江西省上饶市期中)如图9.1.2-3所示,在平面四边形中, ,
,, ．
图9.1.2-3
（1）若,求 ；
【解析】在中，由正弦定理得,即 ,解得
．
（2）若,求 ．
【解析】设,,在中, ,
.
在 中,由余弦定理得
．
又 ,
所以 （此类题经常利用公共边创造的互余关系列式，体现了方
程思想的应用）,即 ，
整理得,解得或（舍去）,即 ．
. .
正、余弦定理本身是研究几何图形计算的工具，因此在面对几何图形时，关键是寻
找相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定理，特别是涉及公共边时，要利用
公共边来进行过渡,即利用公共边创造的互补或互余关系列式，其本质是构建关于角
的关系的方程.
【变式题】
图9.1.2-4
4.(2025·北京市顺义牛栏山第一中学月考)如图9.1.2-4，在
中，,,点在边上，且， .
（1）求 ;
【答案】在 中，
因为,所以 ，
所以 .
（2）求 的值.
【答案】在中，由正弦定理得 ，
所以 .
在 中，由余弦定理得
，所以
，所以 .
题型4 余弦定理工具下的三角恒等变换
母题 致经典·母题探究
倍角关系下的边角关系
例15 (2022·全国乙卷)记的内角，，的对边分别为,, ,已知
.
（1）若,求 ;
【解析】由， 可得 .
将代入可得 ，
因为，，所以 ，
又,，所以 ，即 ，
与联立，解得 .
（2）证明: .
【解析】 由 可得，
，
由正弦定理可得， ，
即 .
由余弦定理得，,, ，
代入（*）式并整理得， .（【另解】也可以利用三角形的射影定理，
将（*）式左边化为 ，然后利用余弦定
理将（*）式右边化为 ，联立即可得证）
因为 ，
所 ，
，
又 ,
所以 ，
由正弦定理可得 .
子题
(2025·广东省深圳市期中)设
（1）求 的值；
【解析】因为,所以 ,
由正、余弦定理可得 ,
因为,,所以,从而 .
（2）求 的值.
【解析】由余弦定理得 ,
由于 ,
所以 ,
故 .
余弦定理与同角三角函数基本关系、两角和与差的三角函数、向量等知识综合命题
是高考的一种趋势.通常此类问题的第一问考查正弦或余弦定理，一般是利用定理进
行边角互化求解;第二问通常求最值、面积，一般需利用向量运算、三角恒等变换等
来化简函数解析式，或用正弦或余弦定理、三角恒等变换的思想将有关问题转化为
某一个角的三角函数，再利用相应公式及性质求解.
【变式题】
5.(2025·甘肃省武威市第八中学期末)在中,，，所对的边分别为,, ,已知
.
（1）求 的大小；
【答案】由已知及三角形内角和定理得
，即
.
因为,所以 .
又,所以.又 ,所以 .
（2）若,求 的取值范围.
【答案】因为, ,所以由余弦定理,得
.
又,于是有,解得 ,
即的取值范围为 .
题型5 正、余弦定理与向量的综合应用
例16 (2025·江苏省无锡市天一中学检测)在中，，，分别为，， 的对
边，为的外心，且有， ，若
，，，则 ( )
A
A.1 B. C.0 D.
【解析】 ,
,
即 ,
,可得,又, ,
,
, , .
图9.1.2-5
如图9.1.2-5,为的外心,为 的中垂线，
（【知识回顾】三角形三边垂直平分线的交点为三角形的外心）
又为等腰三角形，且 ,
, 均为等边三角形.
若 ,
则 ,
,化为 ①.
,
,化为 ②.
由①②解得, ,
.
在平行四边形中，,又 ,
,（【依据】平面向量基本定理中的唯一性）, .
. .
题型6 三角形的周长问题
1 求周长
例17 (2025·河北省唐县第一中学期末)在中， .
（1）求 ;
【解析】因为 ，
所以 ，
因为，所以 ，
所以， .
（2）若,且的面积为，求 的周长.
【解析】因为的面积，所以 .
由余弦定理可得，所以 ，所以
的周长为 .
2 与周长有关的最值（取值范围）问题
例18 (2025·山东省济南市济北中学月考)记的内角，，的对边分别为 ，
，，已知 ．
（1）求角 的大小；
【解析】因为 ,
所以 ,
故 ,
即,故 ,
结合,故 .
（2）若，求 周长的取值范围．
【解析】因为,所以,即 .
由余弦定理得
,
解得,故,当且仅当 时，等号成立.
综上可知，的周长的取值范围是, .
求三角形周长问题的基本思路
求解此类问题，一般需要综合利用正、余弦定理的相关知识求出三边的长或者得到
与三边有关的关系式，解题时注意整体思想的应用.
求最值（或取值范围）时，通常需要构造目标函数，利用基本不等式或函数性质求解.
【变式题】
6.(2025·福建省漳平第二中学月考)已知的内角,,所对的边分别是,, ,
.
（1）求角 ；
【答案】因为 ，
故由正弦定理可得 ，
即 ，
由余弦定理得 ，
又，所以 .
（2）若外接圆的直径为2，求 周长的取值范围.
【答案】 因为外接圆的直径为 ，
所以由正弦定理得，则 ，
由余弦定理得 ，
所以 （【学以致用】利用基本不等式求解），所以
，
即，当且仅当 时，等号成立，
由三角形性质知,所以，所以 ，
（取等号时， 为等边三角形）
故周长的取值范围为 .
. .
因为外接圆的直径为 ，
由正弦定理得，则 ，
，
因为，可得 ，
所以 ，（【学以致用】利用函数的单调性求解）
所以，故周长的取值范围为 .
新考法 情境应用
图9.1.2-6
例19 新情境 八卦图 《易经》中记载着一种几何图形——八卦
图，图9.1.2-6就是根据八卦图设计出来的，图中正八边形代表八
卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代
表八卦田．某中学开展劳动实习，去测量当地某块八卦田的面积，
现测得正八边形的边长为，代表阴阳太极图的圆的半径为 ，
则每个小曲边梯形的面积为_______________ .
【解析】 如图9.1.2-7所示，设 ，
图9.1.2-7
因为，则在 中，由余弦定理可得
，解得 .
因为 .
所以每个小曲边梯形的面积 .
由题图可知，正八边形分割成了8个全等的等腰三角形，顶角为
， 设等腰三角形的腰长为，在中， ， ，
由正弦定理可得，解得 ，
所以一个等腰三角形的面积为
，
则每个小曲边梯形的面积为 ．
素养提升 本题由中国传统文化《易经》中的八卦图引入.近年高考多次引用中国传
统文化作为题目情境，主要考查学生对中国传统文化的了解及从题目情境中抽取有
用信息来解题的能力，培养了学生逻辑推理、直观想象等核心素养.
高考考向分析
04
考情揭秘
正、余弦定理是解决数与形的工具，是高考的“常客”.小题主要考查对这两个定理的
直接应用,涉及一些含有边角混合代数式的变形问题和三角形的面积计算问题等.解答
题往往考查三角恒等变换和解三角形.如果求边长或角,需要利用方程思想;如果求范
围或最值,需要利用函数思想或基本不等式.试题难度中等.
核心素养：数学运算（求角、求边长、求面积等），直观想象（画出图形，依据图
形构建等式或不等式），数学建模（借助正、余弦定理解实际问题）.
考向1 利用余弦定理解三角形
例20 (2025· 全国二卷)在中,,,,则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】，因为 ，所以.
（【秒解】根据边的大小关系排除，因为,,所以 为最小角，所以
，排除B,C,D,故选A）
例21 (2024·全国甲卷)在中，内角，，所对的边分别为,,，若 ,
,则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】由正弦定理得,因为，所以 .
由余弦定理得，所以 ，
所以 ，所以
，
又，，所以 .
考向2 正、余弦定理与三角形面积公式的综合
1 求三角形面积
例22 (2025·上海春季)在中，角,,所对的边分别为,,,且 .
（1）若,,求 的值；
【解析】因为,所以由正弦定理得，，则，即 ，
因为，所以 ，
又，所以，解得 ，
所以 .
（2）若，求 的面积的最大值.
【解析】由余弦定理得 ，（基本不等式）
当且仅当时，取得最小值 ，
，
显然为锐角，所以当取得最小值时，取得最大值 .
因为 ，
所以 ，
即的面积的最大值为 .
例23 (2023·全国乙卷)在中，已知 ，， .
（1）求 ;
图9.1.2-8
【解析】如图9.1.2-8，由余弦定理得，得 .
由正弦定理 ，
得 .
（【另解】根据余弦定理求 ，然后由同角三角函数的
基本关系求 ）
（2）若为上一点，且 ，求 的面积.
【解析】 第1步：结合角的正切值，直接求
由，得 ,
又，所以 ，
第2步：求 的面积
故的面积为 .
第1步：求 的面积
的面积为 ，
第2步：求与 的面积的比值
，
第3步：求 的面积
故的面积为 .
命题 探源 求三角形面积是正、余弦定理在高考中最常见的应用场景，主要考查利用 正、余弦定理进行边角互化和对三角形面积公式的熟练使用. 素养 探源 素养 考查途径
数学运算 三角形面积的求解.
逻辑推理 由三个正三角形面积之间的关系转换成 三条边的关系.
变式探源 (2022·新高考全国Ⅱ卷)记的内角,,的对边分别为,，,分别以 ,
,为边长的三个正三角形的面积依次为,,.已知, .
（1）求 的面积;
【解析】由，得
，即，又，所以 .
由，得或（舍去），所以 ，
则的面积 .
（2）若,求 .
【解析】由，及正弦定理知 ，
即，得 .
2 由三角形面积解三角形
例24 (2024· 新课标Ⅰ卷)记的内角，，的对边分别为，， ，已知
, .
（1）求 ；
【解析】由余弦定理得 ,
又 ， .
, ,
又 , .
（2）若的面积为，求 .
【解析】由（1）得 ，
由正弦定理，得 ，（【扫清障碍】）
.
的面积,解得 .
. .
考向3 正、余弦定理在几何图形计算中的应用
1 三角形中的问题
例25 (2023· 新课标Ⅱ卷)记的内角,,的对边分别为,,,已知 面积为
,为的中点，且 .
（1）若，求 ;
【解析】因为为 的中点，所以
,
（【小技巧】三角形的中线平分三角形的面积）
解得，所以， ．
因为，所以 ．
在中，由余弦定理，得 ,
所以 ．
在 中，由余弦定理，得
，所以 ．
在中，由余弦定理，得 ，所以
.
（【另解】在中，由正弦定理，得 ，所以
，所以 ）
所以 ．
（2）若，求, .
【解析】因为为的中点，所以 ．
因为 ，
所以 ，
则在与 中，
由余弦定理，得 ，
得 ，
所以，所以，所以 .
在中，由余弦定理，得 ,
所以 ，
解得 .
则由解得 ．
2 平面多边形中的问题
例26 (全国Ⅰ卷)在平面四边形中, , ,, .
（1）求 ;
思路点拨 在中，利用正弦定理，求出 ，利用大边对大角，判断出
的取值范围，再利用同角三角函数的基本关系，求出 ；
【解析】在中，由正弦定理得 ,
结合题设知，，所以 .
由题设知， ，
所以 .
（2）若,求 .
思路点拨 利用（1）的结果，求出 的值，再利用余弦定理即可求解．
【解析】由题设及（1）知， .
在 中，由余弦定理得
.
所以 .
考向4 正、余弦定理与三角恒等变换的综合
例27 (2025·天津)在中,角,,的对边分别为,,.已知 ,
, .
（1）求 的值；
【解析】因为,所以由正弦定理可得 ,因
为,所以,所以,所以 .
又,所以 .
（2）求 的值;
【解析】因为,, ,
所以由 ,
可得 ,
化简得，又，故 .
由,得 .
（3）求 的值.
【解析】由正弦定理,得 ,
解得 .
因为，所以 为锐角，
.
， .
所以
.
考向5 运动状态下的解三角形问题
母题 致经典·母题探究
命题探源 所谓运动变化，实质是题设提供的解三角形边角条件不足，导致三角形
只能局部可解，进而导致边或者角有范围或最值产生.对于这类问题要善于从函数的
视角来看待或者从不等式工具特征角度来看待.高考重视对局部可解三角形的研究，
重视从运动变化视角来考查.
例28 (2022·新高考全国Ⅰ卷)记的内角，，的对边分别为,, ,已知
.
（1）若,求 ；
【解析】因为 ，
所以，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为，所以 .
（2）求 的最小值.
【解析】由（1）得,则 ,所以
，
所以，且 ,
所以, ，
所以，解得 .
. .
由正弦定理得
，当且仅当 时取等号，
所以的最小值为 .
子题
(2022·全国甲卷)已知中，点在边上, ,, .当
取得最小值时， ________.
【解析】设,则 .根据题意作出大致图形，如图9.1.2-9.
图9.1.2-9
在 中，由余弦定理得
.
在 中，由余弦定理得
,则
,
（当且仅当，即 时等号成立）,
，
当取得最小值时， .
考向6 三角下的结构不良试题
例29 (2025·北京)在中，内角，,的对边分别为，，， ,
.
（1）求 ;
【解析】因为，,所以 ，由正弦定理知，
.
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得 存在,
求 边上的高.
条件 ;
条件 ；
条件的面积为 .
【解析】若选择条件 ，
由（1）知,所以 ，
又，所以为钝角， ，
此时 不存在，故不能选择条件①.
若选择条件 ，
则，,此时 存在.
设边上的高为，则，即边上的高为 .
若选择条件的面积为 ，
因为 ，
所以 .
由余弦定理可得 ，所以
.
设边上的高为 ，
则，得 ，
即边上的高为 .
例30 (2024·北京)在中,内角,,的对边分别为,,,为钝角, ，
.
（1）求 ；
【解析】由题知， .
又为钝角，所以 为锐角，
故，所以.又，所以.又 为钝
角,所以 .
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得 存在，
求 的面积.
条件①： ；
条件②： ；
条件③： .
【解析】若选①，结合（1）得,所以，, ,
则 不存在，所以条件①不符合要求，故不选择条件①.
若选②，由题知，又，即 ，所以
.
又，所以
.
所以 .
若选③，由题知，所以 .
由得，,即 ,
解得 （负值舍去）.
所以 .
高考新题型专练
1.［多选题］(2025·江苏省镇江市月考)在中，内角，， 所对的边分别为
，，，， ，则( )
BCD
A.为锐角三角形 B.当时，
C.周长的最大值为3 D.面积的最大值为
【解析】由，可得 ，化简
可得 .
因为，所以，可得，， 的大小不确定，可能为直角或钝
角，A错误.
当时，， ，B正确.
由，可得 ，变形可得
，解得，当且仅当 时取等号，所以
的周长 ，C正确.
由，可得，当且仅当 时取等号，所以
的面积，D正确．故选 ．
2.新考法 结构不良 (2025·北京市第三中学期中)已知在中， ，
.
（1）求 的大小；
【答案】因为,所以由正弦定理,得 ,
又，所以 .
因为，所以 ，
所以,即 .
（2）在三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求 边上的
中线的长度.
；②周长为；③面积 .
【答案】由题设及（1）知，，，所以,即 是等
腰三角形，且，所以，即 .
条件与 矛盾，故条件①不成立，所以不能选择条件①.
若选择条件②周长为，则，解得 ，
此时 存在且唯一确定，所以条件②满足题意.
图D 9.1.2-1
如图D 9.1.2-1,设为的中点，连接 ，在
中，,, .
由余弦定理，得
即，所以边上的中线的长度为 .
若选择条件③面积 ,则
，解得 ，此时
存在且唯一确定，所以条件③满足题意.
，
如图D 9.1.2-1，设为的中点，连接，在中，,, .
由余弦定理，得
，
即，所以边上的中线的长度为 .
知识测评
05
建议时间：25分钟
1.设的内角,,的对边分别为,,，若,,，则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】由余弦定理得， ，
.
2.(2025·北京市十一学校月考)在中，如果 ，， ，那
么 ( )
D
A. B.6 C.1 D.
【解析】在中， ，， ，由余弦定理可得
，所以
．
3.(2025·广东省广州市月考)设的内角，，的对边分别为，， .若
，，且，则 ( )
C
A.3 B. C.2 D.
【解析】由余弦定理，得 ，即
，所以，又，得 .
4.(2025·广东省茂名市期中)在中，三个内角，，所对的边分别为，， ，
若，则角 的大小为( )
D
A. B. C. D.
【解析】在中，根据 ，利用正弦定理可
得，即 ，
，又 , ．
5.(2025·甘肃省平凉市第一中学期中)的内角,,的对边分别为,, .已知
,,则 ( )
A
A.6 B.5 C.4 D.3
【解析】由题意及正弦定理得， ，所以由余弦定理得，
，得 .
6.(2025·陕西省西安市第八十三中学期中)中，角,,的对边分别是,, .已知
,,则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】由余弦定理得 ，所以
，所以，即，又 ，
所以 .
7.若锐角三角形的面积为,且,,则 等于___．
7
【解析】由已知得的面积为,所以 .
又为锐角三角形,所以 ,由余弦定理得
.
图9.1.2-1
8.如图9.1.2-1所示，已知在四边形中， ，
，， ， ，求 的
长．
【答案】设，在 中，由余弦定理得
，即
，
，舍去，即 .
在中，由正弦定理得 ，
.
高考模拟
06
建议时间：45分钟
9.(2025·广东省广州奥林匹克中学期中)在中，，边上的高等于 ,则
( )
C
A. B. C. D.
【解析】 设中角，，的对边分别是,, ，由题意可得
，则.在 中，由余弦定理可得
，则 .
由余弦定理，可得 .
设边上的高为，由得,.在 中，
，则 ，
结合同角三角函数基本关系可得 ,
又,所以 .
设边上的高为，则易求得,, ,
， .
在中，由余弦定理可得 .
设中角，，的对边分别为,, ，则由
，得 .
由正弦定理得，所以 ，展开整理得
，下同方法2.
10.［多选题］在中，角,,的对边分别为,,，若 ，且
，，则 的面积为( )
AC
A.3 B. C. D.6
【解析】 在中， ，
由余弦定理得 ，
整理得 ，
或 ，
或 （舍去）.
,,， ，
由余弦定理可得 ，
解得或 .
当时， ;
当时， ．
, ,
,或 ,或. ,
,,则 .
下同方法1.
11.［多选题］在中，内角，，所对的边分别为，， ．若
， ，则下列选项正确的是( )
ACD
A. B.
C. D. 为钝角三角形
【解析】由，得 ，
又 ，
两式作商得，所以 ，故A正确.
由，得 ，
由余弦定理，得 ,故B错误.
由，可得 ,故C正确．
由，可得 为钝角，故D正确.
12.(2025·江苏省南京外国语学校月考)的内角,,的对边分别为,, .若
,,，则 的面积为_____.
【解析】 因为,，，所以由 ，得
，解得，所以，所以 的面
积 .
因为,，，所以由 ，得
，解得，所以 ，所以
，所以，所以的面积 ．
13.(2025·北京市平谷区期中)若的面积为，且 为钝角，则
__; 的取值范围是________.
【解析】的面积 ，所以
.因为 ,所以.因为为钝角，所以 ,
，所以 ,所以,所以
，故 的取
值范围为 .
. .
14.(2025·福建省莆田市第一中学月考)的内角,,的对边分别为,, .已知
的面积为 .
（1）求 ;
【答案】由题设得,即 .
由正弦定理得,故 .
（2）若,,求 的周长.
【答案】由得,所以 ,
即 .
所以,故 .
由题设得,解得 .
由余弦定理得,即 ,
得 .
故的周长为 .
15.在中，，，分别是内角，，的对边．若 同时满足下列四个
条件中的三个：；；； ．
（1）请指出符合题意的三个条件，并说明理由；
【答案】符合题意的三个条件是②③④，理由如下：
条件，则或 ，
或（舍去），即 .
条件 ，
由余弦定理知， ，
， ，
， 只能选择一个.
若选①③④，由于，，即 ，
，与 相矛盾，故①③④不能同时选，
符合题意的三个条件是②③④．
（2）求 的面积．
【答案】，， ，
，即 ，
解得或 （舍去），
的面积 ．
谢谢观看
高二下学期数学人教B版必修第四册