9.2 正弦定理与余弦定理的应用 课件(共88张PPT)-2025-2026学年高二下学期数学人教B版必修第四册

(共88张PPT)
9.2 正弦定理与余弦定理的应用
第九章 解三角形
高二下学期数学人教B版必修第四册
目录
课标要点
03
01
02
04
必备知识解读
题型解析
高考考向分析
06
高考模拟
05
知识测评
学习目标
01
必备知识解读
02
知识点1 实际测量中的术语
术语 定义 图示
铅垂平面 与水平面垂直的平面
坡角 坡面与水平面的夹角
坡比（坡度） 坡面的垂直高度与水平距离之比
术语 定义 图示
视角 观察物体时，从物体两端引出的光线在人 眼光心处形成的角
仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方 时，视线与水平线的夹角
俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方 时，视线与水平线的夹角
续表
术语 定义 图示
方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐 角
方位角 从某点的指北方向线起,依顺时针方向至目 标方向线间的水平夹角
续表
典例详解
例1-1 (2025·黑龙江省牡丹江市第二高级中学月考)甲船在湖中岛的正南方向的
处，，甲船以的速度向正北方向航行，同时乙船自 岛出发，以
的速度向北偏东 方向驶去，则行驶 时，两船间的距离是( )
B
A. B. C. D.
【解析】如图9.2-1，设行驶时，甲船到达点，乙船到达 点.
图9.2-1
由题意知, ，
.
由余弦定理得
，所以
.
点评 理解并掌握各种术语表达的意思，根据题目表述画出草图是求解该类问题的
关键.
知识点2 解三角形的常见应用类型及解法
1 测量距离问题
当的长度不可直接测量时，求 的距离有以下三种类型：#1
类型 简图 计算方法
类型 简图 计算方法
续表
2 测量高度问题
当的高度不可直接测量时，求 的高度有以下三种类型：#1
类型 简图 计算方法
底部可达
底部不 可达
类型 简图 计算方法
底部不 可达
续表
3 测量角度问题
测量角度问题主要涉及光线（入射角、折射角）,海上、空中的追及与拦截，此
时问题涉及方向角、方位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰
角等概念.
解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角
形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.
典例详解
例2-2 [教材改编P15 T1]在相距2米的,两点处测量目标,若 ，
，则, 两点之间的距离是____米.
【解析】 ， ， ，
又, 由正弦定理,得,解得 .
例2-3 [教材改编P16 T3]测量河对岸某一高层建筑物 的高度时，可以选择与建筑
物的最低点在同一水平面内的两个观测点和 ，如图9.2-2所示，测得
， ，，并在处测得建筑物顶端 的仰角为
，则建筑物的高度为______ .
图9.2-2
【解析】由题意，在中， ， ，
，又 ，
由正弦定理 ，
得 .
在中， ， ，
,
则建筑物的高度为 ．
图9.2-3
例2-4 当太阳光与水平面的倾斜角为 时，一根长为 的竹
竿如图9.2-3所示放置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的
角 是( )
B
A. B. C. D.
【解析】设影子长为 .由正弦定理，
得 ,
.
, ,
当 ,即 时,有最大值.即竹竿与地面所成的角 是 时，
影子最长.
题型解析
03
题型1 测量距离问题
图9.2-4
例5 (2025·黑龙江省鸡西市文成中学月考)自古以来，人们对于崇山
峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，随着技术手段的发
展，山高路远便不再阻碍人们出行．在科技腾飞的当下，路桥建设
部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳大桥
等．如图9.2-4,某工程队将从到 修建一条隧道，测量员测得一些数
A
A. B.
C. D.
据如图所示，，，在同一水平面内，则， 间的距离为 ( )
【解析】如图9.2-5所示，连接 ，
图9.2-5
在 中，
，
，
,即 ,
，
，
，
在 中，
，
即，间的距离为 .
图9.2-6
例6 [教材改编P14例1]某基地进行对抗演习，红方为了准确分析战
场形势，从相距的军事基地和 处测得蓝方两支精锐部队分
别在处和处，且 , , ,
,如图9.2-6所示，求蓝方这两支精锐部队间的距离.
给什么得什么
求什么想什么
差什么找什么
【解析】 .
, , .
在中， ，
由正弦定理 ,
得 .
在 中，由余弦定理得
, .
故蓝方这两支精锐部队间的距离为 .
（【另解】在中，由正弦定理求得，在中，由余弦定理求得 ）
由题图可知，是等边三角形，且垂直平分，易知 .
由 ，可知 是等腰直角三角形，易得
.
利用正、余弦定理解决距离问题的思路
1.利用正弦定理可以解决一个可以到达的点与另一个不可以到达的点之间的距离问
题，利用正弦定理、余弦定理可以解决两个不可到达的点之间的距离问题
（一般要解3个三角形）.解决此类求距离问题时，先利用测量工具测出所构造的三
角形的有关的边和角，再通过解三角形求相应距离.
2.利用正弦定理解决距离问题时通常需测出所构造三角形的两角和一边，利用余弦
定理解决距离问题时常需要测出所构造三角形的两边及其夹角，有时需综合运用两
个定理求解.
3.求距离时，常会遇到方位角、方向角等概念，应正确理解，并会构造三角形测量距离.
【变式题】
图9.2-7
1.如图9.2-7，有四座城市，，，，其中在 的正东方向，
且与相距，在的北偏东 方向，且与 相距
；在的北偏东 方向，且与相距 ，一架
飞机从城市出发，以的速度向城市 飞行，飞行了
，接到命令改变航向，飞向城市，此时飞机与城市 的
距离为( )
D
A. B. C. D.
图D 9.2-1
【解析】如图D 9.2-1，连接，在中， ，
， ，
，
．,则 ，
．
在中， ,
．
设飞机在处改变航向，连接，则，在 中，
．
题型2 测量高度问题
图9.2-8
例7 新情境 圭表 (2025·陕西省咸阳市武功县普集高级中
学月考)圭表（如图9.2-8（1））是我国古代一种通过测量
正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立
的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与
标杆垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，
圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图9.2-8
（2）是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度
角（即）为 ，夏至正午太阳高度角（即）为 ，圭面上冬至线
与夏至线之间的距离（即的长）为，则表高（即 的长）为( )
D
A. B.
C. D.
【解析】由题可知 ，
在 中，由正弦定理可知,
,即 ,
则 ，
在中， ，
所以 .
利用正弦定理、余弦定理可以解决底（顶）部不能到达的物体的高度问题.通过解一个
直角三角形和一个斜三角形或两个直角三角形使问题得解.解决高度测量问题时，常会
遇到仰角、俯角或视角等角度问题，应正确理解这些概念，弄清它们的区别与联系.
【变式题】
图9.2-9
2.如图9.2-9（1）所示的“大玉米”是郑州新地标，是郑东新区
的三大标志性建筑之一，被称为“中原第一高楼”．它是圆
柱塔式建筑，外形宛如一根“大玉米”．如图9.2-9（2）所示，
某人在地面上点测得塔底在南偏西 ，楼顶 的仰角为
，此人从点沿南偏东 方向前进到点 ，测得楼
A
A. B. C. D.
顶的仰角为 ．按照此人的测量进行估算，“大玉米”的高为( )
【解析】设“大玉米”的高为 ，
根据题意有，， ，
在中，由余弦定理有 ，
，解得 ．
题型3 测量角度问题
图9.2-10
例8 (2025·安徽省太和县昌泰高级中学月考)如图9.2-10，当甲船
位于处时，在其正东方向相距20海里的 处有一艘渔船遇险等
待营救,甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西
，相距10海里处的乙船,现乙船朝北偏东 角的方向沿直线
前往处救援,则 _ ___.
思路点拨 把三艘船作为三角形的三个顶点，利用正弦定理和余弦定理求得
的正弦值，进而可求 .
【解析】在 中，由余弦定理，得
,
海里.
由正弦定理 ,
得 ,
则 .
从而 .
名师点评 将方向角准确转化为三角形的内角，并将距离与三角形边长联系起来，固
定在相应的三角形中，用正弦定理或余弦定理即可求解本题.
题型4 影响范围及追及问题
例9 [教材改编P14例2]如图9.2-11，城气象台测得台风中心从 城正西方向300千米
处以每小时千米的速度向北偏东 的 方向移动，距台风中心200千米的
范围内为受台风影响的区域，若城受到这次台风的影响，那么 城遭受这次影响的
时长为____小时.
10
图9.2-11
【解析】台风中心从处开始移动,则经小时后移动的距离为 千米，
则台风中心移动小时后与 城之间的距离为
.
若城受到这次台风的影响，则 ，
化简得,解得，所以 城遭受这次影
响的时长为 （时）.
例10 在一个湖的岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小
船被风刮跑，其前进方向与湖岸成 角，速度为 ，同时岸边有一人，从同
一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为，在水中游的速度为 ，
则小船被此人追上的最大速度为___________.
【解析】由题意，当人沿岸边跑的轨迹和人在水中游的轨迹以及船在水中漂流的轨
迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船．
由题意，当 时，人不可能追上船，
当 时，人不必在岸上跑，从同一地点直接下水就可追上小船，所以
．
设岸边停放小船处为，此人在岸边跑到点后下水，在 处追上小船，人追上船所
用时间为，人在岸上跑的时间为 ，
图9.2-12
则人在水中游的时间为 ，人要追上小船，则人、
船运动的路线满足如图9.2-12所示的三角形．
依题意，，， ，
，
所以由余弦定理 ，
得 ，
即,要使此关于的方程在 内有实数解，
令,易知当时，和 均
大于0，所以若关于的方程在内有实数解，则两根之积必在 范围内，
则有 ，且
,解得 .
所以当 时，人能追上小船，
所以小船被此人追上的最大速度为 .
题型5 方案设计问题
例11 (2025·山西省吕梁市月考)某学习小组要完成两个实习作业：验证手机地图测距
的正确性及测算教学大楼主楼的高度．小组准备了三种工具：测角仪（可测量仰角
与俯角），米尺（可测量长度），量角器（可测量平面角度）．
图9.2-13
（1）如图9.2-13，在文明路的水平路面上选取， 两点，先利用手机地图测距功能
测出长度为，接着在博爱路上选定水平路面上可直接测距的， 两点，测
得 ， ， ， ，请根据上述条件计
算出的长度，并将其与的实际长度 进行比较，若误差介于
之间，则认为手机地图测距是准确的．你认为手机地图测距是否准
确？
【解析】设，在等腰中， ，
在中， ， ， ，可得 ，
由正弦定理得，解得 .
在 中，由余弦定理得，
.
因为，所以 ，
又 ，所以认为手机地图测距是准确的.
（2）请你利用准备好的工具（可不全使用），设计一种测量教学楼的高度的方法，
并给出测量报告．
注：测量报告中包括你使用的工具，测量方法的文字说明与图形说明，所使用的字
母和符号均需要解释说明，并给出你最后的计算公式．
图9.2-14
【解析】选用测角仪与米尺即可.
如图9.2-14所示.
①在楼顶与楼底分别选取两点，，使得 与地面垂直，在地
面上取一点 .
②在处测得点的仰角为 ，，测得测角仪的高度是 .
③计算得楼高 ．
目标分析法解决测量方案设计问题的思路
（1）明确目标，读题及画出图形，明确所求元素及所求元素所在的三角形或多边形；
（2）依据定理分析元素，在相应的三角形中依据正弦定理或余弦定理分析所需要的
元素，再确定哪些可求；
（3）确定方案，依据分析，将确定要测量的量代入求解,得到结论.
新考法 数学建模
图9.2-15
例12 春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，
春秋时期使用提水吊杆——桔槔，后发展成辘轳.19世纪
末，由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应用，为发展
机械提水灌溉提供了条件.图9.2-15为灌溉抽水管道在等高
图上的垂直投影，在处测得处的仰角为 ，在 处测
得处的仰角为 ,在处测得处的仰角为 ，点 所
B
A.30米 B.50米 C.60米 D.70米
在等高线值为20米，若管道长为50米，则点 所在等高线值约为（参考数据:
）( )
【解析】由题意作出示意图，如图9.2-16所示.
图9.2-16
由已知得 , , .
设米，则 （米）,
（米），
（米）.
由得,,解得 .
又点 所在等高线值为20米,
故点所在等高线值约为 （米）.
素养提升 《普通高中数学课程标准》要求体现数学与其他学科的联系，并能够合理
地运用数学语言和思维进行跨学科的表达与交流.本题就是以地理中的等高线为背景，
考查了正余弦定理在解三角形中的应用，考查了数学建模等核心素养，解题的关键
是理解等高线的含义.求解本题时的易错点有两个：（1）不理解等高线的含义，导
致无法正确作出示意图；（2）求出之后，忽视点所在等高线值，误将 视为
点 的等高线值导致错解.
高考考向分析
04
考情揭秘
高考对本节知识的考查主要是能够运用正、余弦定理解决一些与测量和几何有关的
实际问题.题型主要为选择题，难度中等.
核心素养：数学建模（将实际问题转化到三角形中求解）、直观想象（以题想图，
选择合适的定理解题）.
考向 正、余弦定理的实际应用
图9.2-17
例13 (全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗
玛峰最新高程为 （单位： ）,三角高程测量法是珠峰
高程测量方法之一.如图9.2-17是三角高程测量法的一个示意图，
现有，，三点，且，,在同一水平面上的投影， ，
满足 , .由点测得 点的仰角为
，与的差为100;由点测得点的仰角为 ，则
，两点到水平面的高度差约为
( )
B
A.346 B.373 C.446 D.473
【解析】如图9.2-18所示，根据题意过作 ，
图9.2-18
交于，过作，交于 ，
则, .
在中， ,
则 .
又在点处测得点的仰角为 ，
所以 ,
所以高度差 .
知识测评
05
建议时间：20分钟
图9.2-1
1.(2025·河南省灵宝市实验高级中学月考)如图9.2-1，设， 两点
在河的两岸，一测量者在所在的同侧河岸边选定一点 ，测出
的距离为， ， ，则， 两点
间的距离为( )
A
A. B. C. D.
【解析】在中，由正弦定理得 ，
又 ，
故 ．
2.(2025·四川省遂宁中学校开学考试)一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为
了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点 测得水柱顶端的仰角
为 ，沿点向北偏东 前进到达点，在点测得水柱顶端的仰角为 ，
则水柱的高度是( )
A
A. B. C. D.
图D 9.2-1
【解析】如图D 9.2-1，设水柱的高度是，在 中，
，，， ，根据余弦定理，
得 ，即
，即，解得 ，
故水柱的高度是 .
图9.2-2
3.［多选题］(2025·福建省漳州市漳浦道周中学月考)如图 9.2-2
所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物 的视角为
，向山顶前进100 米到达处，又测得建筑物 的视角为
，若米，山坡对于水平面的坡角为 ,则( )
AC
A.米 B. 米
C. D.
【解析】在 中，由正弦定理可知，
（米）.
在中， 由题图,知
.
图9.2-3
4.如图9.2-3,小明同学在山顶 处观测到一辆汽车在一条水平
的公路上沿直线匀速行驶.小明在处测得公路上， 两点
的俯角分别为 , ,且 ,若山高
,汽车从点到点历时 ,则该汽车的速度为
_ _____ .
【解析】由题意得, .
在 中,由余弦定理得
.
故该汽车的速度为 .
图9.2-4
5.(2025·山西省怀仁市大地学校期中)如图9.2-4，渔船甲位于岛屿
的南偏西 方向的处，且与岛屿 相距12海里，渔船乙以10
海里/时的速度从岛屿出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从
处出发沿北偏东 的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上 ．
（1）求渔船甲的速度；
【答案】依题意，得 ， 海里，
（海里）， ．
在 中，由余弦定理，得
解得 海里．
所以渔船甲的速度为 （海里/时）．
，
（2）求 的值．
【答案】在中，海里， ，海里， ，
由，得 ．
高考模拟
06
建议时间：40分钟
图9.2-5
6.如图9.2-5，某观测站在目标的南偏西 方向，从 出发有一
条南偏东 走向的公路，在处测得与相距的公路 处有
一个人正沿着此公路向走去，走到达，此时测得点到
点的距离为，若此人必须在内从处到达 处，则此人
的最小速度为( )
B
A. B. C. D.
【解析】易知 .在中，， ，
，由余弦定理可得,.又在 中，
由正弦定理得，由余弦定理得 ，
即 ， ，解得
或（舍去）， ．故若此人必须在
内从处到达处，则此人的最小速度为 故选B．
7.［教材改编P15 T4］如图9.2-6，曲柄连杆机构中，曲柄绕 点旋转时，通过连
杆的传递，活塞做直线往复运动．当曲柄在 位置时，曲柄和连杆成一条直线，
连杆的端点在处．设连杆长，曲柄长，则曲柄自 按顺时
针方向旋转 时，活塞移动的距离即连杆的端点移动的距离约为
参考数据： ( )
B
图9.2-6
A. B. C. D.
【解析】在中，，， ， ,
由正弦定理，得 ,
，，故 为锐角，
, ，
,
.
故 曲柄自 按顺时
针方向旋转 时，活塞移动的距离约为 ．
8.［多选题］(2025·山东省枣庄市第二中学阶段检测)某货轮在处看灯塔 在货轮北
偏东 ，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西 ，距离为
．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东 ，则下列说法
正确的是( )
AC
A.处与处之间的距离是 B.灯塔与处之间的距离是
C.灯塔在处的南偏西 D.在灯塔的北偏西
图D 9.2-2
【解析】如图D 9.2-2，在中， ，
,则 ， ，由正弦定理得
，处与 处之间的距离为
，故A正确；
在 中，由余弦定理得
，解得
， 灯塔与 处之间的距离为
，故B错误；
由，可得 ，则灯塔在处的南偏西 ，故C正确；
由图可知，在灯塔的北偏西 ，故D错误．故选 ．
9.［多选题］如图9.2-7所示，为了测量某湖泊两侧， 的距离，某同学首先选定了
与，不共线的一点，然后给出下列四种测量方案的角，， 所对的边
分别记为,,，则一定能确定, 间距离的方案有( )
ABC
图9.2-7
A.测量，， B.测量,, C.测量,, D.测量,,
【解析】对于A,在中，,所以 .由正弦定理得
,所以 .
对于B，由余弦定理可得,所以 .
对于C，在中，,所以 ，由正弦定理得
,所以 .
对于D，由解得的可能有两个值.故一定能确定， 间距离的方案
有 .
10.如图9.2-8所示，飞机的航线和山顶 在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度保持
在海拔,飞行员先在处看到山顶的俯角为 ，继续飞行后在点 处看到山
顶的俯角为 ，则山顶的海拔高度为_ ____________________________
（用,, , 表示）.
或
图9.2-8
【解析】如图D 9.2-3，在中，由正弦定理得 ,
图D 9.2-3
.
过点作垂直于的延长线于点，过点作垂直于水平线于点 ，则在
中, ,
.
或 ,由，可知 ,
11.(2025·广东省汕头市潮南区月考)台风中心从 地以每小时20千米的速度向东北方
向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市在 的正东方向40千米处，则
城市 处于危险区的时间为___小时.
1
【解析】设地东北方向上存在点到的距离为30千米，.在 中，
，
即 ,化简得 ，
设方程的两根为，，则， ，
所以，所以城市处于危险区的时间为
（时）.
12.如图9.2-9所示，湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船
在最前面的点处，乙船在中间点处，丙船在最后面的点处，且 ，
此时一架无人机在空中的点处对它们进行数据测量，测得 ，
（船只大小、无人机大小忽略不计）
图9.2-9
（1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；
【答案】在中，由正弦定理得 ，
在中，由正弦定理得 ,
又 ， ，
．
故此时无人机到甲、丙两船的距离之比为 .
（2）若无人机到乙船的距离为10（单位：千米），求此时甲、乙两船的距离．
【答案】在中，， ，
即 ，
又， ， ，
（千米）， （千米），
故甲、乙两船的距离为 千米．
13.(2025·北京师范大学第二附属中学期中)如图 9.2-10，游客从某旅游景区的景点
处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到，另一种是先从 沿索道乘缆车
到，然后从沿直线步行到.现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿 匀速步行，
速度为.在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从
匀速步行到.假设缆车匀速直线运行的速度为，山路长为 ，经
测量,, .
图9.2-10
（1）求索道 的长.
【答案】 在中，因为, ,
所以, ，
从而 .
由正弦定理得,所以 ，所以索道
的长为 .
图D 9.2-4
如图D 9.2-4，作于点,设 ,
则,, ,由
知 .
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
【答案】 假设乙出发后，甲、乙两游客的距离为 ,此时，甲行走了
因为,即，所以当 时，甲、乙两游客距离最短.即乙出发
后，乙在缆车上与甲的距离最短.
设乙出发后到达点,此时甲到达点,连接 ，如图D 9.2-4所示,则
,乙距离处，所以由余弦定理得 .
,.由余弦定理得 ，其中
,当时,最小.即乙出发 后，乙在缆车上与甲的距离最短.
（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过 ，乙步行的速度应控制在什么
范围内？
【答案】 由正弦定理 ，得
.
乙从出发时，甲已走了，还需走才能到达 .
设乙步行的速度为，由题意得,解得 ,所以
为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在,
单位： 范围内.
由（1）知,,所以,甲到 用时
.乙到用时,若甲等乙,则乙在 上用时
.
此时乙的速度最小,且为 .
若乙等甲,则乙在上用时 .
此时乙的速度最大,且为 .
故乙步行的速度应控制在,单位： 范围内.
谢谢观看
高二下学期数学人教B版必修第四册